İki nöqtə arasındakı məsafə düsturu ☰

Koordinat müstəvisi üzərində \(P_1 (x_1,y_1 )\) və \(P_2 (x_2,y_2 )\) nöqtələri arasındakı məsafə:
\(d=\sqrt{(x_2-x_1 )^2 + (y_2-y_1 )^2 } \), burada \(d\) iki nöqtə arasındakı məsafədir.

Məsafə düsturu düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzun kvadratının (ən uzun tərəfi) digər iki tərəfin kvadratlarının cəminə bərabər olduğunu bildirən Pifaqor teoremindən götürülüb. Koordinat müstəvisində iki nöqtə arasındakı məsafəni düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzu kimi, iki nöqtə arasındakı \(x\) və \(y\) fərqlərini digər iki tərəf kimi qəbul etmək olar.
Məsafə düsturunu əldə etmək üçün bir tərəfi \(x\) oxu boyunca, digər tərəfi isə \(y\) oxu boyunca düzbucaqlı üçbucaq çəkə bilərik. Hipotenuzanın uzunluğu iki nöqtə arasındakı məsafədir.

Çevrənin tənliyi ☰

Mərkəzi \(O(0; 0)\) koordinat başlanğıcında yerləşən, radiusu \(r\) olan çevrənin tənliyi
\(x^2 + y^2 = r^2 \) şəklindədir. \(x\) və \(y\) çevrə üzərindəki istənilən nöqtədir.

Tənliyin ümumi halı: Koordinat müstəvisində çevrənin tənliyi
\((x-h)^2 +(y-k)^2 =r^2 \), burada \((h,k)\) çevrənin mərkəzi, \(r\) isə radiusdur.

Dairənin tənliyi iki nöqtə \((x_1,y_1 )\) və \((x_2,y_2 )\) arasındakı məsafənin aşağıdakı şəkildə verildiyini bildirən məsafə düsturundan alınır:
\(d=\sqrt{(x_2-x_1 )^2 +(y_2-y_1 )^2}\)

Bir dairə vəziyyətində, dairənin çevrəsinin hər bir nöqtəsi mərkəzdən bərabər məsafədədir. Buna görə də, mərkəzi \((h,k)\) və radiusu \(r\) olan dairənin çevrəsində \((x,y)\) nöqtəsi varsa, məsafə düsturunda \(d=r\) təyin edə bilərik:
\(r=\sqrt{(x-h)^2 +(y-k)^2} \)

Bu tənliyin hər iki tərəfini kvadrata yüksəltmək və sadələşdirmək bizə çevrənin tənliyini verir:
\( (x-h)^2 +(y-k)^2=r^2 \)

Çevrə üzərindəki nöqtələrin koordinatları və triqonometrik nisbətlər ☰

Çevrə üzərindəki nöqtələrin koordinatları:
Əgər \(P(x,y)\) nöqtəsi \(r\) radiuslu çevrə üzərində yerləşirsə, onda bizim \(x^2 +y^2 =r^2 \) tənliyimiz olur. Bu o deməkdir ki, \(r\)-in qiymətini və dairənin bir nöqtəsinin koordinatlarını bilsək, çevrənin hər hansı digər nöqtəsinin koordinatlarını tapa bilərik.
Dairənin üzərindəki nöqtələrin koordinatlarını tapmaq üçün əvvəlcə dairənin mərkəzini və onun radiusunu bilməliyik. Bu məlumatı əldə etdikdən sonra çevrənin istənilən nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq üçün triqonometriyadan istifadə edə bilərik.
Fərz edək ki, dairənin mərkəzi \((h,k)\) nöqtəsi və radiusu \(r\)-dir. \(\theta\) müsbət \(x\) oxu ilə dairənin mərkəzini çevrənin maraq nöqtəsi ilə birləşdirən xətt arasındakı bucaq olsun (saat əqrəbinin əksinə ölçülür). Onda dairənin üzərindəki nöqtənin koordinatları belədir:
\(x=h+rcos(\theta)\)
\(y=k+rsin(\theta)\)
Burada \(cos(\theta)\) və \(sin(\theta)\) müvafiq olaraq \(\theta\) bucağının kosinus və sinus funksiyalarıdır.

