Rasional və İrrasional Bərabərsizliklər

Xətti bərabərsizliklər sistemi ☰

Bir neçə bərabərsizliyin ortaq həllini tapmaq tələb olunduqda bərabərsizliklər \( \begin{cases} ... \\ ... \end{cases} \) fiqurlu mötərizəsinin köməyi ilə yazılır və onlara bərabərsizliklər sistemi deyilir.
Birdəyişənli bərabərsizliklər sisteminin həlli, dəyişənin sistemin hər bir bərabərsizliyini doğru bərabərsizliyə çevirən qiymətinə deyilir.
Sistemi həll etmək onun bütün həllərini tapmaq, ya da həlli olmadığını isbat etmək deməkdir.
Bərabərsizliklər sistemini həll etmək üçün sistemə daxil olan hər bir bərabərsizliyin həllər çoxluğunu tapmaq və bu çoxluqların kəsişməsini, yəni ortaq hissəsini götürmək lazımdır.

Nümunə:
\( \begin{cases} 2x-5 > 3x+2 \\ 4x+7 < 3x-9 \\ 5x+6 \ge 2x+15 \end{cases} \)

Birinci bərabərsizlik üçün:
\( 2x-5 > 3x+2 \)
\( -x > 7 \)
\(x < -7 \)

İkinci bərabərsizlik üçün:
\( 4x-3x < -9 –7 \)
\(x < -16 \)

Üçüncü bərabərsizlik üçün:
\( 5x-2x \ge 15-6 \)
\(3x \ge 9 \)
\( x \ge 3 \)

Nəticə:
\( \begin{cases} x < -7 \\ x < -16 \\ x \ge 3 \end{cases} \)

Ümumi həlli tapmaq üçün bu həllərin kəsişməsini götürməliyik. İndiki halda isə, hər üç bərabərsizliyi eyni vaxtda təmin edən ümumi həll yoxdur, çünki həllər bir-birinə ziddir. Birinci bərabərsizlik (\(x < -7\)) və ikinci bərabərsizlik (\(x < -16\)) üst-üstə düşmür, çünki heç bir dəyər eyni vaxtda həm -7-dən, həm də -16-dan kiçik ola bilməz. Bundan əlavə, üçüncü bərabərsizlik (\(x \ge 3\)) ilk iki bərabərsizliyə daha da ziddir.
Buna görə də hər üç bərabərsizliyi eyni vaxtda təmin edən heç bir həll yolu yoxdur.

Bərabərsizliklər heyəti ☰

Verilmiş bərabərsizliklərdən heç olmasa birini ödəyən həlli tapmaq tələb olunursa, bərabərsizliklər \( [ \) mötərizəsinin köməyi ilə yazılır və onlara bərabərsizliklər heyəti deyilir. Bərabərsizliklər heyətini həll etmək üçün hər bir bərabərsizliyin həllər çoxluğunu tapıb, bu çoxluqların birləşməsini götürmək lazımdır.

Kvadrat bərabərsizliklər ☰

\( ax^2 + bx + c,,,,op,,,,0 \), şəklində olan bərabərsizliklər kvadrat bərabərsizliklərdir. Burada \(x\) dəyişən, \(a\), \(b\) və \(c\) \(a \neq 0 \) olmaqla həqiqi ədədlər və \(op\) isə \( < \), \( \le \), \(> \) və ya \( \ge \) bərabərsizlik işarələrindən biridir.
Kvadrat bərabərsizliyin həlli bərabərsizliyi təmin edən \(x\)-in bütün qiymətlərinin çoxluğudur.
Birdəyişənli ikidərəcəli bərabərsizliklərin həllini uyğun kvadrat tənliyi həll etməklə funksiyanın müsbət və ya mənfi qiymətlər aldığı aralıqların tapılmasına gətirmək olar. Bu həll üsulunda vacib olan parabolanın qollarının yuxarıya və ya aşağıya yönəldiyini müəyyən etmək və onun \(Ox\) oxu ilə kəsişmə nöqtələrinin absislərini bilməkdir. Həll dəstini tapmaq üçün aşağıdakı addımlardan istifadə edə bilərik:

