Mürəkkəb ədədlər həqiqi ədədlərin genişlənməsidir və yalnız həqiqi ədədlərlə təmsil oluna bilməyən kəmiyyətlərin manipulyasiyasına imkan verir. Mürəkkəb ədədlər riyaziyyatın, mühəndisliyin və fizikanın müxtəlif sahələrində həqiqi ədədlərin həll edə bilmədiyi problemləri həll etmək üçün istifadə olunur.
Kompleks ədəd \(a+bi\) şəklində ifadə oluna bilən ədəddir, burada \(a\) və \(b\) həqiqi ədədlərdir, \(i\) isə \( i^2 = -1 \) xassəsinə malik olan xəyali vahiddir.
Riyazi olaraq, kompleks ədədlər çoxluğu \(∁\) kimi işarələnir və həqiqi hissəsi üfüqi oxda, xəyali hissəsi isə şaquli oxda olmaqla, kompleks müstəvi (yaxud Arqand müstəvisi) adlanan iki ölçülü müstəvi kimi vizuallaşdırıla bilər.
1. Arixmetik əməllər:
Kompleks ədədlərin toplanması və çıxılması komponentlər üzrə həyata keçirilir:
- Toplama: \((a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i \)
- Çıxma: \((a+bi)–(c+di)=(a–c)+(b–d)i \)
Mürəkkəb ədədlərin vurulması və bölünməsi daha çox manipulyasiya tələb edir:
- Vurma: \( (a+bi) \cdot (c+di) = (ac–bd)+(ad+bc)i \)
- Bölmə: \( \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{c^2 +d^2 } = \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2 +d^2 } \)
2. Qarşılıqlı qoşma kompleks ədədlər:
\(a + bi\) kompleks ədədinin qoşması \(a – bi\) kimi müəyyən edilir. \( \overline{a+bi} \) kimi işarələnir. Birləşmənin xüsusiyyəti var ki, orijinal kompleks nömrə ilə vurulduqda həqiqi ədəd verir:
\( (a+bi)(a–bi)= a^2 + b^2 \)
3. Modulu və arqumenti:
\(a+bi\) kompleks ədədinin modulu (və ya böyüklüyü) kompleks müstəvidə koordinat başlanğıcından nöqtəyə qədər olan məsafədir və \( |a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2} \) kimi hesablanır. Mürəkkəb ədədin arqumenti (və ya bucağı) müsbət real ox ilə koordinat başlanğıcı kompleks müstəvidəki nöqtə ilə birləşdirən xətt arasında əmələ gələn və adətən radyanla ölçülən bucaqdır. \( arg (a+bi)= \theta \) kimi yazılır və arktangens funksiyasından istifadə etməklə hesablana bilər:
\( \theta =arctg (\frac{b}{a}) \) (kompleks ədədin yerləşdiyi rüblüyü nəzərə alaraq).
4. Triqonometrik (Polar) və eksponensial formalar:
Kompleks ədəd trioqnometrik formada da göstərilə bilər:
\( a+bi = r(cos \theta +i\ sin \theta) \), burada \( r = |a+bi| \) və \( \theta = arg(a+bi) \).
Bunu Eyler düsturu ilə daha da sadələşdirmək olar:
\( e^{i \theta} = cos \theta + i\ sin \theta \).
Bu halda eksponensial formanı verir: \( a+bi = re^{i \theta } \).
Kompleks ədədlərin riyaziyyatda və polinom tənliklərinin həlli, kompleks analiz, elektrik mühəndisliyi və kvant mexanikası kimi digər sahələrdə bir çox tətbiqi var. Onların unikal xassələri yalnız real ədədlərdən istifadə etməklə mümkün olmayan problemlərin təhlilinə imkan verir.
5. Kompleks ədədlərin qüvvəti və kökləri:
Kompleks ədədin eksponensial formasından istifadə edərək onun qüvvətini və köklərini hesablamaq asandır. \( z = re^{i \theta } \) kompleks ədədi üçün:
- Qüvvət: \( z^n = (re^{i \theta } )^n = r^n e^{ in \theta } \), burada \(n\) müsbət tam ədəddir.
- Kökləri: \(z\)-nin \(n\)-ci dərəcədən kökü \( k = 0,1,2,…, n-1 \) üçün \(w_k = r^{ \frac{1}{n} }\ e^{ \frac{i( \theta + 2 k \pi ) }{n} } \) ilə verilir. Bu düstur n fərqli kök verir.
6. De Moivre teoremi:
De Moivre teoremi kompleks ədədlərin qüvvətini triqonometrik funksiyalarla əlaqələndirən güclü bir nəticədir.
İstənilən \( z = r(cos \theta +i\ sin \theta ) \) formasında olan komleks ədəd və müsbət \(n\) tam ədədi üçün, De Moivre teoreminin nəticəsi:
\( (cos \theta + i\ sin \theta )^n = cos\ n\ \theta + i\ sin\ n\ \theta \).
7. Kompleks funksiyalar: Kompleks funksiyalar kompleks ədədləri giriş kimi qəbul edən və kompleks ədədləri çıxış kimi yaradan funksiyalardır.Yazılış forması:
\( f(z) = f(x+yi) = u(x,y) +iv(x,y) \), burada \( u(x,y) \) və \( v(x,y) \) müvafiq olaraq funksiyanın real və xəyali hissələrini təmsil edən iki real dəyişənin real qiymətli funksiyalarıdır.
8. Kompleks analiz:
Kompleks analiz riyaziyyatın mürəkkəb funksiyaları və onların diferensiallıq, analitiklik və inteqrasiya kimi xassələrini öyrənən bölməsidir. Kompleks analizdə bəzi vacib nəticələr bunlardır:
- Koşi-Riman tənlikləri: Mürəkkəb funksiyanın bir nöqtədə diferensiallana bilməsi üçün zəruri (lakin kifayət deyil) şərt onun real və xəyali hissələrinin Koşi-Riman tənliklərini təmin etməsidir:
\( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \) və \( \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \). - Analitik funksiya: Nöqtənin qonşuluğunda diferensiallanan funksiyalara analitik funksiyalar deyilir. Analitik funksiyalar sonsuz diferensiallıq və konvergent qüvvələr seriyası kimi təqdim edilmə qabiliyyəti kimi bir çox arzu olunan xüsusiyyətlərə malikdirlər.
- Koşi inteqral teoremi və Koşi inteqral düsturu: Bu teoremlər qapalı konturlar ətrafında mürəkkəb funksiyaların inteqrasiyasına aiddir və mürəkkəb inteqralları qiymətləndirmək və kompleks analizdə mühüm nəticələr əldə etmək üçün güclü alətlər təqdim edirlər.