Çoxhədlilər ☰
Çoxhədlilər, hər bir hədd sabit əmsalın və qeyri-mənfi tam ədədə yüksəldilmiş dəyişənin hasili olmaqla, hər bir həddin cəmini əhatə edən riyazi ifadələrdir. Çoxhədlilər riyaziyyatda fundamentaldır və cəbr, hesablama və ədədlər nəzəriyyəsi kimi sahələrdə geniş tətbiq sahəsinə malikdir.
Birdəyişənli \(P(x)\) çoxhədlisi aşağıdakı formada yazılır: $$ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ⋯ + a_1 x + a_0 $$
Burada, \(n\), çoxhədlinin dərəcəsi adlanan müsbət tam ədəd, \( a_i (i=0,1,...,n) \) müəyyən ədədlər \( (a_n \neq 0, n \ge 1) \), \( a_i x^i \) baş hədd, \(a_n\) baş əmsal, \(a_0\) sərbəst hədd, \(x\) isə dəyişəndir.
Çoxhədlilərə bəzi nümunələr:
- \( P(x) = 5x^3 - 2x^2 + 4x-1 \) 3-cü dərəcəli çoxhədli (kub çoxhədli).
- \( Q(x) = 7x^4 - 3x + 9 \) 4-cü dərəcəli çoxhədli (dördlük (kvart) çoxhədli).
- \( R(x) = 6x - 3 \) 1-ci dərəcəli çoxhədli (xətti çoxhədli).
Çoxhədlilərin xassələri
Kökləri və ya sıfırları: \(P(x)\) çoxhədlisinin kökü (və ya sıfırı) \(x\)-in dəyəridir, onun üçün çoxhədli sıfıra bərabər, yəni \(P(x)=0\)-dır. Cəbrin Fundamental Teoremində deyilir ki, \(n\) dərəcəli qeyri-sabit çoxhədlinin tam olaraq n kompleks kökləri (təkrarlanan köklər də daxil olmaqla) var.
Cəbrin əsas teoremi (Qauss teoremi): Dərəcəsi sıfırdan böyük olan istənilən çoxhədlinin kompleks ədədlər çoxluğunda ən azı bir kökü var.
Baş həddin əmsalı \( \pm 1 \) olduqda tam əmsallı çoxhədlinin rasional kökü yalnız tam ədədlər ola bilər.
Tam əmsallı çoxhədlinin tam kökü (varsa) sərbəst həddin bölənidir.
Toplanması və ya çıxılması: İki çoxhədlini cəmləmək və ya çıxmaq üçün sadəcə olaraq onların müvafiq əmsallarını toplamaq və ya çıxmaq kifayətdir. Məsələn:
\( P(x) = 3x^2 + 2x–1 \) və \( Q(x) = x^2 – x+4 \) $$ P(x)+Q(x)=(3+1) x^2+(2–1)x+ (-1+4)=4x^2+x+3 $$
Hasili: İki çoxhədlini vurmaq üçün paylanma qanununu tətbiq edin və oxşar hədləri birləşdirin. Məsələn:
\( P(x)=2x^2 +x–3 \) və \( Q(x)=x–1 \) çoxhədliləri. $$ P(x) \cdot Q(x)=(2x^2+x–3)(x–1)= 2x^3–2x^2+x^2–x–3x+3=2x^3–x^2–4x+3 $$
Çoxhədlinin bölünməsi: Bir çoxhədlini digərinə bölmək bölmənin və qalığın tapılmasını nəzərdə tutur. Çoxhədlilər üçün bölmə alqoritmi bildirir ki, \( D(x) \neq 0 \) olan hər hansı \(P(x)\) və \(D(x)\) çoxhədliləri üçün unikal \(Q(x)\) və \(R(x)\) çoxhədliləri mövcuddur ki, \( P(x)=D(x)Q(x)+R(x) \), burada ya \( R(x)=0 \), ya da \(R(x)\) dərəcəsi \(D(x)\) dərəcəsindən kiçikdir. Bu, tam ədədlərin bölünməsinə bənzəyir, burada hissə və qalıq unikal şəkildə müəyyən edilir.
Uzun bölmə və sintetik bölmə çoxhədli bölməni yerinə yetirmək üçün istifadə olunan iki ümumi üsuldur.
Faktorlara ayırmaq: Çoxhədlini faktorlara ayırmaq onun daha sadə çoxhədlilərin hasili kimi ifadəsini nəzərdə tutur.
Məsələn, \( x^2 –5x+6 \) çoxhədlisi \( (x–2)(x–3) \) kimi faktorlara bölünə bilər. Faktorinq çoxhədlinin köklərinin tapılmasında mühüm vasitədir, çünki çoxhədli sıfıra bərabərdir, çünki onun vuruqlarından biri sıfıra bərabərdir.
Çoxhədli funksiya ☰
Çoxhədli funksiyalar çoxhədli ifadə ilə təmsil oluna bilən funksiyalar sinfidir. Birdəyişənli \(P(x)\) çoxhədli funksiyası aşağıdakı formada yazılır: $$ P(x)=a_n x^n +a_{n-1} x{n-1} + ⋯ + a_1 x+a_0 $$
Çoxhədli funksiyaları riyaziyyatın və elmin müxtəlif sahələrində faydalı olan bir çox vacib xüsusiyyətlərə malikdir:
Kəsilməz qrafik: Çoxhədli funksiyalar bütün həqiqi ədədlər çoxluğunda təyin olunub və davamlıdır. Bu, o deməkdir ki, çoxhədli funksiyasının qrafikində heç bir kəsilmə və ya qırılma yoxdur.