Triqonometrik nisbətlər:
Dairənin üzərindəki \(P(x,y)\) nöqtəsini nəzərə alsaq, başlanğıc nöqtəsi ilə \(P\) nöqtəsindən keçən xətt və müsbət \(x\) oxu arasında əmələ gələn \( \theta \) bucağı əsasında altı triqonometrik nisbət müəyyən edə bilərik. Bu nisbətlər:

• Sinus: \( \sin \theta = \frac{y}{r} \)
• Kosinus: \( \cos \theta = \frac{x}{r} \)
• Tangens: \( \tan \theta = \frac{y}{x} \)
• Kosekans: \( \csc \theta = \frac{r}{y} \)
• Sekans: \( \sec \theta = \frac{r}{x} \)
• Kotangens: \( \cot \theta = \frac{x}{y} \)

Qeyd edək ki, bu nisbətlər \(P\) nöqtəsinin koordinatlarından deyil, yalnız \( \theta \) bucağından və \(r\) radiusundan asılıdır.

Xüsusi bucaqların triqonometrik funksiyaları:
Müəyyən bucaqlar üçün triqonometrik nisbətlərin xüsusi dəyərləri var.
Məsələn, əgər \(\theta = 0 \) olarsa, onda \(P\) müsbət \(x\) oxunda yerləşir, ona görə də \(sin \theta = 0\), \(cos \theta = 1\) və \(tg \theta = 0\).
Eynilə, əgər \( \theta = \frac{\pi}{2}\) olarsa, onda \(P\) müsbət \(y\) oxu üzərində yerləşir, ona görə də \(sin \theta = 1\), \(cos \theta = 0\) və \(tg \theta \) qeyri-müəyyəndir.
Qonşu bucaqların sinusları bərabədir, kosinusları isə qarşılıqlı əksdir. Yəni, \( \sin(180^\circ - \theta) = \sin(\theta)\) , \(\cos(180^\circ - \theta) = -\cos(\theta) \) . Buaradan \(\cos(\theta) \neq 0 \) olduqda \(\tan(180^\circ - \theta) = -\tan(\theta)\) olur.

Sektor və seqment ☰

Dairə ən vacib həndəsi fiqurlardan biridir və onun sektor və seqment də daxil olmaqla, maraq doğuran bir neçə hissəsi var.

Sektor:
Bir dairənin sektoru iki radius və bir qövs ilə məhdudlaşan bölgədir. İki radiusun yaratdığı bucaq sektorun mərkəzi bucağı adlanır. Dairənin sektoru pizza dilimi kimidir.
Dairənin sektorunun sahəsini aşağıdakı düsturdan istifadə etməklə tapmaq olar:

\(S = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi r^2 \)

burada \(r\) çevrənin radiusu, \(\theta\) sektorun dərəcə ilə mərkəzi bucağıdır.
Qeyd edək ki, düsturda \(\theta\) bucağı dərəcə olmalıdır. Əgər \(\theta\) radyanla verilirsə, düsturdan istifadə etməzdən əvvəl onu \( \frac{180}{\pi}\) ilə vuraraq dərəcəyə çevirmək lazımdır.
Bu halda düstur: \(S=\frac{1}{2} r^2 \theta\)

Seqment:
Dairənin seqmenti çevrənin vətəri və onun kəsdiyi qövslə məhdudlaşan hissəsidir.
İki növ seqment var: böyük seqment və kiçik seqment.
Dairənin seqmentinin sahəsini tapmaq üçün aşağıdakı düsturdan istifadə edirik:

\(S = \frac{1}{2} r^2 (\theta - \sin \theta) \)

Burada \(r\) çevrənin radiusu, \(\theta\) isə seqmentin radyanla mərkəzi bucağıdır.

Sektorun qövsünün uzunluğu düsturu: \(L=r \theta\), burada \(L\) qövsün uzunluğu, \(\theta\) isə radyanla sektorun mərkəzi bucağıdır.