Üstlü və Loqarifmik Funksiyalar

Həqiqi üstlü qüvvət və üstlü funksiya ☰

İstənilən \(x\) üçün \(1^x = 1 \) və \( x > 0 \) olduqda \( 0^x = 0 \) qəbul edilir.

İstənilən \(x\), \(y\) həqiqi ədədləri və \(a > 0 \), \( a \neq 1 \), \(b > 0 \), \( b \neq 1 \) ədədləri üçün aşağıdakılar doğrudur:

1. \(a^x \cdot a^y = a^{x+y}\)

2. \(a^x \div a^y = a^{x-y}\)

3. \((a^x)^y = a^{xy}\)

4. \((ab)^x = a^x b^x\)

5. \((a/b)^x = a^x / b^x\)

6. \(a > 1, x > y\) olduğunda \(a^x > a^y\)

7. \(0 < a < 1, x> y\) olduğunda \(a^x < a^y\)

8. \(a > b, x > 0\) olduğunda \(a^x > b^x\)

9. \(a > b, x < 0\) olduğunda \(a^x < b^x\)

10. \(a^x = a^y\) isə, o zaman \(x = y\)


Üstlü funksiya
\( a > 0 \), \( a \neq 1 \) olduqda, \( y = a^x \) funksiyasına üstlü funksiya deyilir.

• Təyin oblastı: Bütün həqiqi ədədlər çoxluğu.
  \( D(a^x ) = (- \infty ; + \infty ) \)
• Qiymətlər çoxluğu: Bütün müsbət həqiqi ədədlər çoxluğu. \( E(a^x ) = ( 0 ; + \infty ) \)
• \(x = 0 \) olduqda, \( a^0 = 1 \) olduğundan üstlü funksiyanın qrafiki \( y \) oxunu \( ( 0 ; 1 ) \) nöqtəsində kəsir.
• Üstlü funksiyanın qrafiki absis oxunu kəsmir və qrafiki \( x \) oxundan yuxarı yarımmüstəvidə yerləşir.
• \( y = a^x \) funksiyasına və onun qrafikinə eksponenta deyilir. Eksponenta arqumentin dəyişməsiylə çox sürətlə artır və ya çox sürətlə azalır.
• \( 0 < a < 1 \) olduqda \(x\)-in sonsuz böyüməsiylə \(y \)-in uyğun qiymətləri kiçilir və \( y=a^x \) funksiyasının qrafiki üzərindəki nöqtələr absis oxuna qeyri-məhdud yaxınlaşır.
• \( a > 1 \) və \( x \rightarrow - \infty \) olduqda qrafik üzərindəki nöqtələr absis oxuna qeyri-məhdud yaxınlaşır. Absis oxu üstlü funksiyanın üfüqi asimptotudur.

e ədədi ☰

Araşdırmalar göstərir ki, \(n\)-in qiyməti artdıqca \( (1 + \frac{1}{n})^n \) ifadəsinin qiyməti 2.71 ilə 2.72 arasında dəyişir. Bu ədəd \(e\) hərfi ilə işarə edilir və qiyməti \( e \approx 2.718281828459045… \) kimidir. \(e\) ədədi \( \pi \) ədədi kimi irrasional ədəddir. Bu ədədlər transendent ədədlərdir. Transendent ədədlər əmsalları tam ədədlər olan heç bir \(n\) dərəcəli tənliyin kökləri olmayan ədədlərə deyilir.
Eksponensial artma və ya azalma \(e\) əsasına görə \( N = N_0 e^{kt} \) düsturu ilə ifadə etmək olar. Burada, \( N_0 \) ilkin miqdarı, \(t\) zamanı göstərir. \(k\) sait ədəddir.

Sabit '\(e\)' isveçrəli riyaziyyatçı Leonhard Eulerin adını daşıyır, baxmayaraq ki, ədəd Jacob Bernoulli tərəfindən mürəkkəb faiz problemlərini öyrənərkən kəşf edilmişdir.
'\(e\)' bir çox vacib xüsusiyyətlərə və riyaziyyatın müxtəlif sahələrində, o cümlədən hesablama, ədədlər nəzəriyyəsi və kompleks analizdə tətbiqlərə malikdir.
'\(e\)'nin bəzi əsas aspektləri və tətbiqləri bunlardır:

Eksponensial funksiya:
'\(e\)' ədədi \(y = e^x \) şəklində yazılan natural eksponensial funksiyanın əsasıdır. Bu funksiyanın unikal xüsusiyyəti var ki, onun hər hansı bir nöqtədəki törəməsi həmin nöqtədəki dəyərinə bərabərdir. Bu xüsusiyyət təbii eksponensial funksiyanı diferensial tənliklərin həllində, böyümə və kiçilmə proseslərinin modelləşdirilməsində vacib edir.

