Rasional İfadələr

Rasional ifadələr ☰

İki çoxhədlinin nisbətinə rasional ifadə deyilir.
Çoxhədlilərin cəmi, fərqi çoxhədlidir (xüsusi halda birhədlidir).
Çoxhədlilərin hasili də çoxhədlidir.
Çoxhədlilərin nisbəti isə çoxhədli olmaya da bilər.
Rasional ifadənin ümumi forması \(\frac{p(x)}{q(x)}\) şəklindədir.
Burada \(p(x)\) və \(q(x)\) çoxhədli, \(q(x)\) sıfırdan fərqlidir.

Rasional ifadələrə nümunələr:

• \(\frac{2x^2+ 5x - 1}{x^2- 4}\)
• \( \frac{4x^3- 6x^2+ 2x}{2x^2- 6x} \)
• \( \frac{x^2- 4}{x + 2} \)

İstənilən çoxhədlini məxrəci 1 olan kəsr şəklində göstərmək olar. Bu o deməkdir ki, çoxhədli də rasional ifadədir.
Rasional ifadələrin cəmi, fərqi, hasili və nisbəti də rasional ifadədir. Surəti və məxrəci çoxhədli olan kəsrlərə rasional cəbri kəsrlər də deyilir.
Dəyişənin ifadəni mənalı edən qiymətlərinə dəyişənlərin mümkün qiymətləri (DMQ) deyilir. Məxrəcində dəyişən olan kəsrin dəyişənin bəzi qiymətlərində mənası olmaya bilər.

Məsələn:
\( \frac{2x^2+ 5x - 1}{x^2- 4} \) ifadəsi \(x=2\) olduqda mənasızdır.
Çünki \(x=2\) olduqda məxrəc \(0\)-ra bərabər olur və sıfra bölmək olmadığı üçün bu halda ifadə mənasızdır.

Rasional ifadələrin sadələşdirilməsi ☰

Dəyişənlərinin bütün mümkün qiymətlərində bərabər qiymətlər alan iki ifadəyə eyniliklə bərabər və ya ekvivalent ifadələr deyilir.
Kəsrin surət və məxrəcini sıfırdan fərqli eyni bir ədədə vursaq və ya bölsək, kəsrin qiyməti dəyişməz.
Yəni, \(b≠0\), \(c≠0\) olduqda \( \frac{a}{b}=\frac{ac}{bc} \) bərabərliyi doğrudur. Oxşar xassə rasional ifadələr üçün də doğrudur.

Məsələn:
\(\frac{3}{x} \) və \( \frac{3x+3}{x^2+x} \) ekvivalentdir. Çünki \(\frac{3}{x} \) kəsrinin surət və məxrəcini \((x+1)\) ifadəsinə vursaq \( \frac{3x+3}{x^2+x} \) ifadəsi alınar.

• \((x+1)\) ifadəsinə vurma:
  
  \( \frac{3}{x}=\frac{3(x+1)}{x(x+1)}= \frac{3x+3}{x^2+x} \)
• \((x+1)\) ifadəsinə bölmə:
  
  \( \frac{3x+3}{x^2+x}=\frac{3(x+1)}{x(x+1)} =\frac{3}{x} \)

Göstərdiyimiz bölmə nümunəsində kəsrin məxrəc və surəti vuruqlarına ayrılır, ortaq vuruq müəyyən olunur və surət və məxrəc ortaq vuruğa bölünür. Buna rasional cəbri kəsrin ixtisarı deyilir.
Rasional ifadəni sadələşdirmək üçün ilk addım surət və məxrəci vuruqlara ayırmaqdır. İkinci addım ortaq vuruqların müəyyən olunması və məxrəc və surətin ortaq vuruqlara bölünməsidir.
Vuruqlara ayırmaq üçün müxtəlif üsullardan istifadə olunur. kvadratların fərqi, kubların cəmi və ya fərqi ilə vuruqlara ayırma kimi üsullardan istifadə etməklə həyata keçirilə bilər.

Daha bir nümunəyə baxaq:
\( \frac{6x^2+ 9x}{3x} \) ifadəsini sadələşdirək.

Addım 1: Vuruqlara ayırmaq.
\( \frac{6x^2+ 9x}{3x}= \frac{3x(2x+3)}{3x} \)

Addım 2: İxtisar etmək.
\( \frac{3x(2x+3)}{3x}=2x+3 \)

Sadələşdirilmiş forma: \(2x+3\).

Başqa bir nümunə:
\( \frac{2x^2– 8x}{6x^2– 18x} \) İfadəsini sadələşdirək.

Addım 1: Surət və məxrəci vuruqlara ayıraq.
\( \frac{2x^2– 8x}{6x^2– 18x}= \frac{2x(x-4)}{6x(x-3)} \)

Addım 2: İxtisar edək.
\( \frac{2x(x-4)}{6x(x-3)} = \frac{x-4}{3(x-3)} \)

Sadələşdirilmiş forma \( \frac{x-4}{3(x-3)} \).

Rasional ifadələrin toplanması, çıxılması, vurulması, bölünməsi və qüvvətə yüksəldilməsi.☰

Rasional ifadələrin toplanması və çıxılması:
Rasional ifadələrin toplanması və çıxılması qaydaları adi kəsrlərin toplanması və çıxılması qaydalarına oxşardır.
Rasional ifadələri toplamaq və ya çıxmaq üçün ilk addım ortaq məxrəci tapmaqdır. Ortaq məxrəc tapıldıqdan sonra surətdəki ifadələr toplana və ya çıxıla bilər.

