Çevrə

Mərkəzi bucaq. Çevrə qövsü. ☰

Çevrə, müstəvidə mərkəz adlanan sabit nöqtədən bərabər məsafədə olan nöqtələr toplusudur. Dairə riyaziyyatda mühüm formadır və həndəsə, triqonometriya və hesablama daxil olmaqla bir çox sahədə istifadə olunur.
Mərkəzi bucaq təpəsi dairənin mərkəzi olan bucaqdır. O, mərkəzi çevrənin iki nöqtəsi ilə birləşdirən iki radiusdan əmələ gəlir. Başqa sözlə, mərkəzi bucaq təpəsi dairənin mərkəzində olan və qolları dairənin iki nöqtəsini kəsən bucaqdır.
Mərkəzi \(O\), dairənin iki nöqtəsi \(A\) və \(B\) olan bir dairəni nəzərdən keçirək. Mərkəzi bucaq \(\angle AOB \text{ O}\) , \(A\) və \(B\) nöqtələrində \(A\) və \(B\) nöqtələrini kəsən dairənin iki radiusunun yaratdığı bucaqdır. Çevrənin bir neçə radiusu çəkildikdə alınan ortaq daxili nöqtəsi olmayan bütün mərkəzi bucaqların cəmi 360 dərəcədir.
Çevrə qövsü. Çevrə üzərindəki hər hansı iki nöqtə onu iki qövsə ayırır: nöqtələr diametrin ucları deyilsə, böyük qövsə (major qövs) və kiçik qövsə (minor qövs). Çevrə üzərindəki iki nöqtə diametrin uc nöqtələri olarsa, hər iki qövs yarımçevrə olur.
Çevrədə konqruyent mərkəzi bucaqlara uyğun qövslər konqruyentdir və tərsinə.
Minor qövs (kiçik qövs): Minor qövsün dərəcə ölçüsü 180 dərəcədən kiçikdir və uyğun mərkəzi bucağın dərəcə ölçüsünə bərabərdir.
Major qövs (böyük qövs): Major qövsün dərəcə ölçüsü 180 dərəcədən böyükdür və onun qiyməti 360 dərəcə ilə uyğun minor qövsün fərqinə bərabərdir.
Yarımçevrə: Yarımçevrənin dərəcə ölçüsü 180 dərəcədir.

Qövsün uzunluğu. Mərkəzi bucaq tam bucağın (360 dərəcənin) hansı hissəsidirsə, uyğun qövsün uzunluğu da çevrənin uzunluğunun həmin hissəsidir.
1 dərəcəli qövsün uzunluğu çevrənin uzunluğunun \(\frac{1}{360}\) hissəsidir. \(M\) dərəcəli mərkəzi bucağa uyğun qövsün uzunluğu çevrənin uzunluğunun \(\frac{m}{360}\) hissəsini təşkil edir. Deməli qövsün uzunluğu \(l=\frac{m}{360} \cdot 2\pi r\)-dir.
Qövsün uzunluğu uzunluq ölçü vahidləri (mm, sm, m və s.) ilə ifadə olunur.

Vətər ☰

Çevrənin vətəri çevrənin iki nöqtəsini birləşdirən düz xətt seqmentidir. Diametr dairənin mərkəzindən keçən ən uzun vətərdir.

Teorem 1. Çevrənin konqruyent qövslərini gərən vətərləri konqruyentdir.
Tərs teorem. Çevrənin konqruyent vətərlərinin gərdikləri qövslər konqruyentdir.

Teorem 2. Vətərə perpendikulyar olan diametr bu vətəri və onun gərdiyi qövsü yarıya bölür.
Çevrənin mərkəzindən keçən və vətərə perpendikular olan düz xətt həm vətəri, həm də onun gərdiyi qövsü yarıya bölür.
Çevrənin mərkəzi vətərin orta perpendikulyarı üzərindədir. Vətərin orta perpendikulyarı çevrənin mərkəzindən keçir.

Teorem 3. Çevrənin konqruyent vətərləri mərkəzdən eyni məsafədədir.
Tərs teorem. Çevrənin mərkəzindən eyni məsafədə olan vətərlər konqruyentdir.

