homeicon Riyazi Resurslar Digər Fənnlər Maraqlı

Funksiyalar. Qrafiklər.

Mündəricat
Başlıqlara toxunmaqla xüsusi mövzulara asanlıqla keçid edə bilərsiniz.

Kvadratik funksiya və onun qrafiki

\(a\) fərqlidir \(0\) olduqda \(f(x)=ax^2+bx+c\) şəklində funksiyaya kvadratik funksiya deyilir. Burada \(a\), \(b\) və \(c\) əmsallardır.
Kvadratik funksiya bütün ədəd oxunda təyin olunmuşdur, yəni arqument \((x)\) istənilən həqiqi qiymət ala bilər.
Kvadrat funksiyanın qrafiki U formalı əyri olan paraboladır. Parabolanın istiqaməti \(a\) əmsalının işarəsindən asılıdır. Əgər \(a\) müsbət olarsa, parabola yuxarıya, \(a\) mənfi olarsa, aşağıya doğru açılır.
Parabolanın simmetriya oxu vardır. Simmetriya oxu ilə parabolanın kəsişməsi təpə nöqtəsi adlanır.
Parabolanın təpə nöqtəsinin düsturu: \(\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)\).

Parabolanın simmetriya oxu \(x=-\frac{b}{2a}\) tənliyi ilə verilmiş təpədən keçən şaquli xəttdir.
Kvadrat funksiyanın \(x\)-kəsiciləri (sıfırları) kvadrat düsturla verilir: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \).
Əgər \(b^2-4ac\) diskriminantı müsbətdirsə, kvadrat funksiyanın iki fərqli həqiqi kökü var, bunlar \(x\) kəsişmələrinin \(x\) koordinatlarıdır. Diskriminant sıfırdırsa, kvadrat funksiyanın təpə nöqtəsinin \(x\) koordinatı olan bir həqiqi kökü olur. Diskriminant mənfi olarsa, kvadrat funksiyanın həqiqi kökləri yoxdur, lakin iki mürəkkəb birləşmə kökləri var.

Kvadrat funksiyaların absis oxu ilə kəsişmə nöqtələrinə görə yazılış forması:
\(f(x)=a(x-r_1 )(x-r_2 )\), burada \(r_1\) və \(r_2\) kvadrat funksiyanın kökləridir. Simmetriya oxu ucları \((r_1; 0)\) və \((r_2; 0)\) olan parçanın orta perpendikulyarıdır. Təpə nöqtəsinin absisi \(m = \frac{r_1 + r_2}{2}\) . Bu forma funksiyanın köklərini tapmaq üçün faydalıdır.

Təpə nöqtəsinə görə yazılış forması:
\(f(x)=a(x-h)^2+k\), burada \((h,k)\) parabolanın təpə nöqtəsidir. Simmetriya oxu \(x=h\). Funksiyanın qrafikinin absis oxu üzərində olan nöqtələrində funksiyanın qiyməti 0-a bərabər olur. Arqumentin funksiyanı sıfıra çevirən qiymətləri bu funksiyanın sıfırları adlanır. \(K\)-nın qiymətinə görə parabolanın təpə nöqtəsinin absis oxundan yuxarıda, aşağıda və ya absis oxu üzərində olduğunu müəyyən etmək olar. \(n < 0\) olduqda təpə nöqtəsi \(Ox\) oxundan aşağıdadır. \(n=0\) olduqda təpə nöqtəsi \(Ox\) oxu üzərindədir. \(n> 0\) olduqda \(Ox\) oxundan yuxarıdadır.

Maksimum və minimum qiymətlər:
Əgər \(a > 0\) olarsa, parabola yuxarıya doğru açılır və təpə nöqtəsinin ordinatı funksiyanın minimum nöqtəsidir. Minimum qiymət \(f(h)=k\)-dır. Əgər \(a < 0\) olarsa, parabola aşağıya doğru açılır və təpə nöqtəsinin ordinatı funksiyanın maksimum nöqtəsidir. Maksimum qiymət \(f(h)=k\)-dır.

Təyin oblastı və qiymətlər çoxluğu:
Kvadrat funksiyanın təyin oblastı bütün həqiqi ədədlər çoxluğudur, çünki funksiya \(x\)-in bütün qiymətləri üçün müəyyən edilmişdir. Qiymətlər çoxluğu a əmsalının işarəsindən asılıdır. Əgər \(a > 0\) olarsa, qiymətlər çoxluğu \( [k,\infty) \), əgər \(a < 0\) olarsa, \((-\infty ,k]\) olar.
Kvadrat funksiyanın qrafiki \(a\), \(b\) və \(c\) qiymətlərini dəyişdirməklə çevrilə bilər. Məsələn, \(a\) müsbət sabitə vurulursa, qrafik şaquli olaraq uzanır və \(a\) mənfi sabitə vurulursa, qrafik \(x\) oxu ətrafında əks olunur. Əgər \(b\) \(x\)-a əlavə olunarsa və ya \(x\)-dan çıxılırsa, qrafik üfüqi, \(c\) isə \(f(x)\)-a əlavə edilirsə və ya ondan çıxarılırsa, qrafik şaquli olaraq sürüşdürülür.

Qrafik:
kavdrat funksiya qrafiki

Modul (y=|x|) funksiyası və onun qrafiki

Mütləq qiymətin tərifinə görə

\( | x | = \begin{cases} -x & \text{, } x < 0 \\ x & \text{, } x \geq 0 \end{cases} \)

olduğundan aydındır ki, \(f(x)=|x|\) funksiyası bütün ədəd oxunda təyin olunub və mənfi olmayan qiymətlər alır.

\(f(x)=|x|\)-in qrafiki təpə nöqtəsi başlanğıcda \((0; 0)\) olan V formalı əyridir. Əyrinin mailliyi \(x=0\)-da dəyişir. Qrafik 1-ci və 2-ci rüblərin tənbölənidir. \(Oy\) oxuna nəzərən simmetrikdir.
Məsələn \((4; 4)\), \((-4;4)\) nöqtələri qrafik üzərində yerləşir və bu nöqtələr ordinat oxuna nəzərən simmetrikdir.

Qrafik:
Modul funksiyasinin qrafiki

Kub funksiyası və onun qrafiki

\(f(x)=x^3\) funksiyası bütün ədəd oxunda təyin olunub və \(x\)-in mənfi qiymətlərində mənfi, müsbət qiymətlərində isə müsbət qiymət alır. \(x=0\) olduqda \(y=0\) olur. Yəni, funksiyanın həm təyin oblastı, həm də qiymətlər çoxluğu bütün həqiqi ədədlərdir. \(f(x)=x^3\) funksiyasının qrafiki kub parabola adlanır. Koordinat başlanğıcından keçməklə 1-ci və 3-cü rüblərdə yerləşir. \(f(x)=x^3\) funksiyası tək funksiyadır, bu o deməkdir ki, \(x\) üçün \(f(-x)=-f(x)\). Bu xassə funksiyanın qrafikinin koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrik olması ilə nəticələnir.

Qrafik
Kub funksiyasinin qrafiki