Məsələn: \( \frac{2}{x}+\frac{3}{x+1} \) cəmini tapmaq üçün ortaq məxrəc müəyyən etməliyik ki, bu da indiki halda \(x(x+1)\)-dir.

\( \frac{2(x+1)+ 3x}{x(x+1)} =\frac{5x+2}{x(x+1)} \)

Eyni qayda ilə çıxma əməliyyatını da yerinə yetirdikdə ortaq məxrəci tapdıqdan sonra çıxma əməliyyatını yerinə yetiririk.

\( \frac{2}{x}-\frac{3}{x+1} \) üçün ortaq məxrəc \(x(x+1)\).

\( \frac{2(x+1)-3x}{x(x+1)} = -\frac{x-2}{x(x+1)}\)

Rasional ifadələrin vurulması:
Rasional ifadələrin vurulması, bölünməsi, qüvvətə yüksəldilməsi qaydaları adi kəsrlərin vurulması, bölünməsi, qüvvətə yüksəldilməsi qaydaları ilə eynidir.
Rasional ifadələri vurmaq üçün surətləri birlikdə, məxrəcləri isə birlikdə vururuq. Mümkünsə, ixtisar etməklə alınan ifadəni sadələşdirməliyik.

Məsələn: \( \frac{2}{x}\cdot \frac{3}{x+1}\) vurma əməliyyatını yerinə yetirək.

\( \frac{2\cdot3}{x\cdot (x+1)} =\frac{6}{x^2+x} \)

Rasional ifadələrin bölünməsi:
Rasional ifadələri bölmək üçün biz ikinci ifadəni (böləni) tərsinə çeviririk, sonra birinci ifadəni (bölünəni) tərsinə çevrilmiş ikinci ifadəyə vururuq.

Məsələn: \( \frac{(\frac{2}{x})}{(\frac{3}{x+1})} \) bölmə əməliyyatını yerinə yetirək.

\( \frac{2}{x}\cdot \frac{x+1}{3}=\frac{2(x+1)}{3x} \)

Rasional ifadələrin qüvvətə yüksəldilməsi:
Rasional ifadəni eksponentə qaldırmaq üçün surət və məxrəci ayrı-ayrılıqda qüvvətə yüksəldirik.
Ümumi qayda: \( (\frac{A}{B})^n=\frac{A^n}{B^n} \)
Məsələn: \(\frac{2}{x}\) ifadəsini 3-cü dərəcədən qüvvətə yüksəldək. \(\frac{2^3}{x^3} =\frac{8}{x^3}\)

Nümunələr:
1. \( \frac{3}{x}+\frac{5}{2x}\) toplama əməliyyatını yerinə yetirin.

Həlli:
\( \frac{3}{x}+\frac{5}{2x}=\frac{3\cdot 2}{2x}+\frac{5}{2x}=\frac{11}{2x}\)

2. \( \frac{7}{x}–\frac{2}{x+1}\) Çıxma əməliyyatını yerinə yetirin.

Həlli: \( \frac{7}{x}–\frac{2}{x+1}\) üçün Ortaq məxrəc tapmalıyıq. \(x\) və \(x+1\) üçün \(x(x+1)\). Bu halda ifadəni aşağıdakı kimi yaza bilərik:
\( \frac{7}{x} - \frac{2}{x + 1} = \frac{7 \cdot (x + 1)}{x(x + 1)} - \frac{2x}{x(x + 1)} = \) \( \frac{7x + 7 - 2x}{x(x + 1)} = \frac{5x + 7}{x(x + 1)}\)

3. Vurma əməliyyatını yerinə yetirin.
\(\frac{2x}{x^2 + 2x} \cdot \frac{3x^2 + 6x}{x^2 + 4x}\)

Həlli:
\(\frac{2x}{x^2 + 2x} \cdot \frac{3x^2 + 6x}{x^2 + 4x}\) , Əvvəlcə hər iki rasional ifadəni ayrılıqda sadələşdirək.

Birinci rasional ifadəni sadələşdirdikdə alarıq:
\( \frac{2x}{x^2 + 2x} = \frac{2x}{x(x+2)} = \frac{2}{x+2} \)

İkinci rasional ifadəni sadələşdirdikdə alarıq:
\( \frac{3x^2 + 6x}{x^2 + 4x} = \frac{3x(x+2)}{x(x+4)} = \frac{3(x+2)}{(x+4)} \)

Və sadələşdirilmiş rasional ifadələri vuraq:
\( \frac{2}{x+2} \cdot \frac{3(x+2)}{(x+4)} = \frac{6(x+2)}{(x+2)(x+4)} = \frac{6}{x+4} \)

Tərs Mütənasiblik funksiyası və onun qrafiki ☰

\(y=\frac{k}{x}\) düsturu ilə verilən funksiyaya tərs mütənasiblik funksiyası deyilir. Burada \(k\) sıfırdan fərqli sabit, \(x\) sərbəst dəyişəndir.
Funksiya \(0\)-dan fərqli bütün ədədlər çoxluğunda təyin olunub.
Qrafiki hiperbola adlanır və koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir. Hiperbola iki budaqdan ibarətdir. \(K>0\) olduqda \(x\) və \(y\) eyniişarəli olduğundan hiperbolanın budaqları 1 və 3-cü rüblərdə, \(k < 0 \) olduqda isə \(x\) və \(y\) əksişarəli olduğundan 2-ci və 4-cü rüblərdə yerləşir.

Nümunə qrafik: \(y=\frac{1}{x}\):