Bərabərsizliklər

Bərabərsizliklər ☰

Riyaziyyatda bərabərsizlik, bərabərsizlik simvollarından birini istifadə edərək iki dəyəri, ifadəni və ya kəmiyyəti müqayisə edən ifadədir. Bunun üçün istifadə olunan simvollar "\(<\)" (kiçik), "\(>\)" (böyük), "\(\le\)" (kiçik və ya bərabər), "\(\ge\)" (böyük və ya bərabər) və ya "\( \neq \)" (bərabər deyil).
Rəqəmlərin və ifadələrin müqayisəsi müxtəlif kəmiyyətlərin nisbi ölçülərinin müəyyən edilməsini nəzərdə tutur. Rəqəmləri və ifadələri müqayisə etmək üçün bir neçə üsul var, o cümlədən:

• Müqayisə simvolları: Rəqəmləri müqayisə etmək üçün ən sadə üsullardan biri "kiçikdir" (\(<\)), "böyükdür" (\(>\)), "kiçik və ya bərabərdir" (\(\le\)) və "böyük və ya bərabərdir" (\(\ge\)) kimi müqayisə simvollarından istifadə etməkdir. Məsələn, 3 və 5 rəqəmlərini müqayisə edərkən 3-ün 5-dən kiçik olduğunu göstərmək üçün \(3 < 5\) yaza bilərik.
• Ədəd oxu: Ədəd oxu solda kiçik rəqəmlər, sağda isə böyük rəqəmlər olmaqla, xətt üzərindəki ədədlərin vizual təsviridir. Ədədləri bir ədəd oxunda müqayisə etmək üçün sadəcə olaraq onların bir-birinə nisbətən mövqelərinə baxa bilərik. Məsələn, 3 və 5-i müqayisə etmək istəsək, görə bilərik ki, 5, ədəd oxunda 3-ün sağındadır, ona görə də 5, 3-dən böyükdür.
• Mütləq qiymət: Ədədin mütləq qiyməti həmin ədədin say xəttində sıfırdan məsafəsidir. Eyni işarəli iki ədədi müqayisə etmək üçün onların mütləq qiymətlərini müqayisə edə bilərik. Məsələn, -3 və -5-i müqayisə etmək üçün müvafiq olaraq 3 və 5 olan bu ədədlərin mütləq qiymətlərini müqayisə edə bilərik. -5-in mütləq qiyməti yəni 5, -3-ün mütləq qiymətindən yəni, 3-dən böyük olduğuna görə -5-in mütləq qiymətinin -3-ün mütləq qiymətindən böyük olduğunu deyə bilərik. İki mənfi ədədin müqayisəsi zamanı mütləq qiyməti böyük olan ədəd digərindən kiçikdir. Çünki, mənfi ədədlərdə mütləq qiyməti böyük olan ədəd digərindən kiçikdir.
• Ortaq məxrəc: Kəsrləri müqayisə etmək üçün onları ortaq məxrəcə gətirdikdən sonra surətlərini müqayisə edirik. Eyni məxrəcə sahib olan kəsrlərdə surəti böyük olan kəsr digərindən böyükdür.
  Məsələn, \(\frac{1}{4}\) və \(\frac{2}{5}\), kəsrlərini müqayisə etdikdə onların ortaq məxrəcini 20 olaraq müəyyən edirik. Bu halda kəsrlər uyğun olaraq \(\frac{5}{20}\) və \(\frac{8}{20}\) olur. Məxrəclər eyni olduğu üçün \(\frac{8}{20}\), \(\frac{5}{20}\)-dən böyükdür.
  Deməli, \(\frac{2}{5}\) , \(\frac{1}{4}\)-dən böyükdür.

Bərabərsizliklərin xassələri ☰

Bərabərsizliklərin aşağıdakılar da daxil olmaqla bir çox xassələri var:

