Mündəricat ⓘ Başlıqlara toxunmaqla xüsusi mövzulara asanlıqla keçid edə bilərsiniz.
Çoxüzlülər ☰
Çoxbucaqlı üçölçülü həndəsi fiqurdur və yastı çoxbucaqlı üzləri kənarları boyunca birləşdirərək əmələ gəlir. Hər bir üz düz tərəfləri olan iki ölçülü forma olan çoxbucaqlıdır. Üzlərin birləşdiyi künclərə təpə, bu təpələri birləşdirən düz xətlər isə til adlanır. Çoxüzlülər qabarıq və çökük olmaqla iki növə ayrılır. Çoxüzlü səthindəki hər bir müstəvi çoxbucaqlının müstəvisinə görə bir tərəfdə yerləşərsə, ona qabarıq çoxüzlü deyilir. Qabarıq çoxüzlünün istənilən iki nöqtəsini birləşdirən parça onun daxili oblastına aid olur.
Çoxüzlülər müxtəlif xüsusiyyətlərinə görə təsnif edilə bilər:
⠐ Düzgün çoxüzlülər: Beş Platonik fiqur var ki, onların bütün üzləri uyğundur (konqruyentdir), düzgün çoxbucaqlıdır və hər təpədə eyni sayda üzlər görüşür. Onlar:
Tetraedr (Tetrahedron): 4 üz, hər biri üçbucaq (hər təpədə birləşən 3 bərabərtərəfli üçbucaq)
Kub (Hexahedron): 6 üz, hər biri kvadrat (hər təpədə 3 kvadrat birləşir)
Oktaedr (Octahedron): 8 üz, hər biri üçbucaq (hər təpəsində 4 bərabərtərəfli üçbucaq birləşir)
Dodekaedr (Dodecahedron): 12 üz, hər biri beşbucaqlı (hər təpədə 3 düzgün beşbucaqlı birləşir)
İkosaedr (Icosahedron): 20 üz, hər biri üçbucaq (hər təpədə 5 bərabərtərəfli üçbucaq birləşir)
⠐ Qismən düzgün çoxüzlülər (Arximed fiqurları): Bunlar düzgün çoxbucaqlı üzləri olan çoxüzlülərdir, lakin bütün üzlər eyni deyil. 13 Arximed fiquru var və onlar Platonik fiqurların kəsilməsi və ya genişlənməsi nəticəsində əmələ gəlir.
Prizma: Oturacaq adlanan iki üzü paralel və konqruyent çoxbucaqlı, qalan üzləri isə paraleloqram olan çoxüzlüdür.
Piramida: Piramidalar çoxbucaqlı oturacağı və ümumi (ortaq) təpəsində (zirvəsində) birləşən üçbucaqlı üzləri olan çoxüzlüdür.
Digər çoxüzlülər: Qeyri-bərabər üz formaları və ya təpə konfiqurasiyaları olan düzgün olmayan çoxüzlülər də daxil olmaqla, yuxarıdakı kateqoriyalara aid olmayan bir çox başqa çoxüzlü növləri var.
Çoxüzlünün (Polihedronun) xassələri çoxüzlüdə üzlərin (F), təpələrin (V) və tillərin (E) sayını birləşdirən Eyler düsturundan istifadə etməklə təsvir edilə bilər:
\( V-E+F=2 \)
Bu düstur onun xüsusi formasından və üzlərin düzülüşündən asılı olmayaraq hər hansı qabarıq çoxbucaqlılar üçün doğrudur.
Prizmalar ☰
Prizma çoxüzlülərin xüsusi növüdür, üzləri düz olan üçölçülü həndəsi fiqurdur. Prizmalar düzbucaqlı üzlər dəsti ilə birləşdirilən, oturacaqlar adlanan iki uyğun, paralel çoxbucaqlı üz ilə xarakterizə olunur. Oturacaqların forması prizmanın növünü müəyyən edir.
Prizmaların bəzi əsas xüsusiyyətləri bunlardır:
Oturacaqlar: Oturacaqlar konqruyent çoxbucaqlıdır, yəni eyni forma və ölçüyə malikdirlər. Onlar bir-birinə paraleldirlər və prizmanın ümumi formasını təyin edirlər. Ümumi prizmalara oturacaqlarının formalarına görə üçbucaqlı, düzbucaqlı və beşbucaqlı prizmalar daxildir.
Yan üzlər: Yan üzlər oturacaqların müvafiq tillərini birləşdirən düzbucaqlı üzlərdir. Yan üzlərin sayı oturacaqdakı çoxbucaqlının tərəflərinin sayına bərabərdir. Yan üzlər həmişə bir-birinə paraleldir.
