Triqonometrik tənliklər ☰
Bu tənliklər müvafiq olaraq sinus, kosinus, tangens və kotangens triqonometrik funksiyaları və onların verilmiş "\(x\)" bucağı və sabit "\(a\)" ilə əlaqələrini əks etdirir.
\(sinx=a \) , \(cosx=a \) , \(tgx=a \) və \(ctgx=a \) tənliklərinin həllərini tapmaq üçün hər bir triqonometrik funksiya üçün ümumi həllərə baxa bilərik:
⠐ \( sinx = a \)
\( sin x=a \) tənliyi üçün ümumi həll:
\(x=arcsin(a) + 2n \pi \) (çüt \(n\) dəyərləri üçün)
\(x = -arcsin(a) + (2n+1) \pi \) (tək \(n\) dəyərləri üçün), burada \(n\) tam ədəddir və \( arcsin(a) \) sinus dəyəri \(a\) olan \(x\) bucağını verən tərs sinus funksiyasını təmsil edir.
⠐ \( cosx = a \)
\( cosx=a \) tənliyi üçün ümumi həll:
\(x=arccos(a)+2n \pi \) (çüt \(n\) dəyərləri üçün)
\(x= -arccos(a)+(2n+1) \pi \) (tək \(n\) dəyərləri üçün), burada \(n\) tam ədəddir və \( arccos(a) \) kosinus dəyəri \(a\) olan \(x\) bucağını verən tərs kosinus funksiyasını təmsil edir.
⠐ \( tgx = a \)
\(tgx=a \) tənliyi üçün ümumi həll:
\(x=arctg(a)+n \pi \)
burada \(n\) tam ədəddir, \(arctg(a) \) isə tangens dəyəri \(a\) olan \(x\) bucağını verən tərs tangens funksiyasını təmsil edir.
⠐ \( ctgx = a \)
\( ctgx=a \) tənliyi üçün ümumi həll:
\( x=arcctg(a)+n \pi \), burada \(n\) tam ədəddir və \(arcctg(a) \) kotangens dəyəri \(a\) olan \(x\) bucağını verən tərs kotangent funksiyasını təmsil edir.
Bu ümumi həllər verilmiş tənlikləri təmin edən bütün mümkün x bucaqlarını tapmağa kömək edir. Nəzərə alın ki, tərs triqonometrik funksiyalar (arcsin, accos, arctg və arcctg) bucaqların əsas qiymətlərini, n-li əlavə həddlər isə triqonometrik funksiyaların dövriliyini nəzərə alır.
Triqonometrik bərabərsizliklər ☰
Triqonometrik bərabərsizliklər triqonometrik funksiyaları (sinus, kosinus, tangens və s.) və bərabərsizlik simvollarını (kiçik, böyük, kiçik və ya bərabər, böyük və ya bərabər) ehtiva edən riyazi ifadələrdir. Xüsusilə həndəsə, hesablama və fizikada müxtəlif riyazi problemlərin həllində həlledici rol oynayırlar. Triqonometrik bərabərsizlikləri başa düşmək və həll etmək üçün triqonometrik funksiyaların əsas xassələrini və bərabərsizlikləri idarə etmək üsullarını yaxşı başa düşmək lazımdır.
Trikonometrik bərabərsizlikləri həll etmək üçün əsas vasitələr:
⠐ Triqonometrik funksiya xassələri:
Sinus, kosinus və tangens funksiyalarının dövriliyi, amplitudası və diapazonu kimi xüsusiyyətlərini başa düşmək vacibdir. Məsələn, sinus və kosinus funksiyalarının -1 ilə 1 arasında diapazona malik olduğunu bilmək bərabərsizlikləri həll edərkən faydalı ola bilər.
⠐ Sadə bərabərsizliklər:
Triqonometrik bərabərsizliklərə keçməzdən əvvəl, aşağıdakılar kimi əsas bərabərsizlik xüsusiyyətlərini anlamaq vacibdir:
a. \(a < b \) olduqda, hər hansı həqiqi \(c\) ədədi üçün \(a + c < b + c \) doğrudur.
b. \(a < b \) və \(c> 0 \) olduqda, \(ac < bc \) doğrudur.
c. \(a < b \) və \(c < 0 \) olduqda, \(ac> bc \) doğrudur.
