Mündəricat ⓘ Başlıqlara toxunmaqla xüsusi mövzulara asanlıqla keçid edə bilərsiniz.
Ədədi ardıcıllıqlar ☰
Ardıcıllıq hər bir elementin ardıcıllıqda unikal indeks və ya mövqe ilə müəyyən edildiyi elementlərin sıralanmış siyahısıdır. Natural ədədlərlə ardıcıl nömrələnmiş ədədlər çoxluğuna ədədi ardıcıllıq, həmin ədədlərə isə ardıcıllığın hədləri deyilir. Ardıcıllığı əmələ gətirən ədədlərə uyğun olaraq ardıcıllığın birinci, ikinci üçüncü və s. hədləri deyilir. Ardıcıllığın hədlərini adətən hərflərlə işarə edirlər, hərfin indeksi həddin sıra nömrəsini göstərir. Məsələn, birinci hədd \(a_1\) , ikinci hədd \(a_2\) , \(n\)-ci hədd \(a_n\) və s.
Ardıcıllığı verməkdən ötrü onun istənilən nömrəli həddini tapmağa imkan verən üsulu göstərmək lazımdır. Ardıcıllıq analitik üsulla – nömrəsinə görə istənilən həddini tapmağa imkan verən düsturla verilə bilər. Belə düstura ardıcıllığın \(n\)-ci həddinin düsturu deyilir. Məsələn 2,4,6,8,... cüt ədədlər ardıcıllığının istənilən həddini \(a_n=2n\) düsturu ilə tapmaq olar.
Ardıcıllığın bəzi hədlərindən başlayaraq, istənilən həddini ondan əvvəlki hədlərlə ifadə edən düstura rekurrent düstur deyilir.
Ardıcıllığın növləri:
1. Sonlu ardıcıllıqlar
Sonlu ardıcıllıq müəyyən başlanğıcı və sonu olan ardıcıllıqdır. Bu, sonlu sayda elementləri olan ardıcıllıqdır və mötərizədə verilmiş, vergüllə ayrılmış dəyərlər siyahısı kimi təqdim edilə bilər.
Məsələn, \( [1,2,3,4,5] \) ardıcıllığı beş elementdən ibarət sonlu ardıcıllıqdır.
2. Sonsuz ardıcıllıqlar
Sonsuz ardıcıllıqlar sonsuz davam edən ardıcıllıqlardır. Onun müəyyən sonu yoxdur və düstur və ya təkrar əlaqə ilə təmsil oluna bilər. Məsələn, sadə ədədlər ardıcıllığı sonsuza qədər davam edən sonsuz ardıcıllıqdır.
3. Ədədi silsilə (arifmetik ardıcıllıqlar)
Arifmetik ardıcıllıq, ikincidən başlayaraq hər bir həddin əvvəlki həddə sabit ədəd (silsilə fərqi adlanır) əlavə edilməklə əldə edildiyi ardıcıllıqdır.
Məsələn, \( [1,3,5,7,9] \) ardıcıllığı ümumi fərqi 2 olan arifmetik ardıcıllıqdır.
4. Həndəsi silsilə
Həndəsi ardıcıllıq, hər bir həddin əvvəlki həddi sabit ədədə (həndəsi silislənin vuruğu adlanır) vurmaqla əldə edildiyi ardıcıllıqdır.
Məsələn, \( [1,2,4,8,16] \) ardıcıllığı ümumi nisbəti 2 olan həndəsi ardıcıllıqdır.
5. Fibonacci ardıcıllığı
Fibonaççi ardıcıllığı 0 və 1-dən başlayaraq hər bir həddin əvvəlki iki həddin cəmi olduğu ardıcıllıqdır.
Məsələn, Fibonaççi ardıcıllığının ilk bir neçə həddi \( [0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,...] \).
