Maraqlı Riyaziyyat Faktları | Riyaziyyatın Möcüzələrini Kəşf Et

1. Sıfır: Rum Rəqəmlərində Yeri Olmayan Rəqəm

Sıfır, Roma rəqəm sistemində ifadə oluna bilməyən yeganə rəqəmdir. Bu maraqlı boşluq, ədədi sistemlərin tarixi inkişafını və sıfır konseptinin inqilabi mahiyyətini əks etdirir.

2. Mükəmməl Rəqəmlərin Sirri

28 mükəmməl rəqəmdir - onun düzgün bölənlərinin cəmi özünə bərabərdir (1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28). Bu riyazi harmoniya qədim riyaziyyatçılar tərəfindən yüksək qiymətləndirilirdi.

3. 9-un Gücü

9-un vurma cədvəlində, alınan nəticələrin rəqəmləri həmişə 9-un cəmini təşkil edir. Məsələn: 9×3=27 (2+7=9), 9×9=81 (8+1=9).

4. Fibonacci Təbiətdə

Fibonacci ardıcıllığı təbiətdə müxtəlif formalarda rast gəlinir: günəbaxan toxumlarının düzülüşündən tutmuş, spiral qalaktikalara qədər, riyaziyyatın təbiətdəki fundamental rolunu sübut edir.

5. Qızıl nisbət

Φ (fi) təqribən 1.618-ə bərabərdir və incəsənət, memarlıq və təbiətdə rast gəlinir. Bu nisbət çoxlarının estetik cəhətdən ən gözəl hesab etdiyi proporsiyaları təmsil edir.

6. Sadə Palindromlar

1000-dən kiçik yalnız 20 palindrom sadə ədəd mövcuddur. Bunlara 2, 3, 5, 7, 11 və 101 daxildir.

7. 73-ün Sehrli Xüsusiyyətləri

73 çox maraqlı bir rəqəmdir: 73, 21-ci sadə ədəddir, onun tərsi olan 37 isə 12-ci sadə ədəddir. Üstəlik, 12-nin tərsi 21-dir. Bundan əlavə, 73 ASCII kodunda "I" hərfinə uyğundur.

8. Sonsuz Sadə Ədədlər

Sadə ədədlərin sonsuz sayda olduğu faktını Evlid təxminən eramızdan əvvəl 300-cü ildə sübut etmişdir. Onun ziddiyyət üsulu ilə sübutu riyaziyyatın ən gözəl nümayişlərindən biri hesab olunur.

9. Sirli 6174

Kaprekarın sabiti kimi tanınan 6174 unikal bir xüsusiyyətə malikdir: hər hansı dörd rəqəmli bir ədəd götürüb (ən azı iki fərqli rəqəmi olmalıdır), onun rəqəmlərini artan və azalan sıraya düzərək, böyüyündən kiçiyini çıxaraq bu prosesi təkrarladıqda, nəticə həmişə 6174 olacaq.

10. Bütün Natural Ədədlərin Cəmi

Bəzi riyazi kontekstlərdə bütün natural ədədlərin cəmi (1 + 2 + 3 + ...) -1/12-ə bərabər olur. Bu, intuitiv olaraq qəribə görünsə də, simli nəzəriyyə və kvant fizikası sahələrində tətbiq olunur.

11. Xoşbəxt Ədədlər

Xoşbəxt ədəd bir ədədlə başlayır və onun rəqəmlərinin kvadratları cəmi ilə əvəz olunur. Bu proses 1-ə gətirib çıxarırsa, o, xoşbəxt sayılır. Məsələn: 23 → 2² + 3² = 13 → 1² + 3² = 10 → 1² + 0² = 1.

12. Hardy-Ramanujan Ədədi

1729 iki müsbət kubun cəmi kimi iki fərqli şəkildə ifadə edilə bilən ən kiçik ədəddir: 1³ + 12³ = 9³ + 10³ = 1729.

13. Eylerin Eyniliyi

Tənlik e ^(iπ) + 1 = 0 beş əsas riyazi sabiti (0, 1, π, e və i) bir düsturda birləşdirir və çox vaxt riyaziyyatın ən gözəl tənliyi adlandırılır.

14. Königsberg Körpüləri

Məşhur Königsberg körpü problemi qraf nəzəriyyəsinin yaranmasına səbəb oldu. Euler 1736-cı ildə sübut etdi ki, yeddi körpünün hər birindən dəqiq bir dəfə keçmək mümkün deyil.