Natural Loqarifm:
\( ln(x) \) kimi işarələnən natural loqarifm '\(e\)' əsaslı loqarifmdir. Natral eksponensial funksiyanın tərsidir. Başqa sözlə, əgər \(y = e^x \) olarsa, onda \(x = ln(y) \)

Mürəkkəb faiz:
Sabit “\( e \)” ilk dəfə mürəkkəb faiz problemləri kontekstində yaranmışdır. Mürəkkəb faiz düsturu aşağıdakı kimi verilir:
\( A = P(1 +\frac{r}{n} )^{nt} \), burada: \(A\) - yekun məbləğ, \(P\) - əsas məbləğ (ilkin məbləğ), \(r\) - faiz dərəcəsi (onluq işarə kimi), \(n\) - faizlərin bir müddət ərzində mürəkkəbləşdirilmə sayı, \(t\) - zaman dövrlərinin sayı.
Mürəkkəbləşmə tezliyi (\(n\)) sonsuzluğa yaxınlaşdıqca, düstur davamlı mürəkkəb faiz düsturuna yaxınlaşır:
\( A = P \cdot e^{rt} \)

Eyler eyniliyi:
'\(e\)' riyaziyyatda ən gözəl və dərin tənliklərdən biri hesab edilən Eyler eyniliyinin əsas komponentidir.
Eyler eyniliyi belə verilir: \( e^{i \pi }+1=0 \).
Bu tənlik riyaziyyatda beş fundamental sabiti birləşdirir: '\(e\)', '\(i\)' (xəyali vahid), \( \pi \) (pi), 1 və 0.

Teylor Silsiləsi:
'\(e^x \)' \(x=0 \) ətrafında sadə və konvergent Teylor silsiləsi genişlənməsinə malikdir, bu da aşağıdakı kimi verilir:

\( \small e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \ldots = \sum_{}^{} \frac{x^n}{n!} \)

Bu sonsuz cəm \(x\)-in bütün qiymətləri üçün birləşir və hər hansı verilmiş \(x\) üçün \(e^x\) dəyərini təxmini etmək üçün bir yol təmin edir.

Faktorial tapılması:
'\(e\)' Stirling düsturundan istifadə edərək faktorial funksiyanın təqribi qiymətini tapmaq üçün istifadə olunur. Stirlinq düsturu böyük sayda '\(n\)' faktorialı üçün təxminidir və aşağıdakı kimi verilir:

\( n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \)

Stirlinq düsturu kombinatorika, ehtimal və statistik mexanika kimi müxtəlif tətbiqlərdə faydalıdır.

Loqarifma ☰

\(b\) ədədini almaq üçün \(a\) ədədinin yüksəldiyi qüvvət üstünə \(b\) ədədinin \(a\) əsasdan loqarifmi deyilir və \( y = log_a b \) kimi yazılır. Burada \( a \neq 1 \) olmaqla \(a\) və \(b\) müsbət həqiqi ədədlərdir.
\( y = log_a x \) yazılışı \(a^y = x \) bərabərliyinin loqarifmik yazılışıdır və ya əksinə \(a^y = x \) yazılışı \( y = log_a x \) bərabərliyinin eksponensial yazılışıdır.
Yəni \( y = log_a x \) və \(a^y = x \) yazılışları ekvivalent yazılışlardır.

1. Natural Loqarifma: Əsası \(e\) (Eyler ədədi, təqribən 2.71828-yə bərabərdir.) loqarifmaya natural loqarifma deyilir və \(ln\) olaraq işarə olunur. Yəni: \( lna = log_e a \).

2. Onluq loqarifma: Əsası 10 olan loqarifmaya onluq loqarifma deyilir və \(lg\) olaraq işarələnir. Yəni: \( lga = log_{10} a \).


Loqarifmlər onları müxtəlif riyazi tətbiqlərdə faydalı edən bir neçə vacib xüsusiyyətlərə malikdir:

Hasilin loqarifmi: İki müsbət ədədin hasilinin loqarifmi vuruqların loqarifmlərinin cəmidir.
\(log_b (a \cdot c) = log_b a+ log_b c \).