Ədədi silsilə (arifmetik ardıcıllıq). ☰
Ədədi silsilə, birincidən sonrakı hər bir həddin əvvəlki həddə sabit ədəd əlavə edilərək alındığı ədədlər ardıcıllığıdır. Bu sabit ədəd silsilə fərqi adlanır və \(d\) ilə işarələnir.
Məsələn, 2,5,8,11,14 ardıcıllığı silsilə fərqi 3 olan ədədi ardıcıllıqdır. 2-dən 5 almaq üçün 3-ü əlavə edirik. 5-dən 8-ə qədər əldə etmək üçün yenidən 3-ü əlavə edirik və s.
Yəni istənilən natural \(n\) üçün \( a_n + 1 = a_n + d \) olarsa, onda \( (a_n ) \) ardıcıllığı ədədi silsilədir. Burada \( d \) ədədi verilən ardıcıllıq üçün sabit olub, silsilə fərqi adlanır. Tərifdən belə nəticə çıxır ki, \( d = a_n + 1 - a_n \) bərabərliyi istənilən \( n \) natural ədədi üçün doğrudur.
Xüsusi halda: \( d = a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = a_4 - a_3 = ⋯ \).
Ədədi silsilənin fərqi müsbət ədəd, mənfi ədəd və ya sıfır ola bilər.
\( d > 0 \) olduqda, ikincidən başlayaraq hər bir hədd əvvəlki həddən böyük ( artan ardıcıllıq ), \( d < 0 \) olduqda isə kiçik ( azalan ardıcıllıq ) olur. \( d = 0 \) olduqda isə bütün hədlər eyni bir ədədə (birinci həddə) bərabər olmaqla sabit ardıcıllıq alınır.
Arifmetik ardıcıllığın \( n \)-ci həddini aşağıdakı düsturla tapmaq olar:
\( a_n = a_1 + (n-1) d \). Burada, \( a_n \) ardıcıllığın \( n \)-ci həddi, \( a_1 \) birinci hədd, \( d \) isə silsilə fərqidir.
Məsələn, silsilə fərqi 3, birinci həddi 2 olan ədədi silsilənin 4-cü həddi:
\( a_4 = 2 + (4-1) 3 = 11 \) olar.
Ədədi silsilənin hədləri üçün \( a_n = a_k + (n-k) d \) bərabərliyi doğrudur.
Buradan da silsilə fərqi üçün \( d = \frac{a_n - a_k}{n-k} \) \( (n \neq k ) \) düsturunu alarıq.
Ədədi silsinənin ilk n həddinin cəmi düsturu:
\( S_n = \frac{n}{2} ( a_1 + a_n ) \) , burada \( S_n \) ilk \( n \) həddinin cəmidir.
Bu düsturu \( S_n = \frac{( 2 a_1 + (n-1) d ) n}{2} \) şəklində də yazmaq olar.
Nümunə: silsilə fərqi 3, birinci həddi 2 olan ədədi silsilənin ilk 4 həddin cəmini hesablayaq.
\( S_4 = \frac{4}{2} (2+11) = 26 \).
\( S_n \) məlumdursa, ədədi silsilə verilmiş hesab oluna bilər. Bəzi məsələlərin həllində \( a_n \) -i müəyyən etmək üçün \( a_n = S_n - S_{n-1} \) düsturundan istifadə etmək əlverişlidir.
Ədədi silsilənin xassələri.
Xassə 1. Ədədəi silsilənin birincidən başqa (sonlu silsilədə həm də sonuncudan başqa) istənilən həddi, onunla qonşu olan hədlərin ədədi ortasına bərabərdir.
Ümumi halda, \( a_n - a_{n-1} = a_{n+1} - a_n \) olduğundan
\( a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}, \quad n \geq 2 \) bərabərliyi doğrudur.
Xassə 2. Ədədi silsilənin nömrələri \( m + k = n + p \) şərtini ödəyən hədlər üçün \( a_m + a_k = a_n + a_p \) bərabərliyi doğrudur.
