Funksiyanın Törəməsi: Əsas Anlayışlardan Mürəkkəbə Qədər

Funksiyanın törəməsi hesablama və riyazi analizdə əsas anlayışdır. Bu, funksiyanın girişi (və ya dəyişəni) dəyişdiyi zaman dəyişmə sürətini təmsil edir.
$f(x)$ funksiyasını nəzərdən keçirək. $f(x)$-in $x$-ə münasibətdə törəməsi $f' (x)$ və ya bəzən $\frac{df}{dx}$ kimi işarələnir. Törəməni tapmaq üçün funksiyanın iki nöqtəsi arasındakı interval sıfıra yaxınlaşdıqca funksiyanın orta dəyişmə sürətinin limitinə baxırıq. Riyazi olaraq bu belə ifadə edilir:

$f'(x) = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

Burada $h$, $x$ girişində çox kiçik dəyişiklikdir və limit $h$-nin sıfıra yaxınlaşmasını təmin edir.


Müxtəlif növ funksiyaların törəmələrini tapmaq üçün bir neçə qayda və üsullar mövcuddur. Ən ümumi qaydalardan bəziləri bunlardır:

• Sabitin törəməsi: $f(x) = c$, burada $c$ sabitdir, $f'(x) = 0$
• Qüvvət funksiyasının törəməsi: $f(x) = x^n$, burada $n$ sabitdir, $f'(x) = nx^{n-1}$
• Cəmin/fərqin törəməsi: $f(x) = g(x) \pm h(x)$, $f'(x) = g'(x) \pm h'(x)$
• Hasil: $f(x) = g(x) \cdot h(x)$, $f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)$
• Nisbət: $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$, $f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2}$
• Zənzirvari qayda: $f(x) = g(h(x))$, $f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$

Bir nümunəyə baxaq.

$f(x)=3x^2 +4x+5$ funksiyasının törəməsini tapaq.

Cəmin törəməsindən istifadə edərək 3 ayrı törəmənin cəmi şəklində yazaq:
$f' (x) = \frac{d}{dx} (3x^2 )+ \frac{d}{dx} (4x)+ \frac{d}{dx} (5)$

Birinci və ikinci hədlər üçün qüvvətin törəməsindən istifadə edək:
$f' (x) = (6x)+(4)+(0)$

Və nəticə:
$f' (x)=6x+4$


Xülasə, funksiyanın törəməsi istənilən nöqtədə funksiyanın dəyişmə sürəti və ya mailliyi haqqında məlumat verir. Törəmələrin tapılması üçün müxtəlif qaydalar və üsullar mövcuddur ki, bunlar funksiyanın növündən və strukturundan asılı olaraq tətbiq oluna bilər.

Daha əvvəl qeyd olunan əsas qayda və üsullara əlavə olaraq, daha mürəkkəb funksiyalar və ya xüsusi funksiya növləri ilə işləyərkən faydalı ola biləcək törəmələrə aid bəzi xüsusi texnika və xüsusiyyətlər də mövcuddur.


Gizli diferensiallama: Həm $x$, həm də $y$-in qeyri-müəyyən şəkildə müəyyən edildiyi (məsələn, $x^2 +y^2 =1$ ) tənliklərlə məşğul olarkən, törəməni tapmaq üçün gizli diferensiallaşmadan istifadə edə bilərik. Bu, hər iki tərəfin x-ə görə törəməsini götürməyi və sonra $\frac{dy}{dx}$ üçün həll etməyi əhatə edir.

Yüksək dərəcəli törəmələr: Funksiyanın törəməsi bir neçə dəfə götürülə bilər, nəticədə daha yüksək dərəcəli törəmələr yaranır.
Məsələn, ikinci törəmə $f'' (x)$ birinci törəmənin törəməsidir. Eynilə üçüncü törəmə $f''' (x)$ ikinci törəmənin törəməsidir və s. Yüksək dərəcəli törəmələr funksiyanın əyriliyini, konkavliyini və əyilmə nöqtələrini öyrənmək üçün faydalıdır.

Tərs funksiyanın törəməsi: $y=f(x)$ və $x=g(y)$ tərs funksiyalar olarsa:
$\frac{dx}{dy}= 1 \div \frac{dy}{dx}$

Parametrik funksiya: Funksiya $x(t)$ və $y(t)$ kimi parametrik olaraq təyin edildikdə, $y$-in $x$-ə münasibətdə törəməsi $y$-in $t$-ə görə törəməsini götürərək və onu $t$-ə görə $x$-in törəməsinə bölmək yolu ilə tapmaq olar:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \div \frac{dx}{dt}$

Triqonometrik funksiyaların törəməsi: Əsas triqonometrik funksiyaların törəmələri sinus, kosinus, tangens və onların tərs funksiyalarını əhatə edən funksiyalarla işləyərkən faydalı ola bilər. Əsas triqonometrik fuksiyaların törəmələrindən bəziləri bunlardır:

• $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$
• $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$
• $\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x$
• $\frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x$
• $\frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x$
• $\frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x$

• $\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$
• $\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a$ ( $a > 0$ və $a \neq 1$ )
• $\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$
• $\frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a}$ ( $a > 0$ və $a \neq 1$)

Hiperbolik funksiyaların törəməsi (diferensiallaşdırılması): Hiperbolik funksiyalar eksponensiallar baxımından müəyyən edilir və triqonometrik funksiyalara oxşar törəmələrə malikdirlər. Bəzi mühüm hiperbolik funksiyaların törəmələri bunlardır:

• $\frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x$
• $\frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x$
• $\frac{d}{dx}(\tanh x) = sech^2 x$

Teylor Serieyası: Teylor seriyası bir funksiyanın hədlərinin sonsuz cəmi kimi təsviridir, bir nöqtədə funksiyanın törəmələrindən istifadə etməklə hesablanır. Əgər $f(x)$ funksiyası $x=a$ olan intervalda bütün sıraların davamlı törəmələrinə malikdirsə, onda $x=a$ nöqtəsi ilə bağlı $f(x)$-in Teylor seriyası belədir:

$\small f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + ...$

$... \frac{f''(a)(x - a)^2}{2!} + \frac{f'''(a)(x - a)^3}{3!} + \ldots$

Xüsusui törəmə (Partial Derivatives): $f(x,y)$ və ya $f(x,y,z)$ kimi çoxsaylı dəyişənlərin funksiyaları ilə işləyərkən digər dəyişənləri sabit saxlamaqla funksiyanın bir dəyişənə nisbətən dəyişmə sürətini tapmaq üçün xüsusi törəmələrdən istifadə olunur. $f(x,y)$-in $x$-ə münasibətdə xüsusi törəməsi $\frac{\partial f}{\partial x}$ kimi, $y$-ə münasibətdə isə $\frac{\partial f}{\partial y}$ kimi işarələnir. Xüsusi törəmələrin tapılması prosesi təkdəyişənli funksiyanın törəməsinin tapılmasına bənzəyir, digər dəyişənlərə sabitlər kimi yanaşılır və seçilmiş dəyişənə görə fərqləndirilir.