Triqonometrik Nisbətlər. Koordinatlar Üsulu. Fiqurların Çevrilməsi.

Düzbucaqlı üçbucaq və triqonometrik nisbətlər ☰

Düzbucaqlı üçbucaq, daxili bucaqlarından biri 90 dərəcə olan üçbucaqdır. Düz bucağa əks olan tərəfə hipotenuz, digər iki tərəfə isə katetlər deyilir.
Triqonometrik nisbətlər düzbucaqlı üçbucağın bucaqlarını və tərəflərini əlaqələndirən riyazi funksiyalardır. Ümumi olaraq "\(sin\)", "\(cos\)", "\(tan\)", "\(csc\)", "\(sec\)" və "\(cot\)" kimi qısaldılmış altı triqonometrik nisbət var. Hər bir nisbət üçbucağın iki tərəfinin nisbətini təmsil edir və nisbət nəzərdən keçirilən bucaqdan asılıdır.

Üç əsas triqonometrik nisbətlər sinus, kosinus və tangensdir:

• Sinus: İti bucağın sinusu bu bucağın qarşısındakı katetin hipotenuza nisbətinə deyilir.
  Yəni, \(sin(\theta )=\frac{ \text{qarşı katet}}{ \text{hipotenuz}} \)
• Kosinus: İti bucağın kosinusu bu bucağa bitişik katetin hipotenuza nisbətinə deyilir.
  Yəni, \(cos(\theta )=\frac{ \text{bitişik katet}}{ \text{hipotenuz}} \)
• Tangens: İti bucağın tangensi bu bucağın qarşısındakı katetin bitişik katetə nisbətinə deyilir.
  Yəni, \( tan(\theta )=\frac{ \text{qarşı katet}}{ \text{bitişik katet}} \)

Digər üç triqonometrik nisbət əsas triqonometrik nisbətlərin qarşılıqlı funksiyalarıdır. Sinusun əksi kosekansdır (\(csc\)), kosinusun əksi sekansdır (\(sec\)), tangensin əksi kotangensdir (\(cot\)).

• Kosekans: \( csc(\theta )=\frac{ \text{hipotenuz}}{ \text{qarşı katet}} \) .
• Sekans: \( sec(\theta )=\frac{ \text{hipotenuz}}{ \text{bitişik katet}} \) .
• Kotangens: \( cot(\theta )=\frac{ \text{bitişik katet}}{ \text{qarşı katet}} \) .

Triqonometrik nisbətlər fizika, mühəndislik və riyaziyyat da daxil olmaqla bir çox müxtəlif sahələrdə istifadə olunur. Onlar xüsusilə düzgün üçbucaqları əhatə edən problemləri həll etmək üçün faydalıdır, məsələn, çatışmayan bucaqları və ya tərəfləri tapmaq.

Triqonometrik eyniliklər ☰

Triqonometrik eyniliklər tənlikdəki dəyişənlərin bütün qiymətləri üçün doğru olan triqonometrik funksiyaları əhatə edən tənliklərdir. Bu eyniliklər ifadələri sadələşdirmək, digər riyazi nəticələri sübut etmək və riyaziyyat, elm və mühəndislikdə müxtəlif problemləri həll etmək üçün istifadə edilə bilər. Çoxlu triqonometrik eyniliklər var və onları forma və funksiyalarına görə bir neçə fərqli kateqoriyaya bölmək olar. Ən çox istifadə edilən triqonometrik eyniliklər aşağıdakılardır:

• Pifaqor eynilikləri: $$ sin^2 (\theta )+cos^2 (\theta )=1 $$ $$ tan^2 (\theta )+1=sec^2 (\theta ) $$ $$ cot^2 (\theta )+1=csc^2 (\theta ) $$
• Əks eyniliklər: $$ csc(\theta )= \frac{1}{sin(\theta )} $$ $$ sec(\theta )=\frac{1}{cos(\theta )} $$ $$ cot(\theta )=\frac{1}{tan(\theta )} $$
• Nisbi eyniliklər: $$ \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} $$ və $$ \cot(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} $$
• Cüt/tək eyniliklər: $$ \sin(-\theta) = -\sin(\theta) $$ $$ \cos(-\theta) = \cos(\theta) $$ $$ \tan(-\theta) = -\tan(\theta) $$
• Bucaq cəmi və fərqi eynilikləri: $$ \sin(a \pm b) = \sin(a) \cos(b) \pm \cos(a) \sin(b) $$ $$ \cos(a \pm b) = \cos(a) \cos(b) \mp \sin(a) \sin(b) $$ $$ \tan(a \pm b) = \frac{\tan(a) \pm \tan(b)}{1 \mp \tan(a) \tan(b)} $$

Triqonometrik eyniliklər fizika, mühəndislik və riyaziyyat da daxil olmaqla müxtəlif tətbiqlərdə istifadə olunur. Onlar ifadələri sadələşdirmək, inteqralları qiymətləndirmək və triqonometrik funksiyaları əhatə edən tənlikləri həll etmək üçün xüsusilə faydalıdır.