Yəni, sonlu ədədi silsilədə uclardan eyni uzaqlıqda olan hədlərin cəmi sabit olub, kənar hədlərin cəminə bərabərdir:
\( a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = a_3 + a_{n-2} = ⋯ \).
Həndəsi silsilə ☰
Həndəsi silsilə, birincidən sonrakı hər bir həddin əvvəlki həddi sabit ədədə vurmaqla əldə edildiyi ədədlər ardıcıllığıdır. Bu sabit ədəd həndəsi silislənin vuruğu adlanır.
Məsələn, 2,6,18,54,162 sırası həndəsi silislənin vuruğu 3 olan həndəsi silsilədir. 2-dən 6-ya qədər almaq üçün 3-ə vururuq. 6-dan 18-ə qədər almaq üçün yenidən 3-ə vururuq və beləliklə davam edir.
İstənilən \( n \) üçün \( b_n \neq 0 \) və \( b_{n+1} = b_n \cdot q \) şərti ödənərsə, onda \( ( b_n ) \) ardıcıllığı həndəsi silsilədir.
Burada \( q \neq 0 \) silsilə vuruğudur.
Həndəsi sislilə simvolik olaraq \( \frac{..}{..} ( b_n ) \) kimi işarə olunur.
\( b_{n+1} = b_n \cdot q \) düsturu həndəsi silsilənin rekurrent qayda ilə ifadəsidir.
İstənilən \( n \) natural ədədi üçün \( q = \frac{ b_{n+1} }{ b_n } \) bərabərliyi doğrudur.
Xüsusi halda alırıq: \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{b_3}{b_2} = \frac{b_4}{b_3} = ... \)
\( q > 0 \) olduqda, həndəsi silsilənin hədləri eyni işarəli olur.
\( q < 0 \) olduqda, hədlərin işarələri növbələşir.
\( q = 0 \) olduqda, sabit ardıcıllıq alırıq.
Həndəsi silsilənin n-ci həddinin düsturu
\( a_n = a_1 q^{n-1} \) şəklindədir.
Məsələn, 2,6,18,54,… silsiləsinin 5-ci həddi:
\( a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 162 \) .
Həndəsi silsilənin ilk n həddinin cəmi düsturu
\( S_n = \frac{ a_1 ( q^n -1 )}{q-1} \) şəklindədir, burada \( q \neq 1 \) .
Məsələn, 2,6,18,54,162 silsiləsinin ilk 4 həddinin cəmi:
\( S_4 = \frac{2 (3^4 - 1)}{3-1} = 80 \).
Həndəsi silsilənin xassələri.
Xassə 1. Həndəsi silsilədə birincidən başqa (sonlu silsilədə həm də sonuncudan başqa) hər bir həddin kvadratı onunla qonşu olan hədlərin hasilinə bərabərdir.
Yəni, \( b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1} \).
Bu xassəni ümumi şəkildə verək: həndsəi silsilədə ikinci həddən başlayaraq hər bir həddin kvadratı özündən eyni uzaqlıqda olan hədlərin hasilinə bərabərdir, yəni: \( b_n^2 = b_{n-k} \cdot b_{n+k} \).
Hədləri müsbət olan həndəsi silsilə üçün bu xassəni
\( b_n = \sqrt{b_{n-k} \cdot b_{n+k}}, \quad 1 \leq k \leq n-1 \) şəklində yazmaq olar.
Xassə 2. Həndəsi silsilədə nömrələri \( n + m = k + l \) şərtini ödəyən hədlər üçün \( b_n \cdot b_m = b_k \cdot b_l \) bərabərliyi doğrudur.
Sonsuz azalan həndəsi silsilənin cəmi ☰
Sonsuz həndəsi silsilənin vuruğu \( |q| < 1 \) şərtini ödədikdə ona sonsuz azalan həndəsi silsilə deyilir.
Sonsuz azalan həndəsi silsilənin cəmi düsturu
\( S = \frac{a_1}{1-q} \) , \( (|q| < 1) \) şəklindədir.