15. Mükəmməl Qüvvətlər

8128 həm mükəmməl ədəd, həm də tetraedral ədəddir. O, öz düzgün bölənlərinin cəmidir və sferalardan ibarət üçbucaq formalı piramida kimi ifadə edilə bilər.

16. Kollats Fərziyyəsi

Bu hələ də sübut olunmamış riyazi problem bildirir ki, istənilən müsbət tam ədəd aşağıdakı qaydalara əməl etdikdə nəhayət 1-ə çatacaq: cüt ədəddirsə, 2-yə bölün; təkdirsə, 3-ə vurub 1 əlavə edin.

Məsələn:

• 6 ilə başlasaq (cüt): 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.
• 7 ilə başlasaq (tək): 7 → 22 → 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.

Bu qayda çox böyük ədədlər üzərində geniş şəkildə sınaqdan keçirilsə də, heç bir əks nümunə tapılmamışdır. Bununla belə, ümumi bir sübut və ya təkzib hələ də mövcud deyil və bu, riyaziyyatın ən məşhur həll olunmamış problemlərindən biri olaraq qalır. Bu fərziyyə həmçinin "3n + 1 problemi" kimi tanınır.

17. İkili (Binary) Xüsusiyyət

Hər bir müsbət tam ədəd fərqli 2-nin qüvvətlərinin cəmi şəklində ifadə edilə bilər. Məsələn, 7 = 2² + 2¹ + 2⁰ (4 + 2 + 1).

18. Grahamın Ədədi

Grahamın ədədi o qədər böyükdür ki, onu standart notasiya ilə yazmağa çalışsanız, kainatın həcmi belə bütün rəqəmləri yerləşdirmək üçün kifayət etməz.

19. Mersenn Sadə Ədədləri

Mersenn sadə ədədləri 2-nin qüvvətindən bir vahid az olan (2ⁿ - 1) sadə ədədlərdir. Onlar son dərəcə nadirdir və mükəmməl ədədlərin tapılmasında əsas rol oynayır.

20. Dörd Rəng Teoremi

İstənilən xəritəni elə dörd rənglə rəngləmək olar ki, qonşu bölgələr eyni rəngi paylaşmasın. Bu, kompüter vasitəsilə sübut olunmuş ilk böyük teoremdir.

21. Dost Ədədlər

220 və 284 dost ədədlərdir: 220-nin düzgün bölənlərinin cəmi 284-ə, 284-ün düzgün bölənlərinin cəmi isə 220-yə bərabərdir.

22. Bazel Problemi

Bütün kvadrat ədədlərin tərsinin cəmi (1/1² + 1/2² + 1/3² + ...) π²/6-ya bərabərdir. Bu məsələ 1734-cü ildə Eyler tərəfindən həll edilmişdir.

23. Unikal Təqvim İlləri

1961 tərsinə çevrildikdə də eyni görünən sonuncu ildir. Bu xüsusiyyətə malik növbəti il 6009 olacaq.

24. Bölünmə Qanunauyğunluğu

2520, 1-dən 10-a qədər bütün ədədlərə bölünən ən kiçik ədəddir və kiçik bölənlərlə bağlı hesablamalarda xüsusi əhəmiyyət daşıyır.

25. 11-in Gücü

İki rəqəmli bir ədədi 11-ə vurduqda, rəqəmləri toplayıb ortasına qoymaq mümkündür: 11 × 25 = 275 (2+5=7).

26. Fibonacci Spiralı

Ardıcıl Fibonacci ədədlərinin nisbəti qızıl nisbətə (təxminən 1.618033988749895) yaxınlaşır.

27. Rəqəmsal Kök

Rəqəmsal kök, bir ədədin rəqəmlərinin tək rəqəm alınana qədər ardıcıl olaraq toplanmasıdır. Məsələn:

• 45-in rəqəmsal kökü: 4 + 5 = 9.
• 37-in rəqəmsal kökü: 3 + 7 = 10, sonra 1 + 0 = 1.