Nisbətin loqarifmi: İki müsbət ədədin nisbətinin loqarifmi onların loqarifmlərinin fərqidir.
\( log_b \frac{a}{c} = log_b a - log_b c \).

Qüvvətin loqarifmi: Ədədin qüvvətinin loqarifmi qüvvət üstü ilə həmin ədədin loqarifmi hasilidir.
\( log_b a^c = c \cdot log_b a \).

Bir əsasdan başqa əsasa keçmə: Bu düstur bizə müxtəlif əsasların loqarifmləri arasında çevirmə aparmağa imkan verir.
\( log_b a = \frac{log_c a}{log_c b} \).

Eynilik xassəsi: İstənilən müsbət əsas \(b\) olan 1-in loqarifmi həmişə 0-dır, əsasın özü ilə loqarifmi isə həmişə 1-dir.
\( log_b 1 = 0 \) və \( log_b b = 1 \).

Əsas loqarifmik eynilik: Loqarifm və eksponentasiya əməliyyatları eyni əsasla ardıcıl olaraq tətbiq edilərsə, bir-birini ixtisar edərlər.
\( b^{log_b a} = a \) və \( log_b b^a = a \).

Loqarifmik funksiya ☰

Loqarifmik funksiya dəyişənin və ya ifadənin loqarifmini ehtiva edən funksiyadır. Loqarifmik funksiyalar eksponensial funksiyaların tərsidir, yəni əsasın qüvvətə yüksəldilməsi prosesini tərsinə çevirirlər. Loqarifmik funksiyanın ümumi forması belədir:
\( f(x) = log_b x \).

Bu tənlikdə \(f(x) \) loqarifmik funksiyanı, \(b\) loqarifmin əsasını, \(x\) isə giriş dəyişənini və ya arqumentini ifadə edir. \(b\) əsası 1-dən fərqli müsbət ədəd olmalıdır. Loqarifmik funksiyanın təyini oblastı \( ( 0 ; + \infty ) \)-dur, yəni, loqarifmik funksiyalar yalnız müsbət giriş qiymətləri üçün müəyyən edilir. Qiymətlər çoxluğu \( (- \infty ; +\infty ) \) .


Loqarifmik funksiyaların xassələri:

Loqarifmik funksiyanın qrafiki \( (1 ; 0 ) \) nöqtəsindən keçən əyridir, çünki hər hansı müsbət əsas \(b\) üçün 1-in loqarifmi həmişə 0-dır.

Loqarifmik funksiyanın qrafiki \( x = 0 \) nöqtəsində şaquli asimptota malikdir, yəni giriş dəyəri 0-a yaxınlaşdıqca funksiya sonsuzluğa yaxınlaşır.

Loqarifmik funksiyanın qrafiki onun müvafiq eksponensial funksiyasının \(y = b^x \) qrafiki ilə müqayisədə \( y = x \) xəttinə nisbətən simmetrikdir.

Loqarifmik funksiyalar əsası \( b > 1 \) olarsa artan, \( 0 < b < 1 \) olarsa azalan funksiyalardır.

Loqarifmik funksiyanın törəməsi aşağıdakı kimi verilir:

a. Natural loqarifmik funksiya: \( \frac{d}{dx} (ln x ) = \frac{1}{x} \) .

b. Ümumi loqarifmik funksiya: \( \frac{d}{dx} ( log_b x ) = \frac{1}{x ln b} \) .

Loqarifmik şkala ☰

Loqarifmik şkala bir neçə böyüklük sırasını əhatə edən məlumatları təmsil etmək üçün istifadə olunan qeyri-xətti şkaladır. Loqarifmik şkalada kəmiyyətin qiyməti dəyərin özü əvəzinə faktiki dəyərin loqarifmi ilə təmsil olunur. Bu miqyaslama üsulu eksponensial artım və ya azalma nümayiş etdirən məlumatlarla işləyərkən və ya dəyərlər diapazonu çox böyük olduqda xüsusilə faydalıdır.
Loqarifmik şkala hər hansı bir əsas ilə təmsil oluna bilər, lakin ən çox yayılmış əsaslar 10 (onluq loqarifm) və \(e\) (natural loqarifm) əsaslarıdır.


Loqarifmik şkala və onların tətbiqlərinə bəzi nümunələr bunlardır:

Rixter şkalası: Zəlzələlərin maqnitudasını ölçmək üçün Rixter şkalası istifadə olunur. Bu, əsası 10 olan loqarifmik şkaladır və miqyasda hər bir tam ədəd artımı seysmik dalğaların amplitudasının on qat artmasına uyğundur.