⠐ Sadə triqonometrik bərabərsizliklərin həlli:
Sadə triqonometrik bərabərsizlikləri həll etmək üçün adətən triqonometrik funksiyaların xassələrindən və cəbri üsullardan istifadə edə bilərsiniz. Misal üçün:
a. \(sin(x) > \frac{1}{2} \) , \(x\) üçün \( \left[ 0 , 2 \pi \right) \) intervalında.
b. \( sin(x) \)-in \( \frac{1}{2} \)-dən çox qiymət aldığı \(x\)-in qiymətlərini təyin etmək üçün sinusun xassələrindən istifadə edin.
⠐ Mürəkkəb triqonometrik bərabərsizliklər:
Bəzi bərabərsizliklər birdən çox triqonometrik funksiyanı əhatə edir və ya daha mürəkkəbdir. Belə hallarda bərabərsizliyi sadələşdirmək üçün əvəzetmə, faktorinq və ya kvadratlaşdırma kimi üsullardan istifadə edə bilərsiniz.
Misal üçün:
a. \( sin^2 x + cos^2 x > 1 \) bərabərsizliyini \( \left[ 0 , 2 \pi \right) \) intervalında həll edin.
b. Verilmiş intervalda bərabərsizliyin həlli olmadığını göstərmək üçün \( sin^2 x + cos^2 x = 1 \) Pifaqor eyniliyindən istifadə edin.
⠐ Hesablamadan istifadə edərək triqonometrik bərabərsizliklərin həlli:
Daha təkmil triqonometrik bərabərsizliklər üçün, funksiyanın törəməsini götürərək kritik nöqtələri tapmaq, funksiyanın artan və ya azaldığı intervalları təhlil etmək və maksimal və minimumları tapmaq üçün ikinci törəmə testindən istifadə etmək kimi hesablama üsullarından istifadə etməli ola bilərsiniz. Bu, bərabərsizliyin doğru olduğu intervalları müəyyən etməyə kömək edə bilər.
⠐ Qrafik üsul:
Triqonometrik bərabərsizlikləri həll etmək üçün başqa bir yanaşma qrafik metodlardan istifadə etməkdir. Bərabərsizlikdə iştirak edən triqonometrik funksiyaların qrafikini çəkməklə siz bərabərsizliyin təmin olunduğu intervalları vizual olaraq müəyyən edə bilərsiniz. Bu, çoxlu funksiyalarla işləyərkən və ya cəbri üsullar çox mürəkkəbləşdikdə xüsusilə faydalı ola bilər.
⠐ Tərs trikonometrik funksiyalar:
Bəzən triqonometrik bərabərsizliklər arcsin, arccos və arctg kimi tərs triqonometrik funksiyalardan istifadə etməklə həll edilə bilər. Triqonometrik funksiyanın tərsini götürməklə bərabərsizliyi bucağı əhatə edən cəbri bərabərsizliyə endirə və həllini asanlaşdıra bilərsiniz.
⠐ Triqonometrik eyniliklərdən istifadə etməklə:
Triqonometrik eyniliklər triqonometrik bərabərsizlikləri sadələşdirmək və həll etmək üçün istifadə edilə bilər. Bu eynilikləri tətbiq etməklə siz bərabərsizliyin mürəkkəbliyini azalda və onu daha idarə edilə bilən edə bilərsiniz.
⠐ İnterval işarələmə:
Triqonometrik bərabərsizliklərin həllərini ifadə edərkən, adətən interval işarələmə istifadə edilir. Ədədlər dəstlərini təmsil etmək üçün bu qısa üsul xüsusilə dövri funksiyalarla işləyərkən faydalıdır.
Məsələn, bərabərsizliyin həlli \(x\)-in bütün qiymətləridirsə,
\( 0 < x < \frac{\pi }{2} \) və ya \( \frac{3 \pi }{2} < x < 2 \pi \) olarsa, siz həlli \( (0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{3\pi}{2}, 2\pi) \) kimi yazacaqsınız.
