Limit

Limit ☰

Funksiyanın limiti hesablamada əsas anlayışdır. Qeyri-rəsmi olaraq, giriş müəyyən bir nöqtəyə yaxınlaşdıqda funksiyanın yaxınlaşdığı dəyəri təsvir edir. Riyazi olaraq, x a nöqtəsinə yaxınlaşdıqda f(x) funksiyasının limiti belə işarələnir:
\( \underset{x \to a}{\lim} f(x) = L \)
Bu o deməkdir ki, x ixtiyari olaraq a-ya yaxınlaşdıqca, f(x) funksiya qiymətləri ixtiyari olaraq L-ə yaxınlaşır.

Epsilon-Delta tərifi
Epsilon-delta tərifi limitin rəsmi tərifidir. Burada deyilir ki, hər \( \epsilon > 0 \) üçün elə bir \( \delta > 0 \) mövcuddur ki, əgər \( 0 < |x - a| < \delta \), onda \( |f(x)–L| < \epsilon \) . Bu tərif x-in a-ya ixtiyari yaxınlaşması ilə f(x) funksiyasının qiymətlərinin də L-ə ixtiyari yaxınlaşması fikrini əhatə edir.

• Sabit c funksiyasının limiti sabitin özüdür: $$ \underset{x \to a}{\lim} c = c $$
• Eynilik funksiyasının limiti $$ \underset{x \to a}{\lim} x = a $$
• \(f(x)=mx+b \) Xətti funksiyanın limiti $$\underset{x \to a}{\lim} (mx + b) = ma + b $$
• Cəmin/fərqin limiti: $$ \underset{x \to a}{\lim} [f(x) \pm g(x)] = \underset{x \to a}{\lim} f(x) \pm \underset{x \to a}{\lim} g(x) $$
• Hasilin limiti: $$ \underset{x \to a}{\lim} [f(x) \cdot g(x)] = \underset{x \to a}{\lim} f(x) \cdot \underset{x \to a}{\lim} g(x) $$
• Nisbətin limiti: $$ \underset{x \to a}{\lim} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\underset{x \to a}{\lim} f(x)}{\underset{x \to a}{\lim} g(x)}, \quad \underset{x \to a}{\lim} g(x) \neq 0 $$

Birtərəfli Limitlər ☰

Bəzən x dəyişəninin a-ya yalnız bir tərəfdən (sağdan və ya soldan) yaxınlaşdığı hallara baxmaq lazım gəlir.

Sol limit: x-in qiymətləri a-dan kiçik qalmaqla a-ya yaxınlaşdıqda \(f(x)-L\) fərqi sıfıra yaxınlaşırsa, L ədədinə f(x) funksiyasının a nöqtəsində sol limiti deyilir.
\( \underset{x \to a^-}{\lim} f(x) = L^- \)

Sağ limit: x-in qiymətləri a-dan böyük qalmaqla a-ya yaxınlaşdıqda \(f(x)-L \) fərqi sıfıra yaxınlaşırsa, L ədədinə f(x) funksiyasının a nöqtəsində sağ limiti deyilir.
\( \underset{x \to a^+}{\lim} f(x) = L^+ \)

Əgər sol və sağ limitlər mövcuddursa və bərabərdirsə, deməli funksiyanın limiti mövcuddur və \( \underset{x \to a}{\lim} f(x) = L_- = L_+ \) doğrudur.

Sonsuz limitlər ☰

Sonsuzluğu əhatə edən limitlər, giriş və ya çıxış sonsuzluğa yaxınlaşdıqca funksiyanın davranışını təsvir edə bilər. İki ümumi hal var:

1. x sonsuzluğa yaxınlaşdıqca:
\( \underset{x \to \infty}{\lim} f(x)\)

2. f(x) sonsuzluğa yaxınlaşdıqca:
\( \underset{x \to a^-}{\lim} f(x) = \infty \)


\( \underset{x \to a}{\lim} f(x) = +\infty \quad \text{və} \quad \underset{x \to a}{\lim} g(x) = -\infty \)

\( \underset{x \to a^+}{\lim} f(x) = +\infty \quad \text{və} \quad \underset{x \to a^+}{\lim} g(x) = -\infty \)

\( \underset{x \to a^-}{\lim} f(x) = +\infty \quad \text{və} \quad \underset{x \to a^-}{\lim} g(x) = -\infty \)

Münasibətlərindən hər hansı biri ödənərsə \(x=a\) düz xətti f(x) funksiyasının şaquli asimptotudur.