Desibel şkalası: Desibel şkalası səsin intensivliyini və ya güc, gərginlik və ya cərəyan kimi digər kəmiyyətləri loqarifmik nisbətlər baxımından ölçür. Səsin intensivliyi vəziyyətində desibel şkalası aşağıdakı kimi müəyyən edilir:
\( L = 10 log_{10} \frac{I}{I_0} \) , burada \(L\) desibellərdə səs səviyyəsi, \(I\) səsin intensivliyi və \(I_0\) istinad intensivliyi, adətən insanın eşitmə həddidir.

pH şkalası: \(pH\) şkalası məhlulun turşuluğunu və ya qələviliyini ölçmək üçün istifadə olunur. Şkala 0 ilə 14 arasında dəyişir, 7 neytraldır. pH dəyəri məhluldakı hidrogen ionunun konsentrasiyasının mənfi loqarifmi kimi müəyyən edilir:
\( pH =-log_{10} [H^+] \).

Üstlü tənliklər ☰

Eksponensial funksiya aşağıdakı kimi müəyyən edilir:
\( f(x) = a \cdot b^x \), burada: \(a\) sıfırdan fərqli sabit olan ilkin qiymət və ya əmsaldır. \(b\) müsbət sabitdir və 1-dən fərqli olan əsasdır. \(x\) dəyişən olan eksponentdir.
Eksponensial tənliyi həll edərkən əsas məqsəd \( (x) \) dəyişənini onun qiymət(lər)ini tapmaq üçün təcrid etməkdir. Eksponensial tənlikləri həll etmək üçün bir neçə üsul var, o cümlədən:

Üstlü qüvvət xassələrindən istifadə etməklə:
Eyni əsasa malik iki bərabər eksponensial ifadəniz varsa, onların eksponentlərini bir-birinə bərabər təyin edə və dəyişən üçün həll edə bilərsiniz:
\( b^x = b^y \rightarrow x = y \).

Hər iki tərəfə loqarifm tətbiq etməklə:
Əsasların fərqli olduğu hallarda tənliyi sadələşdirmək üçün loqarifmlərdən istifadə etmək olar. Loqarifmlərin xassəsindən istifadə edərək, eksponenti aşağı sala və tənliyi xətti və ya cəbri tənliyə çevirə bilərsiniz.

Məsələn, Tənliyi həll edin: \( 3^x = 9 \).
Hər iki tərəfə loqarifm tətbiq edək: \( ln(3^x ) =ln(9) \).
Loqarifm xassəsindən istifadə edərək eksponenti aşağı sala bilərik: \( x ln(3) = ln9 \).
Və \(x\)-i tapmaq üçün həll edərik: \( x = \frac{ln(9)}{ln(3)} \) .

Əsası dəyişmə düsturundan istifadə etməklə:
Əgər tənlik \( a^x = b^y \) formasındadırsa əsası dəyişmə düsturundan istifadə edə bilərsiniz.
\( x= \frac{log_b (a)}{log_b (b)} \).

Əvəzetmə:
Bəzi hallarda problemi sadələşdirmək üçün əvəzetmədən istifadə edilə bilər. Əgər eksponensial ifadə başqa eksponensial ifadənin qüvvətinə malikdirsə, həll etmək üçün daha sadə tənlik yaratmaq üçün daxili eksponensial ifadəni yeni dəyişənlə əvəz edə bilərsiniz.

Məsələn, tənliyi həll edin: \( (2^x)^3 = 64 \).
\( y =2^x \) əvəzetməsi istifadə edək: \( y^3 = 64 \).
Alınan tənliyi həll etdikdə \( y = 4 \) alarıq. Daha sonra \(y\) qiymətini yerinə yazmaqla \( 2^x = 4 \) tənliyini həll edək. Bu halda \( x = 2 \).

Loqarifmik tənliklər ☰

Loqarifmik tənliklər loqarifmləri ehtiva edən riyazi ifadələrdir. Loqarifma eksponentasiyanın tərs əməliyyatıdır və "log" simvolu ilə işarələnir. \( x \) ədədinin \( b \) əsasdan loqarifmi \( log_b x \) kimi yazılır ki, bu da \( x \) almaq üçün \( b \)nin yüksəldilməli olduğu qüvvəti ifadə edir.