Vətərin uzunluğu üçün düsturlar: \(AB=2r sin(\frac{\theta}{2})\), burada \(r\) radius, \(AB\) vətərin uzunluğu və \(\theta\) vətəri əhatə edən mərkəzi bucağın dərəcə ölçüsüdür. Bu düstur hər hansı \(ABC\) üçbucağında bucağın sinusunun qarşı tərəfin uzunluğuna nisbətinin sabit olduğunu bildirən Sinuslar qanunundan istifadə etməklə əldə edilə bilər:

\( \frac{\sin\angle A}{AB} = \frac{\sin\angle B}{BC} = \frac{\sin\angle C}{AC} \)

Vətərin uzunluğu üçün digər düstur. \(AB=2 \sqrt{r^2 - h^2} \) Bu düsturda çevrənin vətərinin uzunluğunu tapmaq üçün çevrənin mərkəzindən vətərə olan perpendikulyar məsafədən istifadə edilir. Vətər \(AB\), çevrənin mərkəzi isə \(O\) olsun. \(O\)-dan \(AB\)-yə qədər olan perpendikulyar məsafə \(h\), vətərin uzunluğu isə \(AB\) olsun.
Bu halda düsturumuz: \( AB=2 \sqrt{r^2-h^2} \) burada \(r\) çevrənin radiusudur.

Çevrə daxilinə çəkilmiş bucaq ☰

Təpəsi çevrə üzərində, tərəfləri çevrəni kəsən bucağa çevrə daxilinə çəkilmiş bucaq deyilir. Çevrə daxilinə çəkilmiş bucağa aid olan qövsə bu bucağın söykəndiyi qövs deyilir.
Çevrə daxilinə çəkilmiş 3 müxtəlif bucaq təsvir etmək olar.

• Çevrənin mərkəzi daxilə çəkilmiş bucağın xaricindədir.
• Çevrənin mərkəzi daxilə çəkilmiş bucağın daxilindədir.
• Çevrənin mərkəzi daxilə çəkilmiş bucağın tərəfi üzərindədir.

Teorem 1. Çevrə daxilinə çəkilmiş bucağın dərəcə ölçüsü söykəndiyi qövsün dərəcə ölçüsünün yarısına bərabərdir.
\(\angle BAC = \frac{BC}{2} \)
Çevrə daxilinə çəkilmiş bucaq uyğun mərkəzi bucağın yarısına bərabərdir.
Diametrə (yarımçevrəyə) söykənən daxilə çəkilmiş bucaq düz bucaqdır.
Eyni qövsə söykənən daxilə çəkilmiş bucaqlar konqruyentdir.
Söykəndikləri qövsləri konqruyent olan daxilə çəkilmiş bucaqlar konqruyentdir.

Çevrəyə toxunan ☰

Çevrə ilə yalnız bir ortaq nöqtəsi olan düz xəttə çevrəyə toxunan deyilir.
Çevrəyə toxunan düz xətt toxunma nöqtəsinə çəkilmiş radiusa perpendikulyardır.
Çevrənin nöqtəsindən keçən və bu nöqtəyə çəkilmiş radiusa perpendikulyar olan düz xətt çevrəyə toxunandır.
Hər iki çevrəyə toxunan düz xəttə bu çevrələrin ortaq toxunanı deyilir. Çevrələr bir-birinə daxildən və ya xaricdən toxunmaqla bir nöqtədə eyni toxunana malik ola bilərlər, həmçinin eyni toxunana müxtəlif nöqtələrdə toxuna bilərlər.
İki çevrənin bir neçə ortaq toxunanı ola bilər və ya heç bir ortaq toxunanı olmaya bilər.

Eyni nöqtədən çevrəyə çəkilmiş toxunanların xassələri.
Eyni nöqtədən çevrəyə çəkilmiş iki toxunanın toxunma nöqtələrinə qədər olan parçaları konqruyentdir və çevrənin mərkəzi toxunanların əmələ gətirdiyi bucağın tənböləni üzərində yerləşir.


Toxunan bir xətt olduğundan onun da tənliyi var.