Diferensiallaşma: Çoxhədli funksiyalar öz təyin oblastlarında hər yerdə diferensiallaşa bilir, yəni hər nöqtədə törəmə var. Çoxhədli funksiyanın törəməsi başqa bir çoxhədli funksiyadır, hər həddi \(x\)-ə görə diferensiallaşdırmaqla alınır.
Məsələn, \( P(x)=5x^3 –2x^2 +4x–1 \) üçün
\( P' (x)=15x^2 –4x+4 \)
Hamarlıq: Diferensial ola bildiyi üçün çoxhədli funksiyalar hamardır, yəni onların qrafikində iti küncləri və ya ucları yoxdur.
Son davranış (End behavior): Çoxhədli funksiyanın son davranışı onun baş həddi ilə müəyyən edilir ki, bu da ən yüksək dərəcəyə malik olan həddir. \(x\) müsbət və ya mənfi sonsuzluğa yaxınlaşdıqca, baş hədd funksiyanın davranışında üstünlük təşkil edir və digər hədlər daha az əhəmiyyət kəsb edir.
Məsələn, \( P(x)=3x^4 –5x^2 +2x–1 \), \(P(x)\)-in son davranışı \(3x^4\) ilə müəyyən edilir, ona görə də \(x\) müsbət və ya mənfi sonsuzluğa yaxınlaşdıqca qrafik sərhədsiz böyüyəcəkdir.
Cəbri xassələr: Çoxhədli funksiyalar toplama, çıxma, vurma və kompozisiya altında bağlanma da daxil olmaqla bir neçə cəbri xüsusiyyət nümayiş etdirir. Bu o deməkdir ki, çoxhədli funksiyalar üzərində bu əməliyyatları yerinə yetirdikdə başqa bir çoxhədli funksiya əldə edirsiniz. Məsələn, \(P(x)\) və \(Q(x)\) çoxhədli funksiyalardırsa, onların cəmi, fərqi, hasili və kompozisiyası \( (P \circ Q)(x)=P(Q(x)) \) da çoxhədli funksiyalardır.
Qrafiki: Çoxhədli funksiyanın qrafiki bütün nöqtələrin \((x,P(x))\) çoxluğunu ifadə edən Dekart müstəvisində əyridir. Qrafikin forması çoxhədlinin dərəcəsindən və onun əmsallarının işarələrindən asılıdır. Məsələn, xətti çoxhədlinin qrafiki düz xətt, kvadrat çoxhədlinin qrafiki isə paraboladır.
Rasional funksiya ☰
Rasional funksiyalar iki çoxhədli funksiyanın nisbətini ifadə edən riyazi ifadələrdir. Ümumiyyətlə, rasional funksiya belə yazıla bilər:
\(R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \), burada \(P(x)\) və \(Q(x)\) çoxhədli funksiyalardır və \(Q(x)\) sıfırdan fərqlidir. $$ \small P(x)= a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + … + a_1 \cdot x+a_0 $$ $$ \small Q(x)=b_m \cdot x^m +b_{m-1} \cdot x^{m-1} + … + b_1 \cdot x+b_0 $$ Rasional funksiyanın təyin oblastı məxrəci \(Q(x)\) sıfıra bərabər olmayan bütün x həqiqi ədədlərindən ibarətdir. Başqa sözlə desək, təyin oblastı məxrəci sıfır edənlərdən başqa bütün real ədədlərin məcmusudur.
Rasional funksiyaların bəzi xüsusiyyətlərinə aşağıdakılar daxildir:
Şaquli asimptotlar: Bunlar \(Q(x)\) məxrəci sıfıra bərabər olduqda baş verir və \(x\) məxrəcin sıfır olduğu qiymətə yaxınlaşdıqca funksiya sonsuza və ya mənfi sonsuzluğa yaxınlaşır.
Üfüqi asimptotlar: Bunlar surət və məxrəcin dərəcələri bərabər olduqda və ya surətin dərəcəsi məxrəcin dərəcəsindən kiçik olduqda baş verir. Üfüqi asimptot x müsbət və ya mənfi sonsuzluğa yaxınlaşdıqda funksiyanın limitini təmsil edir.
Maili asimptotlar: Surətdəki çoxhədlinin dərəcəsi məxrəcdəki çoxhədlinin dərəcəsindən 1 vahid böyük olduqda, çoxhədlilərin bölünməsindən alınan qismət \( y=ax+b \) şəklində xətti funksiya olur və \(x\)-in modulca böyük qiymətlərində funksiyanın qrafiki bu dü xəttə sonsuz yaxınlaşır. Bu halda deyirlər ki \( y=ax+b \) düz xətti rasional funksiyanın maili asimptotudur.
Kəsişmə nöqtələri: \(x\)-kəsici(ləri) tapmaq üçün \(P(x)\)-i sıfıra bərabər edin və \(x\) üçün həll edin. y-kəsicini tapmaq üçün \(x\)-i sıfıra bərabər edin və \(R(x)\)-in müvafiq qiymətini tapın.
Son davranış (End behavior): Rasional funksiyanın son davranışı surətin və məxrəcin dərəcələri, həmçinin həm surətdə, həm də məxrəcdə baş hədlərin əmsalları ilə müəyyən edilir.