Parçanın orta nöqtəsinin koordinatları ☰

Koordinat müstəvisində parçanın orta nöqtəsinin koordinatlarını orta nöqtə düsturundan istifadə etməklə tapmaq olar. Əgər ədəd oxu üzərində uc nöqtələri \((x_1,y_1 )\) və \((x_2,y_2 )\) koordinatlarına malikdirsə, orta nöqtənin koordinatları

\(\left(\frac{{x_1 + x_2}}{2}, \frac{{y_1 + y_2}}{2}\right) \) olur.

Məsələn, uc nöqtələri (3,2) və (9,8) olan parçanın orta nöqtəsi

\(\left(\frac{3 + 9}{2}, \frac{2 + 8}{2}\right) = (6, 5) \) olur.

İki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyi ☰

\( (x_1,y_1 ) \) və \( (x_2,y_2 ) \) nöqtələrindən keçən düz xəttin tənliyi
\( y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \cdot (x-x_1 ) \) formasındadır.
Burada \( m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \) əvəz etməklə tənliyi \( y-y_1=m(x-x_1 ) \) formasında yazmaq olar. \(m\) bucaq əmsalı adlanır. \( (x,y) \) verilmiş iki nöqtə üzərindəki ixtiyari nöqtədir.
Düz xəttin tənliyini \( y=mx-mx_1+y_1 \) formasında da yazmaq olar. Burada da \( b=y_1-mx_1 \) əvəz etməklə tənliyi \( y=mx+b \) şəklində yazmaq olar.

• Əgər iki düz xəttin tənliyində bucaq əmsalları bərabərdirsə, bu düz xətlər paraleldir.
• Bucaq əmsalları \( m_1=- \frac{1}{m_2} \) münasibətini ödəyən düz xətlə perpendikulyardır.

Nümunə: (2,4) və (5,8) nöqtələrindən keçən düz xəttin tənliyini yazaq. Əvvəlcə bucaq əmsalını tapaq:
\( m=\frac{8-4}{5-2}=\frac{4}{3} \) .

Düz xəttin tənliyi: \( y-4=\frac{4}{3} \cdot (x-2) \) .

Sadələşdirdikdən sonra:
\( y=\frac{4}{3}x- \frac{8}{3} +4=\frac{4}{3}x+\frac{4}{3} \)

Fiqurların çevrilməsi. Dönmə. ☰

Fiqurların çevrilməsi verilmiş fiqurun formasını dəyişmədən yeni mövqeyə hərəkətini nəzərdə tutur. Fiqurların çevrilməsinin dörd əsas növü var:

• Sürüşmə: Fiqurun ölçüsünü və formasını dəyişdirmədən bir mövqedən digərinə köçürməyi nəzərdə tutur. Sürüşmə zamanı fiqurun hər bir nöqtəsi eyni məsafədə və eyni istiqamətdə hərəkət edir.
• Dönmə: Fırlanma, fiqurun müəyyən bir nöqtə ətrafında müəyyən bir bucaq ilə çevrilməsini nəzərdə tutur. Bu çevrilmədə fiqurun forması və ölçüsü eyni qalır. Dönmə saat əqrəbinin hərəkəti istiqamətində və ya əksinə ola bilər.
• Əksetmə: Əks etdirmə xətti və ya güzgü xətti adlanan bir xətt üzərində bir fiqurun çevrilməsini deyilir. Fiqurun hər bir nöqtəsi xətt boyunca əks olunur və orijinal fiqurun güzgü şəklini yaradır.
• Genişlənmə: Bir fiqurun uzanması və ya kiçilməsi yolu ilə ölçüsünün dəyişdirilməsini əhatə edir. Bu çevrilmədə fiqurun forması dəyişməz qalır, lakin onun ölçüsü ya artır, ya da kiçilir.

Dönmə (fırlanma) 2D fiqurlara tətbiq oluna bilən əsas çevrilmələrdən biridir. Dönmə, fiqurun dönmə mərkəzi adlanan sabit bir nöqtə ətrafında fırlandığı bir çevrilmədir. Fiqur müəyyən \theta bucağı qədər saat əqrəbinin hərəkəti istiqamətində və ya əksinə fırlanır.
Fiqurun fırlanması fiqurun hər bir nöqtəsini fırlanma mərkəzi ətrafında eyni \(\theta\) bucaq ilə fırlatmaqla həyata keçirilir. Dönmə mərkəzi ilə fiqurun hər bir nöqtəsi arasındakı məsafə fırlanmadan sonra sabit qalır.
Fiqurun fırlanmasını yerinə yetirmək üçün dönmə mərkəzini və dönmə bucağını bilməliyik. Dönmə mərkəzi müstəvidə istənilən nöqtə ola bilər. Dönmə bucağı dərəcə və ya radyanla (\theta ) ölçülür və müsbət (saat əqrəbinin əksinə) və ya mənfi (saat yönünün əksinə) ola bilər.

