1. x sonsuzluğa yaxınlaşdıqca limiti hesablayın:
\( \frac{x^3-3x^2+2x-1}{x^3+2x^2-x+1} \)
2. Hesablayın: \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^4 + 4} \)
3. Tənliyin rasional kökünün olmadığını sübut edin:
\( x^5 –x^4 +x^3 –x^2 +x–1 = 0 \)
4. Diferensial tənliyin ümumi həllini müəyyənləşdirin:
\( y'-2y = e^{2x} \)
5. Əyrilərlə əhatə olunmuş sahəni tapın:
\( y=x^2 \) və \( y=x^3–x \)
6. Tənliyi həll edin:
\( sin x + cos x = 1 \), \( 0 \le x \le 2 \pi \)
7. \( \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^2 \) bütün natural n ədədləri üçün isbat edin.
8. \( (1;0) \) nöqtəsində \( y = e^{3x} lnx \) əyrisinə toxunan xəttin tənliyini tapın.
9. Yaxınlaşma radiusunu təyin edin:
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n} \)
10. İsbat edin:
\( (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} b^k a^{n-k} \)
11. \( y=x^2 \) və \( y=x \) əyriləri ilə məhdudlaşan bölgəni \( x \) oxu ətrafında fırlatmaqla əmələ gələn cismin həcmini təyin edin.
12. İsbat edin: \( \underset{n \to \infty}{\lim} \frac{n!}{n^n} = 0 \)
13. \( 7x+11y=2023 \) Diofant tənliyinin ən kiçik müsbət tam həllini tapın.
14. Tərəflərinin uzunluqları a,b,c olan hər hansı üçbucaq üçün aşağıdakı bərabərsizliyin yerinə yetirildiyini sübut edin:
\( \frac{a^3 +b^3 +c^3}{3} \ge abc \)
15. İnteqralın qiymətini müəyyənləşdirin:
\( \int_0^\infty \frac{x^3}{{(x^2+1)^2}} \, dx \)
16. \( [0;2] \) intervalında \( f(x)=3x^4 –8x^3 +5x^2 \) funksiyasının maksimum və minimum qiymətini tapın.
17. \( \sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{49} \) irrasional olduğunu göstərin.
18. \(a_0 =1 \) və \(a_1 = 3 \) olduğunu nəzərə alaraq, \(a_n =5a_{n-1} –6a_{n-2} \) residiv əlaqəsinin ümumi həllini tapın.
19. İkiqat inteqralı hesablayın:
\( \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} \frac{1}{{(x^2+y^2)^2}} \, dy \, dx \)
20. n-tərəfli çoxbucaqlıda bucaqların cəminin \( 180^{\circ } (n-2) \)-yə bərabər olduğunu isbat edin.
21. Sonsuz həndəsi silsilənin cəmini hesablayın:
\( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} + \ldots \)
22. Sübut edin ki, istənilən sadə \(p\) ədədi üçün \( \frac{p-1}{2} \) ədədi yalnız və yalnız \( p \equiv 3 \) (mod 4) olduqda təkdir.
23. \( y = \frac{1}{3} x^3 –x \) əyrisinin \( x = 0 \)-dan \( x = 2 \)-ə qədər qövs uzunluğunu təyin edin.
24. “MATHEMATICS” sözünün hərflərini iki “M” bitişik olmamaq şərti ilə düzmək üçün müxtəlif üsulların sayını müəyyənləşdirin.
25. Bütün müsbət n tam ədədləri üçün aşağıdakıların doğru olduğunu sübut edin:
\( 1^3 +2^3 + \ldots +n^3 = (1+2+ \dots +n)^2 \)
26. Kompleks müstəvidə \( z_1 = 1+2i \), \(z_2 = 2+i \) və \( z_3 = 1+i \) kompleks ədədlərində təpələri olan üçbucağın sahəsini tapın.
27. \( P(x) = x^n –a_1 x^{n-1} +a_2 x^{n-2} - \ldots \) \( \ldots +(-1)^{n-1} a_{n-1} x–(-1)^n a_n \) çoxhədlisinin, bütün \( 1 \le i \le n \) üçün \( a_i \ge 0 \) olduqda bütün köklərinin real olduğunu isbat edin.
28. İnteqralı hesablayın: \( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{{1 + x^2}} \, dx \)
29. Əgər \(z\) kompleks ədəddirsə, \( z^4 =1 \) olarsa, isbat edin ki, yalnız \( z \neq 1 \) olduqda \( z^2 –z+1=0 \) olar.
30. Göstərin ki, \(4k+3\) formasının sonsuz sayda sadə ədədləri var, burada \(k\) tam ədəddir.