Loqarifmik tənliklərin həllində faydalı olan loqarifmlərin bəzi mühüm xassələri vardır:

\( log_b (xy) = log_b x+log_b y \)

\( log_b (x/y) = log_b x - log_b y \)

\( log_b x^y = y log_b x \)

\( log_b x = \frac{log_c x}{log_c b} \)


Loqarifmik tənliklərin necə həll olunacağını müzakirə edək.
İki əsas üsul var:

1. Loqarifmin aradan qaldırılması:
Tənliyin tək loqarifmik ifadəsi varsa, eksponentsiyadan istifadə edərək loqarifmanı aradan qaldıra bilərik.
Məsələn: \( log_b x = y \). Loqarifmanı aradan qaldırmaq üçün bunu belə yaza bilərik: \( x = b^y \).

2. Loqarifmik ifadələrin birləşdirilməsi:
Tənliyin bir neçə loqarifmik ifadəsi varsa, onları bir ifadədə birləşdirmək üçün loqarifmlərin xassələrindən istifadə edə bilərik.
Misal üçün:
\( log_b x +log_b y =log_b z \)
\( log_b (xy) = log_b z \)
Və bu halda: \( xy = z \) əvəzetməsi apara bilərik.

Üstlü bərabərsizliklər ☰

Üstlü bərabərsizlik üstlü funksiyaları əhatə edən bərabərsizliklər olduqda yaranan riyazi anlayışdır. Eksponensial funksiya \(f(x) = a^x \) və ya \( f(x) = ab^x \) formasında olan funksiyadır, burada \(a\), \(b\) və \(x\) həqiqi ədədlərdir və \( b > 0 \), \( b \neq 1 \).
Eksponensial bərabərsizlik ən azı bir tərəfin eksponensial funksiyanı ehtiva etdiyi bərabərsizlikdir. Burada eksponensial bərabərsizliklərin bir neçə nümunəsi verilmişdir:

1. \(2^x > 8 \)

2. \(3^{x-1} \le 27 \)

3. \( 5e^{2x} < 100 \)


Eksponensial bərabərsizlikləri həll etmək üçün ümumi yanaşma aşağıda qeyd olunanlardır:
Üstlü qüvvəti bərabərsizliyin bir tərəfində təcrid edin.
Bərabərsizliyin hər iki tərəfinə loqarifm tətbiq edin.
Alınan bərabərsizliyi həll edin.

Bir nümunəyə baxaq: \(2^x > 8 \)
Eksponensial termin artıq təcrid olunub. İndi hər iki tərəfə loqarifmanı tətbiq edirik. İstənilən loqarifmdan istifadə edə bilərik, lakin sadəlik üçün natural loqarifmadan istifadə edək:
\( ln(2^x ) > ln(8) \)

Loqarifmanın \( ln(a^b ) = b\ ln(a) \) xassəsindən istifadə edərək sadələşdirək:
\( x\ ln(2) > ln(8) \)

\(x\)-i tapmaq üçün hər iki tərəfi \( ln(2) \)-yə bölək:
\( x > \frac{ln(8)}{ln(2)} \)

Xassələri tətbiq edərək hesablayaq:
\( x > \frac{ln(2^3)}{ln(2)} = 3 \)

\( 2 ^x > 8 \) bərabərsizliyinin həlli \( x > 3 \).


Nümunə 2: \(3^{x-1} \le 27 \)
1. Eksponensial termini təcrid edin: Bu halda artıq təcrid olunub.

2. Loqarifmi hər iki tərəfə tətbiq edin: Sadlik üçün təbii loqarifmadan istifadə edəcəyik.
\( ln(3^{x-1} ) \le ln(27) \)

3. \(ln(a^b ) = b\ ln(a) \) xassəsindən istifadə edərək sadələşdirək.
\( (x-1)\ ln(3) \le ln(27) \)

4. Sadələşdirək: \( x\ ln(3) - ln(3) \le ln(27) \)
Hər iki tərəfə \( ln(3) \) əlavə edək: \( x\ ln(3) \le ln(27) + ln(3) \)
Hər iki tərəfi \( ln(3) \) bölək: \( x \le \frac{ln(27)+ln(3)}{ln(3)} \)

5. Hesablayaq: \( x \le \frac{ln(3^3 )+ln(3)}{ln(3)} = 4 \)

\( 3^{x-1} \le 27 \) bərabərsizliyinin həlli \( x \le 4 \)


Nümunə 3: \( 5e^{2x} < 100 \)
1. Eksponensial termini təcrid edin: Hər iki tərəfi 5-ə bölün.
\( e^{2x} < 20 \)

2. Hər iki tərəfə loqarifm tətbiq edin:
\( ln(e^{2x} ) < ln(20) \)

3. \( ln(a^b ) = b\ ln(a) \) xassəsindən istifadə etməklə sadələşdirin.
\( 2x\ ln(e) < ln(20) \)
Burada \( ln(e) = 1 \) olduğu üçün: \( 2x < ln(20) \)

4. Hər iki tərəfi 2-yə bölürük:
\( x < \frac{ln(20)}{2} \)

5. Hesablayırıq: \( x < \frac{ln(20)}{2} \approx 1.4979 \)

\( 5e^{2x} < 100 \) bərabərsizliyinin həlli \( x < \approx 1.4979 \) .