• \(a < b\) və \(b < c\) olarsa \(a < c\)
• \(a\le a\) və \(a\ge a\) , istənilən \(a\) ədədi üçün . Bu xassə hər hansı bir dəyərin özünə bərabər olduğunu və həm özündən kiçik, həm də ondan böyük və ya bərabər olduğunu bildirir.
• \(a < b\) olarsa \(b> a\) . Bu xassə o deməkdir ki, əgər bir dəyər digər dəyərdən kiçikdirsə, deməli, ikinci dəyər birinci dəyərdən böyükdür.
• Əgər \(a < b\) və \(c\) hər hansı ədəd olarsa, \(a+c < b+c\) doğrudur. Bu xassə o deməkdir ki, bərabərsizliyin hər iki tərəfinə eyni ədədi əlavə etsəniz, bərabərsizlik doğru olaraq qalır.
• Əgər \(a < b\) və \(c\) hər hansı ədəd olarsa, \(a-c < b–c\) doğrudur.
• Əgər \(a < b\) və \(c\) hər hansı müsbət ədəd olarsa, \(ac < bc\) doğrudur.
• Əgər \(a < b\) və \(c\) hər hansı müsbət ədəd olarsa, \(\frac{a}{c}< \frac{b}{c}\) doğrudur.
• \(a < b\) olduqda, \(-b < -a\) doğrudur.
• \(a < b\) və \(c < d\) olarsa, \(a+c < b+d\) doğrudur.

Bərabərsizliklərin toplanması və vurulması ☰

Bərabərsizliklərin toplanması və vurulması tənlikləri və bərabərsizlikləri həll etmək üçün cəbrdə istifadə edilən əməliyyatlardır.

Toplanması: Əgər \(a < b\) və \(c < d\) iki bərabərsizliyimiz varsa, \(a+c < b+d\) almaq üçün onları birləşdirə bilərik.
Məsələn, Aşağıdakı bərabərsizliyə baxaq.
\(2x-5 > 7\) bərabərsizliyindən \(2x > 12\) almaq üçün bərabərsizliyin hər iki tərəfinə 5 əlavə edə bilərik. Sonra hər iki tərəfi 2-yə bölməklə x>6 ala bilərik. Bu o deməkdir ki, \(x\)-in 6-dan böyük istənilən qiyməti bərabərsizliyi təmin edəcək.

Vurulması: Əgər iki \(a < b\) və \(c> 0\) bərabərsizliyi varsa, onları bir-birinə vuraraq \(ac < bc\) əldə edə bilərik.

Lakin, əgər \(c\) \(0\)-dan kiçikdirsə, biz bərabərsizliyin istiqamətini tərsinə çevirməliyik, çünki mənfi ədədə vurmaq bərabərsizliyin sırasını dəyişir.
Məsələn, \(-3 < 5\) bərabərsizliyimiz varsa və hər iki tərəfi -2 ilə vursaq, \(6> -10\) alırıq.

Misal:
Əgər bizdə \(-3x > 12\) bərabərsizliyi varsa, hər iki tərəfi -3-ə bölmək olar, lakin mənfi ədədə bölmək olduğu üçün bərabərsizliyin istiqamətini çevirməliyik. Bu bizə \(x < -4\) verir.

Ədədi aralıqlar ☰

Ədədi aralıqlar müəyyən edilmiş iki dəyər arasındakı ədədlər diapazonudur. Tez-tez tənliklərin və bərabərsizliklərin həllini təsvir etmək üçün intervallardan istifadə ounur.

Aşağıda ədədi aralıqların yazılış forması və mənaları qeyd olunub:

• Qapalı interval: Qapalı interval hər iki son nöqtəni ehtiva edir və kvadrat mötərizə ilə işarələnir.
  Məsələn, \([a,b]\) intervalına \(a\) və \(b\) arasında olan \(x\)-in bütün qiymətləri, o cümlədən \(a\) və \(b\) özləri daxildir. Beləliklə, əgər \(a=1\) və \(b=5\) olarsa \(a\le x\le b\) olduqda, \([1,5]\) kimi yazılır və 1, 2, 3, 4 və 5-i ehtiva edir.
• Açıq interval: Açıq interval hər iki son nöqtəni istisna edir və mötərizə ilə işarələnir. Məsələn, \((a,b)\) intervalına \(a\) və \(b\) arasında olan \(x\)-in bütün qiymətləri daxildir, lakin \(a\) və \(b\)-nin özləri daxil deyil. Beləliklə, əgər \(a=1\) və \(b=5\) olarsa \(a < x < b\) olduqda, \((1,5)\) kimi yazılır və 2, 3 və 4-ü ehtiva edir, lakin 1 və ya 5 bu aralığa daxil deyil.
• Yarımaçıq interval: Yarımaçıq interval bir son nöqtəni ehtiva edir və digərini istisna edir. Məsələn, \([a,b) \) intervalına \(a\) və \(b\) arasında olan \(x\)-in bütün qiymətləri daxildir, lakin \(b\) daxil deyil. Beləliklə, əgər \(a=1\) və \(b=5\) olarsa \(a\le x < b\) olduqda, \([1,5) \) kimi yazılır və 5-istisna olmaqla, 1, 2, 3 və 4-ü ehtiva edir.
• Yarımqapalı interval: Yarımqapalı interval bir son nöqtəni ehtiva edir və digərini istisna edir. Məsələn, \( (a,b] \) intervalına \(a\) və \(b\) arasında olan \(x\)-in bütün qiymətləri daxildir, lakin \(a\) daxil deyil. Beləliklə, əgər \(a=1\) və \(b=5\) olarsa \(a < x\le b \)olduqda, \((1,5]\) kimi yazılır və 1-istisna olmaqla, 2, 3, 4 və 5-i ehtiva edir.
• Sonsuz interval: Sonsuz interval sonsuzluqda bir və ya hər iki son nöqtəyə malikdir və \(\infty\) və ya \(-\infty\) simvolları ilə işarələnir.
  Məsələn, \((a,\infty)\) intervalına \(x\)-in \(a\)-dan böyük bütün qiymətləri, \((-\infty,b)\) intervalına isə \(b\)-dən kiçik \(x\)-in bütün qiymətləri daxildir.