• Kvadrat funksiyanın köklərini tapmaq üçün uyğun olan \( ax^2 + bx + c = 0 \) kvadrat tənliyini həll edin.
• Kvadrat funksiyanın qrafikini koordinat müstəvisində qurun.
• \( a \)-nın işarəsindən asılı olaraq qrafikin \(x\) oxundan yuxarı və ya aşağıda olan bölgə(lərini) müəyyən edin.
• Bərabərsizlik simvolundan asılı olaraq qrafikin müvafiq region(lar)ını kölgələyin.
• Qrafikə görə bərabərsizliyə uyğun işarələrin olduğu intervalları müəyyən edin.

Nümunələrə baxaq:
Nümunə 1: \(x^2 - 4x + 3 \ge 0 \).
Həlli: Öncə \(x^2 - 4x + 3 = 0 \) kvadrat tənliyini həll edək:
\( x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)=0 \).
Bu tənliyin kökləri \( x=1 \) və \(x=3 \).
Növbəti addımda \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) kvadrat funksiyasının qrafikini çəkək.

Funksiyanın qrafikinin \(x < 1 \) və \(x> 3\) aralığında \(x\) oxundan yuxarıda olduğunu görə bilərik.
Buna görə də \( x^2 - 4x + 3 \ge 0 \) bərabərsizliyinin həlli \( x \in (-\infty, 1] \cup [3, \infty) \) olur.

Nümunə 2: Kvadrat bərabərsizliyin intervallar üsulu ilə həllinə nümunə.
\( 2x^2 - 5x - 3 < 0 \) bərabərsizliyini həll edək.
Əvvəlcə bərabərsizliyin kökləri tapılır:
\( x=- \frac{1}{2} \) və \( x = 3 \).
Sonra köklərə uyğun olaraq ədəd oxu üzərində nöqtələr qeyd edilir. Bu nöqtələrə bərabərsizliyin sərhəd nöqtələri deyilir. İndiki halda köklər ədəd oxunu üç intervala bölür:
\((-\infty ; -\frac{1}{2} )\), \( (-\frac{1}{2}; 3) \) və \( (3; \infty)\).
Sonra bərabərsizlikdə hər intervaldan bir dəyəri seçib yoxlayırıq ki, hansı intervalın bərabərsizliyin həllinə uyğun olduğunu müəyyən edək.

Birinci interval: \( (-\infty ; -\frac{1}{2}) \). \( x= -1 \) seçib yoxlayaq.
\(x = -1 \) olduqda: \( 2(-1)^2 - 5(-1) - 3 < 0 \), \( 4 < 0 \) olur ki, bu da doğru deyil.
Deməli, \( (-\infty ; -\frac{1}{2}) \) intervalı həll deyil.

İkinci interval: \( (-\frac{1}{2} ; 3) \). \(x=0\) seçib yoxlayaq.
\(x=0\) olduqda: \( 2(0)^2 - 5(0) - 3 < 0 \), \( -3 < 0 \) olur ki, bu doğrudur.
Deməli, bu interval həllə aiddir \( (-\frac{1}{2} ; 3) \).

Üçüncü interval: \( (3; \infty) \). \(x=4\) seçib yoxlayaq.
\(x = 4 \) olduqda: \(2(4)^2 - 5(4) - 3 < 0 \), \( 5 < 0 \) olur ki, bu da doğru deyil.
Deməli \( (3;\infty) \) intervalı həll deyil.

Bu halda \( 2x^2 – 5x – 3 < 0 \) bərabərsizliyin həlli \( x\ \in (- \frac{1}{2} ; 3) \) aralığıdır.
Bu o deməkdir ki, \(x\)-in \( - \frac{1}{2}\)-dən böyük və 3-dən kiçik olan istənilən qiyməti bərabərsizliyi doğru edir.