Tillər: Prizmanın iki növ tili var: oturacağın tilləri və yan tillər. Əsas tilləri oturacaqdakı çoxbucaqlıların tilləridir, yan tillər isə oturacaqların təpələrini birləşdirir. Prizmadakı tillərin sayı oturacaq çoxbucaqlıdakı tərəflərin sayı ilə yan üzlərin sayının cəminin iki dəfəsidir.
Təpə nöqtələri: Prizmanın iki dəst təpə nöqtəsi var - hər bir oturacaq üçün bir dəst. Prizmadakı təpə nöqtələrinin sayı oturacaq çoxbucaqlıdakı təpə nöqtələrin sayından iki dəfə çoxdur.
Düz və mail prizma: Düz prizma, yan tillərin oturacaqdakı çoxbucaqlılara perpendikulyar olduğu prizmadır, yəni yan üzlər də oturacaqdakı çoxbucaqlılara perpendikulyardır. Mail prizmada yan tillər oturacaqdakı çoxbucaqlılara perpendikulyar deyil və yan üzlərin əyilməsinə səbəb olur.
n-bucaqlı: Prizmanın oturacaqları n-bucaqlıdırsa, ona n-bucaqlı prizma deyilir.
n-bucaqlı prizmanın 2n sayda təpə nöqtəsi, \(n+2 \) sayda üzü, 3n sayda tili var.
Hündürlük: Prizmanın oturacaq müstəviləri arasındakı məsafəyə onun hündürlüyü deyilir. Düz prizmanın yan tili onun hündürlüyünə bərabərdir.
Diaqonal: Prizmanın eyni üzündə olmayan iki təpəsini birləşdirən düz xətt parçasına onun diaqonalı deyilir.
Həcm: Prizmanın həcmi, oturacağın sahəsini (S) prizmanın hündürlüyünə (h) (oturacaqlar arasındakı perpendikulyar məsafə) vurmaqla hesablanır. Həcmin düsturu belədir:
\( \text{Həcm } = S_{ot} \cdot h \)
Səthin sahəsi: Prizmanın səthinin sahəsi onun üzlərinin sahələrinin cəminə bərabərdir, bura oturacaqların sahələri və yan üzlərin sahələri daxildir. Səth sahəsini tapmaq üçün oturacaqdakı çoxbucaqlının sahəsini, bir yan üzün sahəsini hesablayın və sonra müvafiq olaraq sahələri vurun və cəmləyin.
Oturacağı paraleloqram olan prizmaya paralelepiped deyilir. Paralelepipedin qarşı üzləri paralel və konqruyentdir. Oturacağı düzbucaqlı olan düz paralelepipedə düzbucaqlı paralelepiped deyilir. Uzunluğu a, eni b, hündürlüyü c olan düzbucaqlı paralelepipedin tam səthinin sahəsi
\( S = 2 ( ab + ac +bc ) \) düsturu ilə hesablanır.
Prizmanın səthinin sahəsi ☰
Prizmanın səth sahəsi onun bütün üzlərinin, o cümlədən oturacaqları və yan üzlərinin ümumi sahəsidir. Səth sahəsini tapmaq üçün hər bir üzün sahəsini hesablamaq və sonra bu sahələri toplamaq lazımdır.
Prizmanın səth sahəsini tapmaq üçün addım-addım yanaşma:
Oturacaqdakı çoxbucaqlı: Oturacaqdakı çoxbucaqlının formasını müəyyən edin (məsələn, üçbucaq, düzbucaqlı, beşbucaqlı). Bu forma oturacaqların sahəsini hesablamaq üçün istifadə olunacaq.
Oturacaqdakı çoxbucaqlının sahəsini hesablayın: Oturacaqdakı çoxbucaqlının sahəsi üçün uyğun düsturdan istifadə edin. Məsələn:
⠐ üçbucaq: \( \frac{1}{2} \cdot \text{ oturacaq } \cdot \text{ hündürlük } \)
⠐ düzbucaq: \( \text{ uzunluq } \cdot \text{ en } \)
⠐ düzgün çoxbucaqlı: (tərəflərin sayı n , tərəfin uzunluğu s) \( \frac{n \cdot S^2 }{4 \cdot tan ( \frac{ \pi }{n} )} \)
Hər iki oturacağın sahəsini hesablayın: Oturacaqlar konqruyent olduğundan, hər iki oturacağın ümumi sahəsini tapmaq üçün bir oturacağın sahəsini 2-yə vurun.