• \( (x_1,y_1 ) \) nöqtəsində \(x^2+y^2=a^2\) dairəsinə toxunan tənliyi \(xx_1+yy_1=a^2\) ilə verilir.
• \((x_1,y_1 )\) nöqtəsində \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) çevrəsinə toxunan tənliyi \(xx_1+yy_1+g(x+x_1 )+f(y+y_1 )+c=0\) ilə verilir. Burada \((g,f)\) dairənin mərkəzini göstərir.
• \((a cos \theta,a sin \theta ) \) nöqtəsində \(x^2+y^2=a^2\) dairəsinə toxunan tənliyi \(xcos \theta + ysin \theta = a \) ilə verilir.
• \( y=mx+c \) xətti üçün \( x^2+y^2=a^2 \) dairəsinə toxunan tənliyi \(y=mx \pm a \sqrt{1+m^2}\) ilə verilir.
  Bu tənlik xəttdən dairəyə iki mümkün toxunanı təmsil edir.

Çevrənin kəsəni ☰

Çevrə ilə iki ortaq nöqtəsi olan düzz xəttə çevrənin kəsəni deyilir.

Toxunan və kəsənlər arasındakı bucaqlar ☰

İki kəsən arasındakı bucaqlar.

Teorem 1. Çevrəyə çəkilmiş iki kəsən arasındakı bucağın təpə nöqtəsi çevrə daxilində olarsa, onun dərəcə ölçüsü bu bucağın söykəndiyi qövslə onun qarşılıqlı bucağının söykəndiyi qövsün dərəcə ölçüləri cəminin yarısına bərabərdir.
\(AB\) və \(CD\) kəsənləri dairə daxilində \(M\) nöqtəsində kəsişdikdə:
\(\angle AMC = \frac{AC + DB}{2}\) , \(\angle AMD = \frac{AD + BC}{2}\)

Teorem 2. Çevrəyə çəkilmiş kəsən və toxunanın, iki toxunanın, iki kəsənin arasındakı bucağın (təpə nöqtəsi çevrə xaricində olarsa) onun dərəcə ölçüsü bucağın tərəflərinin arasında qalan böyük qövslə kiçik qövsün dərəcə ölçüləri fərqinin yarısına bərabərdir.

• İki kəsən arasındakı bucaq: \(\angle S = \frac{CD - AB}{2}\) . Burada \(SC\) və \(SD\) kəsənlər, \(CD\) böyük qövs, \(AB\) kiçik qövsdür.
• İki toxunan arasındakı bucaq: \(\angle S= \frac{ADB - AB}{2} \). Burada \(SA\) və \(SB\) toxunanlar, \(ADB\) böyük qövs, \(AB\) kiçik qövsdür.
• Toxunan və kəsən arasındakı bucaq: \(\angle S = \frac{BC - AB}{2}\) . Burada \(SC\) kəsən, \(SB\) toxunan, \(BC\) böyük qövs, \(AB\) kiçik qövsdür.

3-cü hal. Bucağın təpə nöqtəsi çevrənin üzərində yerləşir.
Teorem 3. Çevrəyə çəkilmiş toxunan və kəsən arasındakı bucağın təpə nöqtəsi çevrənin üzərində olarsa, onun dərəcə ölçüsü bu bucağın söykəndiyi qövsün dərəcə ölçüsünün yarısına bərabərdir.

Çevrədə vətər və kəsənlərin parçalarının mütənasibliyi.

• Çevrənin iki vətəri kəsişirsə, kəsişmə nöqtəsinin birinci vətərdən ayırdığı parçaların hasili, ikinci vətərdən ayırdığı parçaların hasilinə bərabərdir. Yəni, \(AB\) və \(CD\) vətərləri \(M\) nöqtəsində kəsişirsə \(AM \cdot MB = CM \cdot MD \)olur.
• Çevrə xaricindəki nöqtədən çevrəyə kəsənlər çəkilibsə, kəsən parçanın öz xarici hissəsinə hasili sabitdir. \(AC\) və \(AE\) kəsən parça, müvafiq olaraq \(AB\) və \(AD\) xarici hissə olduqda \(AC \cdot AB = AE \cdot AD \) olur.
• Nöqtədən çevrəyə toxunan və kəsən çəkilibsə, toxunan parçanın kvadratı kəsən parçanın öz xarici hissəsinə hasilinə bərabərdir. \(MT\) toxunan, \(MB\) kəsən və \(MA\) xarici hissə olduqda \(MT^2 = MA \cdot MB \) olur.