Birdəyişənli xətti bərabərsizliklərin həlli ☰

Riyaziyyatda birdəyişənli xətti bərabərsizlik \(ax+b < c\) , \(ax+b> c\), \(ax+b \le c\) və ya \(ax+b\ge c\) şəklində ifadə oluna bilən bərabərsizlikdir. Burada \(a\), \(b\) və \(c\) sabitlər, \(x\) isə dəyişəndir.
Birdəyişənli bərabərsizliyin həlli dəyişənin həmin bərabərsizliyi doğru ədədi bərabərsizliyə çevirən bütün qiymətlər çoxluğuna deyilir.
Bərabərsizliyi həll etmək, onun bütün həllərini tapmaq və ya həllinin olmadığını isbat etmək deməkdir. Həllər çoxluğu eyni olan bərabərsizliklər eynigüclü bərabərsizliklər adlanır. Həlləri olmayan bərabərsizliklər də eynigüclü hesab edilir.
Birdəyişənli xətti bərabərsizliyi həll etmək üçün dəyişəni bərabərsizlik simvolunun bir tərəfində təcrid etməli və sonra bərabərsizliyi təmin edən qiymətlər diapazonunu təyin etməliyik. Birdəyişənli xətti bərabərsizliyin həlli üçün aşağıdakı təkliflərdən istifadə olunur:

• Toplananı əks işarə ilə bərabərsizliyin bir tərəfindən o biri tərəfinə keçirdikdə, onunla eynigüclü bərabərsizlik alınır.
• Bərabərsizliyin hər iki tərəfini eyni bir müsbət ədədə vurduqda və ya böldükdə, onunla eynigüclü bərabərsizlik alınır.
• Bərabərsizliyin hər iki tərəfini eyni bir mənfi ədədə vurduqda və ya böldükdə, bərabərsizliyin işarəsini dəyişməklə onunla eynigüclü bərabərsizlik alınır.

Nümunələrə baxaq.

Misal 1: \(2x+3 < 9\) bərabərsizliyi həll edin.
Həlli: 3-ü bərabərsizliyin sol tərəfinə keçiririk, başqa sözlə hər iki tərəfdən 3-ü çıxırıq. Bu halda \(2x < 6\) alırıq. Sonra, hər iki tərəfi 2-yə bölüb \(x < 3\) alırıq. Bu da o deməkdir ki, bərabərsizliyin həlli \((-\infty,3)\) aralığıdır.

Misal 2: \(-5x+2\ge -13\) bərabərsizliyini həll edin.
Həlli: Hər iki tərəfdən 2-ni çıxaraq \(-5x\ge -15\) alırıq. Sonra, hər iki tərəfi -5-ə bölürük. Mənfi ədədə böldüyümüz üçün bərabərsizliyin işarəsini dəyişməklə \(x\le 3\) alırıq. Yəni, bərabərsizliyin həlli \((-\infty,3]\) intervalıdır.