Yan səthin sahəsini hesablayın: Bunu etmək üçün yan üzün maili hündürlüyü (l) və oturacağın perimetrini (P) bilmək lazımdır. Maili hündürlük yan üzü meydana gətirən düzbucaqlının hündürlüyüdür. Oturacağın perimetri oturacağın tərəflərinin uzunluqlarının cəmidir.
Yan üzün sahəsi aşağıdakı kimi verilir:
\( S_{\text{yan}} = P \cdot l \).
Qeyd: Düz prizma üçün maili hündürlük, oturacaqlar arasındakı perpendikulyar məsafə olan prizmanın hündürlüyü (h) ilə eynidir.
Sahələri cəmlə: $$ S_{ \text{tam} } = 2 S_{ \text{ot} } + S_{ \text{yan} } $$
Prizmanın həcmi ☰
Prizmanın həcmini tapmaq üçün onun oturacağının sahəsini təyin etmək və onu prizmanın hündürlüyünə vurmaq lazımdır. Prizmanın hündürlüyü iki oturacaq arasındakı perpendikulyar məsafədir.
Cismi sonlu sayda üçbucaqlı piramidalara ayırmaq olarsa, ona sadə cisim deyilir. Sadə cisimlər üçün həcm - ədədi qiyməti aşağıdakı xassələri ödəyən müsbət kəmiyyətdir:
1. Konqruyent cisimlərin həcmləri bərabərdir.
2. Tili uzunluq vahidinə bərabər olan kubun həcmi kub vahidə bərabərdir.
3. Cisim sadə cisimlərlə hissələrə ayrılırsa, onda bu cismin həcmi onun hissələrinin həcmləri cəminə bərabərdir.
Həcmləri bərabər olan cisimlərə müadil cisimlər deyilir.
Həcm hesablamaq üçün düstur: \( V = S_{ \text{ot} } \cdot h \).
Tilinin uzunluğu a olan kubun həcmi \( V = a^3 \) düsturu ilə hesablanır.
Piramida. Piramidanın səthinin sahəsi. ☰
Piramida çoxbucaqlı oturacağa və ortaq təpəli üçbucaq üzlərə malik çoxüzlüdür. Piramidanın ən məşhur nümunəsi kvadrat oturacaqlı və dörd üçbucaqlı üzü olan Misir piramidalarıdır. Bununla belə, piramidalar üçbucaqlı, düzbucaqlı və ya beşbucaqlı kimi müxtəlif oturacaqlara malik ola bilər.
Üçbucaqlı üzlərə yan üzlər, kənarlarına isə yan tillər deyilir. Yan üzlərdəki üçbucaqların ortaq təpəsinə piramidanın təpəsi deyilir. Piramidanın hündürlüyü zirvə ilə oturacaq arasındakı perpendikulyar məsafədir. Hündürlüyü apofemlə qarışdırmamaq vacibdir. Düzgün piramidanın yan üzündə təpədən oturacağın tərəfinə çəkilmiş hündürlüyə apofem deyilir. Oturacağı düzgün çoxbucaqlı və hündürlüyünün oturacağı bu çoxbucaqlının mərkəzi ilə üst-üstə düşən piramidaya düzgün piramida deyilir. Düzgün piramidanın yan tilləri konqruyentdir. Düzgün piramidanın yan üzləri konqruyent bərabəryanlı üçbucaqlardır. Düzgün üçbucaqlı piramidaya tetraeder də deyilir.
Piramidanın səthinin sahəsi:
Piramidanın yan səthinin sahəsi onun yan üzlərinin sahələrinin cəmidir. Yan səth sahəsini tapmaq üçün aşağıdakı düsturdan istifadə edə bilərsiniz:
\( S_{ \text{yan} } = \frac{1}{2} \cdot P \cdot h_{ \text{ap} } \), burada \(P\) oturacağın perimetri, \( h_{ \text{ap} } \) isə piramidanın apofemidir.
Tam səthinin sahəsi isə \( S_{ \text{tam} } = S_{ \text{yan} } + S_{ \text{ot} } \) düsuru ilə tapılır. \( S_{ \text{ot} } \) oturacağın sahəsidir.
Piramidanın həcmi ☰
Piramidanın həcmi onun üçölçülü fəzada tutduğu yerin miqdarıdır. Piramidanın həcmini hesablamaq üçün onun oturacağının sahəsini və hündürlüyünü bilmək lazımdır.
Piramidanın həcmini hesablamaq üçün düstur belədir:
\( V = \frac{1}{3} \cdot \text{Oturacağın sahəsi} \cdot \text{Hündürlük} \)