Rasional bərabərsizliklərin intervallar üsulu ilə həlli ☰

Rasional bərabərsizlikləri intervallar üsulu ilə həll etmək üçün aşağıdakı addımları yerinə yetirməliyik:

• Bərabərsizliyi bir tərəfində sıfır, digər tərəfi isə bir kəsr olmaqla, vahid rasional ifadə kimi yenidən yazırıq.
• Dəyişənin surəti və məxrəci sıfıra çevirən qiymətlərini tapmaqla bərabərsizliyin sərhəd nöqtələrini müəyyən etmiş oluruq.
• Ədəd oxunu 2-ci addımda tapılan sərhəd nöqtələrinə uyğun intervallara bölürük.
• Hər intervaldan bir dəyəri seçib yoxlayırıq ki, hansı intervalın bərabərsizliyin həllinə uyğun olduğunu müəyyən edək.

Məsələn, \(\frac{2x-5}{x+1} > 1 \) bərabərsizliyini həll edək.
1. Bərabərsizliyin bir tərəfini sıfıra bərabər edirik:
\(\frac{2x-5}{x+1} -1 > 0 \)

Sol tərəfi sadələşdiririk:
\( \frac{2x-5-(x+1)}{x+1} > 0 \)

\( \frac{x-6}{x+1} \)


2. Surət və məxrəcin sıfırlarını tapırıq:
\( x-6=0 \rightarrow x=6 \).
\( x+1=0 \rightarrow x=-1 \).


3. Ədəd oxunu uyğun intervallara bölürük:
\( (-\infty ; -1) \), \( (-1;6) \), \( (6;\infty ) \).


4. Hər intervaldan sınaq nöqtəsi seçib, bərabərsizliyi yoxlayırıq:
\( x=-2 \), \( \frac{-2-6}{-2+1} = 8 > 0 \) , müsbətdir \( (-\infty ; -1) \).

\( x = 0 \), \( \frac{0-6}{0+1} = -6 < 0 \) , mənfidir \( (-1 ; 6 ) \).

\( x = 7 \), \( \frac{7-6}{7+1} = \frac{1}{8} > 0 \) , müsbətdir \( (6; \infty ) \).


5. \( \frac{x-6}{x+1} > 0 \) üçün doğru olan həllər müsbət olanlardır.
Yəni, \( x \in (- \infty ; -1 ) \cup (6; \infty ) \) .

İrrasional bərabərsizliklər ☰

İrrasional bərabərsizlik kvadrat köklər və ya kub köklər kimi bir və ya bir neçə irrasional ifadəni əhatə edən bərabərsizlikdir. Başqa sözlə desək, radikal işarəsi altında olan bərabərsizliklərə irrasional bərabərsizliklər deyilir.
İrrasional bərabərsizliyi həll etmək üçün bərabərsizliyin bir tərəfindəki irrasional ifadəni təcrid etməli, sonra isə radikalı aradan qaldırmaq üçün bərabərsizliyin hər iki tərəfini kvadrata yüksəltməliyik.

Aşağıdakı addımlar atılmalıdır:
1. İrrasional ifadəni bərabərsizliyin bir tərəfində təkləyirik.

2. Bərabərliyin hər iki tərəfini kvadrata yüksəldirik.

3. Alınmış bərabərsizliyi həll edirik.

4. Alınmış cavabı yoxlayırıq.


Nümunə: \( \sqrt{2x-1} > 3 \) .
1. Hər iki tərəfi kvadrata yüksəldirik:
\( (\sqrt{2x-1})^2 > 3^2 \rightarrow 2x - 1 > 9 \)

2. Alınmış bərabərsizliyi həll edirik:
\( 2x > 10 \rightarrow x > 5 \) .
\( \sqrt{2x-1} > 3 \rightarrow 2x > 10 \rightarrow x > 5 \)

3. Nəticəni yoxlayırıq:
Sınaq üçün \(x=6\) seçib yoxlayaq:
\( \sqrt{2(6)-1} > 3 \rightarrow \sqrt{11} > 3 \)
\(x=6\) olduqda nəticə doğrudur.

\(x=4\) yoxlayaq:
\( \sqrt{2(4)-1} > 3 \rightarrow \sqrt{7} > 3 \)
\(x=4\) üçün nəticə yanlışdır.
Deməli cavab \(x > 5\).

Qeyd: Kökaltı ifadənin mənfi ədəd ola bilmədiyini hər zaman nəzərə alın.