Rəqəmsal kök, ədədin 9-a bölünməsindən qalıq (mod 9) ilə sıx əlaqədardır. Bunun səbəbi belədir:

9-a Bölünən Ədədlər:

9-a bölünən ədədlərin (məsələn, 9, 18, 27) rəqəmsal kökü həmişə 9-dur. Çünki:

• 9 ≡ 0 mod 9, və rəqəmsal kök 9-dur.
• 18 ≡ 0 mod 9, və 1 + 8 = 9.
• 27 ≡ 0 mod 9, və 2 + 7 = 9.

9-a Bölünməyən Ədədlər:

9-a bölünməyən ədədlərin rəqəmsal kökü, ədədin 9-a bölünməsindən qalığa bərabərdir. Məsələn:

• 10 ≡ 1 mod 9, və rəqəmsal kök 1 + 0 = 1.
• 25 ≡ 7 mod 9, və rəqəmsal kök 2 + 5 = 7.
• 38 ≡ 2 mod 9, və rəqəmsal kök 3 + 8 = 11, sonra 1 + 1 = 2.

Bu Niyə Baş Verir?

Bu qanunauyğunluq, say sistemimizin 10-luq əsasda olması və 10 ≡ 1 mod 9 olması ilə əlaqədardır. Bu o deməkdir ki, 10-un qüvvətləri (10, 100, 1000 və s.) hamısı 9-a bölündükdə 1 qalıq verir. Nəticədə, bir ədədin 9-a bölünməsindən qalığı, onun rəqəmlərinin cəminin 9-a bölünməsindən qalığı ilə eynidir. Rəqəmsal kök isə bu cəmin ən kiçik müsbət nümayəndəsidir.

Rəqəmsal Kökün Düsturu:

Bir ədədin rəqəmsal kökü aşağıdakı düsturla hesablana bilər:

Rəqəmsal Kök(n) = 1 + (n - 1) mod 9

Qeyd: Əgər n 9-a bölünürsə, rəqəmsal kök 9-dur, 0 deyil.

Nümunələr:

• n = 45: 45 mod 9 = 0 ⟹ Rəqəmsal Kök = 9
• n = 37: 37 mod 9 = 1 ⟹ Rəqəmsal Kök = 1

Bu əlaqə, rəqəmsal kök və mod 9 arasında maraqlı bir riyazi xüsusiyyətdir və tez-tez ədədlər nəzəriyyəsində və əyləncəli riyaziyyatda istifadə olunur.

28. Üçbucaq Ədədləri

1-dən başlayaraq ardıcıl ədədlərin cəmi üçbucaq ədədlərini əmələ gətirir. 100-cü üçbucaq ədədi 5050-dir.

29. Katalan Ədədləri

Bu ədədlər mötərizələrin düzgün yerləşdirilməsi kimi bir çox sayma problemlərində qarşımıza çıxır.

30. Bolluq Ədədləri

12 ən kiçik bolluq ədədidir - düzgün bölənlərinin cəmi ədədin özündən böyük olan ədədlər bolluq ədədləri adlanır.

31. Kvadrat Ədədlər Qanunauyğunluğu

Ardıcıl kvadrat ədədlər arasındakı fərq arifmetik ardıcıllıq təşkil edir: 1, 3, 5, 7 və s. Məsələn:

• 1² = 1, 2² = 4 → Fərq: 3
• 2² = 4, 3² = 9 → Fərq: 5
• 3² = 9, 4² = 16 → Fərq: 7

Bu qanunauyğunluq həmişə tək ədədlərlə davam edir.

32. Fermatın Son Teoremi

İstənilən n > 2 tam ədədi üçün aⁿ + bⁿ = cⁿ tənliyini ödəyən üç müsbət tam a, b, c ədədi yoxdur. Bu teorem 1995-ci ildə sübut edilmişdir. Məsələn:

• 3² + 4² = 5² (9 + 16 = 25) n = 2 üçün doğrudur, lakin n = 3 və ya daha böyük üçün mümkün deyil.

33. Monti Holl Problemi

Bu ehtimal tapmacasında, qapını dəyişdikdə qalib gəlmə şansınız 2/3, ilk seçiminizdə qalsanız isə 1/3-dir. Məsələn:

• 3 qapıdan birini seçirsiniz. Aparıcı sizə boş qapılardan birini göstərir. Qapını dəyişdikdə qalib gəlmə şansınız artır.