Loqarifmik bərabərsizliklər ☰

Loqarifmik bərabərsizlik loqarifmik funksiyaları əhatə edən bərabərsizlikdir. Loqarifmik funksiyalar eksponensial funksiyaların tərsidir və forması: \( y =log_b\ x \) burada \(b\) loqarifmin əsasıdır və \(x\) arqumentdir. Bu kontekstdə loqarifmik bərabərsizlik loqarifmik funksiyanı ehtiva edən bərabərsizlikdir, məsələn:
\( log_b\ f(x) \le log_b\ g(x) \) və ya \( log_b\ f(x) \ge log_b\ g(x) \)

Loqarifmik bərabərsizlikləri başa düşmək və həll etmək üçün loqarifmlərin bəzi xüsusiyyətlərini bilmək vacibdir:

• Loqarifmik eynilik: \( log_b\ b^x = x \)
• Bir əsasdan başqa əsasa keçmə: \(log_b\ x =\frac{log_c x}{log_c b} \)
• Hasil: \( log_b x \cdot y = log_b x + log_b y \)
• Nisbət: \( log_b \frac{x}{y} = log_b x - log_b y \)
• Qüvvət: \( log_b x^n = n log_b x \)

İndi loqarifmik bərabərsizliyin necə həll olunacağını müzakirə edək. Proses ümumiyyətlə aşağıdakı addımları əhatə edir:

1. Bərabərsizliyin bir tərəfində loqarifmi təcrid edin.

2. Mümkünsə bərabərsizliyi sadələşdirmək üçün loqarifmlərin xassələrini tətbiq edin.

3. Bərabərsizlikdən loqarifmanı çıxarın. Bu, çox vaxt loqarifmin əsası ilə hər iki tərəfi eksponentləşdirməklə edilə bilər. Nəzərə alın ki, əsası 0 ilə 1 arasında olarsa, bərabərsizliyin istiqaməti tərsinə çevriləcəkdir.

4. \(x\) üçün yaranan bərabərsizliyi həll edin.

5. Etibarlı olduğundan əmin olmaq üçün həllinizi yoxlayın, çünki bəzi transformasiyalar kənar həllər təqdim edə bilər.


Nümunə:
Bərabərsizliyi həll edin: \(log_2\ (x^2 – 6x + 8 ) \ge 1 \).

1. Loqarifma artıq təcrid olunub.

2. Bərabərsizliyi sadələşdirməyə ehtiyacımız yoxdur.

3. Hər iki tərəfi 2 əsası ilə eksponentləşdirməklə loqarifmi çıxarın:
\( 2^{ log_2\ (x^2 - 6x + 8 ) } \ge 2^1 \).
Loqarifm çıxardıqdan sonra:
\(x^2 -6x+8 \ge 2 \).

4. Alınan bərabərsizliyi həll edin:
\( x^2 -6x+6 \ge 0 \).

Kvadrat düsturdan istifadə edərək kritik nöqtələri tapacağıq:
\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)

\( a=1 \), \(b= -6 \) və \(c=6 \) ilə alırıq:
\( x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} \)

İki kritik nöqtə \( x = 3 - \sqrt{3} \) və \( x = 3 + \sqrt{3} \)-dir. Kritik nöqtələr arasındakı bərabərsizliyin işarəsini təhlil edə bilərik:

• \( x < 3 - \sqrt{3} \), müsbətdir.
• \( 3 - \sqrt{3} < x < 3 + \sqrt{3} \), mənfidir.
• \( x > 3 + \sqrt{3} \), müsbətdir.

5. Deməli tənliyin həlli \( x \le 3 - \sqrt{3} \) və ya \( x \ge 3 + \sqrt{3} \) aralığıdır, yəni:
\( (-\infty, 3 - \sqrt{3}] \cup [3 + \sqrt{3}, \infty) \)