Fiqur, dönmə mərkəzi \( (0,0) \) olan nöqtə ətrafında \theta bucağı ilə fırlanırsa, ilkin nöqtənin \( (x,y) \) koordinatlarını nəzərə alaraq fırlanan nöqtənin koordinatlarını \( (x', y') \) tapmaq üçün aşağıdakı düsturlardan istifadə edə bilərik:
\( x' = x\cos(\theta) - y\sin(\theta) \)
\( y' = x\sin(\theta) + y\cos(\theta) \)

Fiqur, dönmə mərkəzi \((h,k)\) olan nöqtə ətrafında \(\theta \) bucağı ilə fırlanırsa, ilkin nöqtənin \((x,y)\) koordinatlarını nəzərə alaraq fırlanan nöqtənin koordinatlarını\( (x',y') \) tapmaq üçün aşağıdakı düsturlardan istifadə edə bilərik:
\( x' = (x - h)\cos(\theta) - (y - k)\sin(\theta) + h \)
\( y' = (x - h)\sin(\theta) + (y - k)\cos(\theta) + k \)
Bu düsturlar müstəvidə istənilən nöqtəni istənilən dönmə mərkəzi ətrafında fırlatmaq üçün istifadə edilə bilər.

Bir nümunəyə baxaq:
Tutaq ki, \( (2,3) \) nöqtəsini \( (0,0) \) dönmə mərkəzi ətrafında saat əqrəbinin əksi istiqamətində \(90^\circ \) bucaqla fırlatmaq istəyirik. Dönmə düsturlarından istifadə edərək əldə edirik:
\( x^{\prime} = 2\cos 90^\circ - 3\sin 90^\circ = -3 \)
\( y^{\prime} = 2\sin 90^\circ + 3\cos 90^\circ = 2\)
Beləliklə, fırlanan nöqtə \( (-3,2) \) olur.

Ümumiləşdirsək dönmə düsturları aşağıdakılardır:
\( x' = x\cos(\theta) - y\sin(\theta) \)
\( y' = x\sin(\theta) + y\cos(\theta) \)
\( x' = (x - h)\cos(\theta) - (y - k)\sin(\theta) + h \)
\( y' = (x - h)\sin(\theta) + (y - k)\cos(\theta) + k \)

Oxşarlıq çevrilməsi. Homotetiya. ☰

Oxşarlıq çevrilməsi və homotetiya müstəvidə həndəsi çevrilmələri təsvir etmək üçün istifadə olunan iki riyazi anlayışdır. Hər iki çevrilmə obyektlərin formasını qoruyur, lakin onlar ölçülərini və oriyentasiyalarını necə dəyişdirmələri ilə fərqlənirlər.

Oxşarlıq çevrilməsi:
Müstəvinin özünə çevrilməsində istənilən iki nöqtə arasındakı məsafə eyni ədəd dəfə dəyişərsə, belə çevrilməyə oxşarlıq çevrilməsi deyilir. Oxşarlıq çevirməsi ilə biri digərinə çevrilən fiqurlara oxşar fiqurlar deyilir. Oxşarlıq çevirməsi ilə müstəvinin \(A\) və \(B\) nöqtələri uyğun olaraq \(A_1\) və \(B_1\) nöqtələrinə çevrilirsə, onda \(A_1 B_1=k \cdot AB \) münasibəti ödənilir. \( K > 0 \) ədədi oxşarlıq əmsalıdır.
Tutaq ki, \(O\) verilmiş nöqtə, \( K > 0 \) verilmiş ədəddir. Müstəvinin özünə çevrilməsində ixtiyari \(A\) nöqtəsi və onun çevrildiyi \(A_1\) nöqtəsi üçün \(OA_1= k \cdot OA \) olarsa, bu çevrilməyə homotetiya deyilir. Burada \(O\), \(A\) və \(A_1\) nöqtələri bir düz xətt üzərindədir. \(O\) nöqtəsinə homotetiya mərkəzi, \(k\) ədədinə homotetiya əmsalı, \( A_1 \) nöqtəsinə isə \(A\) ilə homotetik nöqtə deyilir. Homotetiya oxşarlıq çevrilməsidir.

• \(K > 1\) olduqda fiqur ilkin fiqura nəzərən böyüyür.
• \(0 < k < 1\) olduqda fiqur ilkin fiqura nəzərən böyüyür.
• \(K=1\) olduqda fiqur ilkin fiqura konqruyent olur.
• \(K < 0\) olduqda da homotetiyaya baxmaq olar. Bu halda \(A\) və \(A_1\) nöqtələri homotetiya mərkəzindən müxtəlif tərəflərdə yerləşərlər.