34. e Ədədi

(1 + 1/n)ⁿ ifadəsinin n sonsuzluğa yaxınlaşdıqca limiti e ədədinə bərabərdir, təqribən 2.71828. Məsələn:

• n = 1: (1 + 1/1)¹ = 2
• n = 10: (1 + 1/10)¹⁰ ≈ 2.5937
• n = 100: (1 + 1/100)¹⁰⁰ ≈ 2.7048

35. Qoldbax Hipotezi

2-dən böyük hər bir cüt tam ədəd iki sadə ədədin cəmi kimi ifadə edilə bilər. Bu hipotez 250 ildən çoxdur ki, sübut olunmayıb. Məsələn:

• 4 = 2 + 2
• 10 = 3 + 7
• 20 = 3 + 17

36. Rəqəmlərin Cəmi Xassəsi

Bir ədədin rəqəmləri cəmi 3-ə bölünürsə, ədədin özü də 3-ə bölünür. Məsələn:

• 123: 1 + 2 + 3 = 6 → 6 3-ə bölünür, 123 də 3-ə bölünür.
• 456: 4 + 5 + 6 = 15 → 15 3-ə bölünür, 456 də 3-ə bölünür.

37. Vampir Ədədlər

Vampir ədədlər öz rəqəmlərindən yaranan iki ədədin hasilinə bərabər olan ədədlərdir. Məsələn:

• 1260: 21 × 60 = 1260
• 1395: 15 × 93 = 1395

38. Üçbucaqlı Kvadrat Ədədlər

Üçbucaqlı kvadrat ədədlər, həm üçbucaqlı, həm də kvadrat olan ədədlərdir. İki növ ardıcıllığın kəsişməsində yaranan bu ədədlər, həm üçbucaqlı ardıcıllıqla, həm də kvadrat ardıcıllıqla uyğun gəlir.

Üçbucaqlı Ədədlər: Üçbucaqlı ədədlər, ardıcıl olaraq natural ədədlərin cəmləri ilə yaranır. Nümunə olaraq: 1 (ilk üçbucaqlı ədəd), 3 (1 + 2), 6 (1 + 2 + 3), 10 (1 + 2 + 3 + 4) və s. Üçbucaqlı ədədin ümumi düsturu belədir:

 Tn = n(n+1)/2
 

Burada Tn n-ci üçbucaqlı ədədi, n isə ardıcıl ədədi təmsil edir.

Kvadrat Ədədlər: Kvadrat ədədlər, bir tam ədədin özünə vurulması ilə alınır. Məsələn, 1 (1²), 4 (2²), 9 (3²), 16 (4²) və s. Kvadrat ədədlər yalnız kvadrat funksiyasına uyğun gəlir.

Bir ədəd həm üçbucaqlı, həm də kvadrat olduqda, ona üçbucaqlı kvadrat ədəd deyilir. Bu cür ədədlər nadir hallarda rast gəlinir. Məsələn, 1 (həm üçbucaqlı, həm də kvadrat), 36 (həm üçbucaqlı, həm də kvadrat) və 1225 (həm üçbucaqlı, həm də kvadrat) bu tip ədədlərə misaldır.

Bu ədədlər həm üçbucaqlı ardıcıllıqla, həm də kvadrat ardıcıllıqla uyğun gəlir. Yəni həm üçbucaqlı ardıcıllıqda olan bir ədəd, eyni zamanda kvadrat ardıcıllıqda da mövcuddur. Riyaziyyatda bu növ ədədlər xüsusi maraq kəsb edir və nadir hallarda tapılır.

39. Paskal Üçbucağı

Paskal üçbucağı bir çox qanunauyğunluq ehtiva edir: natural ədədlər, üçbucaqlı ədədlər, 2-nin qüvvətləri, Fibonaççi ədədləri. Məsələn:

• 1-ci sətir: 1
• 2-ci sətir: 1 1
• 3-cü sətir: 1 2 1
• 4-cü sətir: 1 3 3 1

40. Ad Günü Problemi

Cəmi 23 nəfər otaqda iki nəfərin eyni ad gününü paylaşma ehtimalı 50%-dir, 365 mümkün gün olmasına baxmayaraq. Məsələn:

• 23 nəfər üçün ehtimal: ~50%
• 50 nəfər üçün ehtimal: ~97%

41. Pifaqor Üçlüləri (Pythagorean Triples)

Pifaqor üçlüləri elə düzbucaqlı üçbucaqlardır ki, onların tərəfləri tam ədədlərlə ifadə olunur və Pifaqor teoreminə cavab verir. Yəni a² + b² = c² şərti ödənilir.