Misal 3: \(3x-4 > 5x+2\) bərabərsizliyi həll edin.
Həlli: Hər iki tərəfdən \(3x\)-i çıxıraq \(-4 > 2x+2\) alırıq. Sonra, hər iki tərəfdən 2-ni çıxaraq \(-6 > 2x\) alırıq. Sonra hər iki tərəfi 2-yə bölərək \(x < -3\) alırıq. Bərabərsizliyin həlli \((-\infty,-3)\) intervalıdır.

İkiqat bərabərsizliklərin həlli ☰

İkiqat bərabərsizliklər iki bərabərsizlik simvolunu və onların arasında dəyişəni ehtiva edən bərabərsizlik növüdür. İkiqat bərabərsizlik, bərabərsizliyi təmin edən dəyişən üçün bir sıra dəyərləri ifadə edir.
Ümumi forması: \(a < x < b\)
Burada \(a\) və \(b\) həqiqi ədədlər, \(x\) isə dəyişəndir.
İkiqat bərabərsizliyi həll etmək üçün bərabərsizliyi təmin edən \(x\) üçün qiymətlər diapazonunu tapmalıyıq. Bunun üçün iki bərabərsizliyin hər birini ayrıca həll etməli və sonra həlləri birləşdirməliyik.

Misal: \(-3 < 2x+1 < 7\) ikiqat bərabərsizliyini həll edək.
Öncə, bərabərsizliyin sol tərəfini həll edək: \(-3 < 2x+1\). Hər iki tərəfdən 1 çıxdıqda \(-4 < 2x\) alırıq.
Hər tərəfi 2-yə bölüb, \(-2 < x\) alırıq.
Növbəti addım, bərabərsizliyin sağ tərəfini həll edirik: \(2x+1 < 7\)
Hər tərəfdən 1 çıxdıqda \(2x < 6\) alırıq.
Hər iki tərəfi 2-yə bölüb \(x < 3\) alırıq.
Hər iki tərəfi həll etdikdən sonra ikiqat bərabərsizlik üçün \(-2 < x < 3\) alırıq.
Bu o deməkdir ki, \(x\), -2-dən böyük və 3-dən kiçik olmalıdır. Yəni, \((-2,3)\).

Dəyişəni modul işarəsi daxilində olan sadə bərabərsizliklər ☰

Modul işarəsi daxilində dəyişəni olan bərabərsizliklərə mütləq qiymət bərabərsizlikləri deyilir. Ədədin mütləq qiyməti həmin ədədin ədəd oxunda sıfırdan məsafəsini ifadə edir. \(x\) dəyişəninin mütləq qiyməti \(|x|\) kimi yazılır və hər zaman müsbətdir.
Dəyişəni modul işarəsi daxilində olan sadə bərabərsizliklərin ümumi forması: \(|ax+b| < c\) .
Burada \(a\), \(b\), və \(c\) sabitlərdir.
Dəyişəni modul işarəsi daxilində olan sadə bərabərsizlikləri həll etmək üçün iki mümkün halı nəzərə almalıyıq:

Birinci hal: \(ax+b\) müsbət və ya sıfırdır.
Yəni, \(|ax+b|=ax+b\).
Bu halda həll aşağıda qeyd olunan kimidir:
\(ax+b < c \rightarrow ax < c-b \rightarrow x < \frac{c-b}{a} \)

İkinci hal: \(ax+b\) mənfidir.
Yəni, \(|ax+b|=-(ax+b)\).
Bu halda həll aşağıda qeyd olunan kimidir:
\( -(ax+b) < c \rightarrow -ax-b < c \rightarrow \) ...
\( \rightarrow ax> -(c+b) \rightarrow x > -\frac{c+b}{a} \)

Ümumiləşdirsək, Dəyişəni modul işarəsi daxilində olan sadə bərabərsizlikləri \( (|ax+b| < c ) \) həll etmək üçün, iki halı nəzərdən keçirməliyik:
1. \( ax+b \) müsbət və ya sıfırdır.
2. \( ax+b \) mənfidir.
Sonra, həlli tapmaq üçün hər bir halda \(x\)-i təcrid edə bilərik.

Nümunəyə baxaq: \( |2x+1| < 5\) .
1-ci hal: \( 2x+1 \ge 0 \)
\( 2x+1 < 5 \)
\( 2x < 4 \)
\( x < 2 \)

2-ci hal: \( 2x+1 < 0 \)
\( -2x-1 < 5 \)
\( -2x < 6 \)
\( x > -3 \)

Nəticə:
\( |2x+1| < 5 \) həlli \( -3 < x < 2 \). Yəni, \( (-3;2) \).