1. Limitin qiymətləndirilməsi
\(x\) sonsuzluğa yaxınlaşdıqca aşağıdakı limiti qiymətləndirin:
\( \frac{x^3 - 3x^2 + 2x - 1}{x^3 + 2x^2 - x + 1} \)
2. Sonsuz silsilənin cəmi
Silsilənin cəmini tapın:
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^4 + 4} \)
3. Rasional Köklər Teoremi
Aşağıdakı tənliyin rasional kökü olmadığını sübut edin:
\( x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1 = 0 \)
4. Differensial Tənlik
Aşağıdakı differensial tənliyin ümumi həllini tapın:
\( y' - 2y = e^{2x} \)
5. Əyrilər arasındakı sahə
Aşağıdakı əyrilərlə məhdudlaşan sahəni tapın:
\( y = x^2 \) və \( y = x^3 - x \)
6. Triqonometrik tənliyin həlli
Aşağıdakı tənliyi həll edin:
\( \sin x + \cos x = 1 \), \( 0 \le x \le 2\pi \)
7. Kubların cəmi
Aşağıdakı bərabərliyi sübut edin:
\( \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^2 \)
bütün natural \(n\) ədədləri üçün.
8. Əyriyə toxunan xətt
\( y = e^{3x} \ln x \) əyrisinə \((1,0)\) nöqtəsində toxunan xəttin tənliyini tapın.
9. Yaxınlaşma radiusu
Aşağıdakı qüvvət silsiləsinin yaxınlaşma radiusunu tapın:
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n} \)
10. Binom Teoreminin sübutu
Aşağıdakı bərabərliyi sübut edin:
\( (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} b^k a^{n-k} \)
11. Fırlanma cisminin həcmi
\(y = x^2\) və \(y = x\) əyriləri ilə məhdudlaşan bölgənin \(x\)-oxu ətrafında fırlanmasından yaranan cismin həcmini tapın.
12. Ardıcıllığın limiti
Aşağıdakı limiti sübut edin:
\( \underset{n \to \infty}{\lim} \frac{n!}{n^n} = 0 \).
13. Diofant tənliyi
Aşağıdakı Diofant tənliyinin ən kiçik müsbət tam həllini tapın:
\( 7x + 11y = 2023 \).
14. Üçbucaqda bərabərsizlik
\(a\), \(b\) və \(c\) tərəfləri olan istənilən üçbucaq üçün aşağıdakı bərabərsizliyin doğru olduğunu sübut edin:
\( \frac{a^3 + b^3 + c^3}{3} \geq abc \).
15. Müəyyən inteqralın qiymətləndirilməsi
Aşağıdakı inteqralın qiymətini tapın:
\( \int_0^\infty \frac{x^3}{{(x^2+1)^2}} \, dx \).
16. Funksiyanın ekstremum qiymətləri
\( f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 5x^2 \) funksiyasının \([0, 2]\) intervalında maksimum və minimum qiymətlərini tapın.
17. İrrasionallığın sübutu
\( \sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{49} \) ifadəsinin irrasional olduğunu göstərin.
18. Rekursiv əlaqə
\( a_n = 5a_{n-1} - 6a_{n-2} \) rekursiv əlaqəsinin ümumi həllini tapın, \( a_0 = 1 \) və \( a_1 = 3 \) şərtləri ilə.
19. İkiqat inteqralın qiymətləndirilməsi
Aşağıdakı ikiqat inteqralı qiymətləndirin:
\( \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} \frac{1}{{(x^2+y^2)^2}} \, dy \, dx \).
20. Çoxbucaqlının bucaqlarının cəmi
\(n\)-tərəfli çoxbucaqlının bucaqlarının cəminin \( 180^\circ (n-2) \) olduğunu sübut edin.
21. Sonsuz həndəsi silsilənin cəmi
Aşağıdakı sonsuz həndəsi silsilənin cəmini tapın:
\( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} + \ldots \).
22. Sadə ədədin xassələri
İstənilən \(p\) sadə ədədi üçün \( \frac{p-1}{2} \) ədədinin tək olması üçün zəruri və kafi şərtin \( p \equiv 3 \pmod{4} \) olduğunu sübut edin.
23. Əyri boyunca qövs uzunluğu
\( y = \frac{1}{3} x^3 - x \) əyrisinin \(x = 0\) ilə \(x = 2\) arasındakı qövs uzunluğunu tapın.
24. Fərqli düzülüşlər
"MATHEMATICS" sözündəki hərfləri heç iki "M" hərfinin yan-yana olmayacaq şəkildə neçə fərqli yolla düzəltmək olar?
25. Kubların cəmi düsturu
Bütün müsbət tam \(n\) ədədləri üçün aşağıdakı bərabərliyin doğru olduğunu sübut edin:
\( 1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = (1 + 2 + \ldots + n)^2 \).
26. Kompleks müstəvidə sahə
Kompleks müstəvidə \( z_1 = 1 + 2i \), \(z_2 = 2 + i \) və \( z_3 = 1 + i \) nöqtələrində təpələri olan üçbucağın sahəsini tapın.
27. Çoxhədlinin kökləri
\( P(x) = x^n - a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} - \ldots + (-1)^n a_n \) çoxhədlinin bütün köklərinin həqiqi olması üçün zəruri və kafi şərtin \( a_i \geq 0 \) (\( 1 \leq i \leq n \)) olduğunu sübut edin.
28. Düzgün olmayan inteqral
Aşağıdakı düzgün olmayan inteqralı qiymətləndirin:
\( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{{1 + x^2}} \, dx \).
29. Kompleks ədədlər
\(z\) kompleks ədədi \(z^4 = 1\) şərtini ödəyirsə, \(z^2 - z + 1 = 0\) tənliyinin yalnız və yalnız \( z \neq 1 \) olduqda doğru olduğunu sübut edin.
30. Sonsuz sayda sadə ədədlər
\(4k + 3\) formasında sonsuz sayda sadə ədədin olduğunu göstərin, burada \(k\) tam ədəddir.