 a = 2² - 1² = 3
 b = 2 * 2 * 1 = 4
 c = 2² + 1² = 5
  

42. Lixrel Ədədləri

196 ədədinin Lixrel ədədi olduğu güman edilir - bu ədəd özünə tərsinə çevrilib əlavə edildikdə heç vaxt palindromik (özünə tərsinə bərabər) ədədə çevrilmir. Məsələn:

• 196 + 691 = 887
• 887 + 788 = 1675
• Bu proses davam etdikcə heç vaxt palindromik ədəd alınmır.

43. Sierpinski Üçbucağı

Bu fraktal nümunə, sonsuz sayda orta üçbucaqların çıxarılması ilə yaradılır və sadə qaydaların mürəkkəb nümunələr yaratmaq qabiliyyətini göstərir.

• Hər addımda üçbucağın orta hissəsi çıxarılır və bu proses sonsuz dəfə təkrarlanır.

44. Çempərnaun Sabiti (The Champernowne Constant)

0.12345678910111213... (tam ədədlərin ardıcıl yazılması ilə yaranır) transsendental ədəddir, yəni heç bir çoxhədli tənliyinin kökü deyil.

• Bu ədəd sonsuz və qeyri-dövri onluq kəsr kimi davam edir.

45. Vilson Teoremi

Bir n ədədi sadəcə və yalnız (n-1)! + 1 n-ə bölünərsə, sadə ədəddir. Məsələn:

• n = 5: (5-1)! + 1 = 24 + 1 = 25 → 25 5-ə bölünür, 5 sadə ədəddir.
• n = 4: (4-1)! + 1 = 6 + 1 = 7 → 7 4-ə bölünmür, 4 sadə ədəd deyil.

46. Eratosthenesin Süzgəci

Eratosthenesin süzgəci, eramızdan əvvəl 240-cı illərdə Eratosthenes tərəfindən yaradılan qədim bir alqoritmdir. Bu alqoritm, sadə ədədləri (yəni, yalnız özləri və 1 ilə bölünən ədədləri) tapmaq üçün ən effektiv üsullardan biridir, xüsusən də kiçik ədədlər üçün. Bu üsul, təbii ədədlərin sırasını təhlil edərək sadə ədədləri tapmaq üçün istifadə olunur.

Əsas prinsipi: Eratosthenesin süzgəci, əvvəlcə 1-dən başlayaraq bir ədəd cədvəlini (ədədlər ardıcıllığını) yazmaqla başlayır. Sonra, başlanğıcda olan ən kiçik ədəd olan 2-ni seçərək, 2-nin bütün qatlarını silir (yəni, 2-nin müsbət çarpanlarını). Növbəti qalan ən kiçik ədəd olan 3-ü seçir və onun bütün qatlarını silir, sonra 5-ə keçir və bu cür davam edir. Hər bir növbəti ən kiçik qalan ədəd sadə ədəd kimi qəbul edilir, çünki o, heç bir başqa ədədə bölünmür.

Misal: 1-dən 30-a qədər olan ədədlər üçün Eratosthenesin süzgəcini tətbiq edək:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30

İlk olaraq 2-ni seçirik və 2-nin bütün qatlarını silirik: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30. Sonra 3-ü seçirik və onun bütün qatlarını silirik: 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30. Növbəti qalan ən kiçik ədəd 5-dir, buna görə də 5-in bütün qatlarını silirik: 10, 15, 20, 25, 30. Bütün ədədləri bu şəkildə təhlil etdikdə, qalan sadə ədədlər 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 olacaq.

Üstünlükləri: Eratosthenesin süzgəci çox sadə və intuitiv bir üsuldur. O, sadə ədədləri tapmaq üçün çox effektivdir, xüsusən də kiçik ədədlər üçün. Müasir hesablama üsullarında belə, bu alqoritm təhsil və tədqiqat sahələrində istifadə olunmaqdadır, çünki təbii ədədlərin sadə olub olmadığını tez və asan şəkildə müəyyən etməyə kömək edir.

Əlavə qeyd: Bu metodun zəif tərəfi, çox böyük ədədlər üçün bu üsulun çox yer tutması və vaxt alıcı olmasıdır. Lakin kiçik ədədlər üçün bu üsul hələ də ən sürətli və sadə həll yoludur.

47. Narsisistik Ədədlər

153 narsisistik ədəddir, çünki 1³ + 5³ + 3³ = 153. 10-luq say sistemində cəmi 88 belə ədəd var. Məsələn:

• 370: 3³ + 7³ + 0³ = 27 + 343 + 0 = 370
• 407: 4³ + 0³ + 7³ = 64 + 0 + 343 = 407

48. Çin Qalıq Teoremi

Çin Qalıq Teoremi, qədim Çin riyaziyyatına aid bir teorem olub, eyni vaxtda bir neçə xətti müqayisəni (kongruensiyanı) həll etmək üçün istifadə olunur. Bu teorem, bir sıra modulyar tənlikləri (mod ədədi) həll etməyə imkan verir və bu gün müasir şifrələmə texnologiyalarında geniş istifadə olunur.

Teoremin Təfərrüatları: Çin Qalıq Teoremi, əsasən aşağıdakı şəkildə izah edilir: əgər müxtəlif modullarla verilmiş bir sıra xətti kongruensiyalar varsa, onda bu kongruensiyaların həlləri birləşdirilərək, vahid bir həll tapıla bilər. Yəni, bir neçə modula uyğun olan ədədlərin vahid bir həllini tapmaq mümkündür.

Formul: Çin Qalıq Teoreminin əsas ideyası, aşağıdakı kimi verilən sistemlər üçün həll tapmağa imkan verir:

 x ≡ a₁ (mod m₁)
 x ≡ a₂ (mod m₂)
 ...
 x ≡ aₖ (mod mₖ)
 

Bu sistemin həlli, bir ədəd x tapmağa imkan verir ki, o, verilən hər bir modula uyğun olaraq müəyyən bir qalıq versin. Ən mühüm xüsusiyyət isə bu həllin unikal olmasıdır, çünki bu həll yalnız modulların ən kiçik ümumi çoxluğu (LCM) ilə təkrarlanır.

Misal: Məsələn, aşağıdakı xətti kongruensiya sistemini həll edək:

 x ≡ 2 (mod 3)
 x ≡ 3 (mod 5)
 x ≡ 1 (mod 7)
 

Bu sistemin həllini tapmaq üçün, Çin Qalıq Teoremini tətbiq edirik və nəticədə x = 23 tapılır. Bu, 23-ün həm 3, həm 5, həm də 7-ə görə uyğun qalıqlar verdiyi üçün sistemin həlli olur. Yəni, 23 ≡ 2 (mod 3), 23 ≡ 3 (mod 5), və 23 ≡ 1 (mod 7).

Çin Qalıq Teoreminin Tətbiqləri: Bu teorem müasir riyaziyyatda və kompüter elmlərində çox mühüm rol oynayır. Xüsusilə, şifrələmə sistemlərində (məsələn, RSA şifrələmə alqoritmasında) bu teorem geniş şəkildə istifadə olunur. Həmçinin, bu teorem verilən çoxsaylı tənliklərə uyğun həll tapmaq üçün effektiv bir alət olaraq riyaziyyatın müxtəlif sahələrində tətbiq edilir.

Çətinliklər: Çin Qalıq Teoremi, müasir riyaziyyat üçün çox güclü və faydalı olsa da, böyük ədədlər ilə işləyərkən hesablama yükü artaraq zaman alıcı ola bilər. Lakin, bu çətinliklərə baxmayaraq, teorem həmişə tətbiq oluna bilər və çox mühüm riyazi nəzəriyyə kimi qalır.

49. Eylerin Fi Funksiyası

φ(n) funksiyası n-dən kiçik və n ilə qarşılıqlı sadə olan ədədlərin sayını hesablayır. Sadə p üçün φ(p) = p-1. Məsələn:

• n = 9: φ(9) = 6 (1, 2, 4, 5, 7, 8)
• n = 7: φ(7) = 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6)

50. Əkiz Sadə Ədədlər Hipotezi

Fərqi 2 olan sonsuz sayda sadə ədəd cütlərinin (məsələn, 3 və 5, 5 və 7, 11 və 13) olduğu güman edilir, lakin bu hələ də sübut olunmayıb. Məsələn:

• 3 və 5
• 5 və 7
• 11 və 13