\( \underset{x \to +\infty}{\lim} f(x) = b \) və ya \( \underset{x \to -\infty}{\lim} f(x) = b \) limitləri varsa, \(y=b\) düz xətti \(f(x)\) funksiyasının üfüqi asimptotudur.

Kəsilməzlik ☰

Aşağıdakı üç şərt yerinə yetirilərsə, funksiya \(a\) nöqtəsində davamlıdır:

1. \(f(a) \) müəyyən olunur

2. \( \underset{x \to a}{\lim} f(x) \) mövcuddur

3. \( \underset{x \to a}{\lim} f(x) = f(a) \)


Əgər funksiya öz təyin oblastının hər bir nöqtəsində davamlıdırsa (kəsilməzdirsə), ona davamlı (kəsilməz) funksiya deyilir. Davamlılıq bir sıra mühüm xüsusiyyətlərə və təsirlərə malikdir, məsələn:

• Məxrəc sıfırdan fərqli olmaq şərti ilə davamlı funksiyaların cəmi, fərqi, hasili və nisbəti davamlıdır.
• Çoxhədli və rasional funksiyalar öz təyin oblastlarında davamlıdırlar.
• Kəsilməz funksiyaların kompozisiyası kəsilməzdir.
• Aralıq dəyər teoremi göstərir ki, əgər kəsilməz \(f\) funksiyası hansısa \( [a,b] \) intervalı üçün \(f(a)\) və \(f(b)\) qiymətlərini alırsa, o zaman bu intervalda ən azı bir dəfə \(f(a) \) və \(f(b)\) arasındakı hər bir qiyməti alır.

Triqonometrik funksiyaların limiti ☰

Sinus, kosinus və tangens kimi triqonometrik funksiyaların da limitləri var. Bəzi mühüm triqonometrik limitlərə aşağıdakılar daxildir:

\( \underset{x \to 0}{\lim} \frac{\sin x}{x} = 1 \)

\( \underset{x \to 0}{\lim} \frac{1 - \cos x}{x} = 0 \)

\( \underset{x \to 0}{\lim} \frac{\tan x}{x} = 1 \)

Eksponensial və loqarifmik funksiyaların limiti ☰

\( \underset{x \to 0}{\lim} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \) , burada \(e\) natural loqarifmanın əsasıdır.

\( \underset{x \to 0}{\lim} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 \) , burada \(ln\) natural logarifmadır.

Ədədi ardıcıllığın limiti ☰

Tutaq ki, \(a_n\) ardıcıllığı verilmişdir və istənilən \( \epsilon > 0 \) elə \(N\) nömrəsi var ki, bu nömrədən sonra gələn bütün \(n\)-lər \( ( n > N ) \) üçün \( |a_n - a| < \epsilon \) bərabərsizliyi ödənir. Onda \(a\) ədədinə \(a_n\) ardıcıllığının limiti deyilir və bu
\(\underset{n \to \infty }{\lim} a_n=a \) kimi yazılır.
Sonlu limiti olan ardıcıllığa yığılan ardıcıllıq, sonlu limiti olmayan ardıcıllığa isə dağılan ardıcıllıq deyilir. Ardıcıllığın limiti varsa, yeganədir.

\(n\)-in bütün qiymətlərində \(a_{n+1} > a_n \) ödənərsə, \(a_n\) ardıcıllığı artan, \( a_{n+1} < a_n \) ödənərsə, azalan ardıcıllıq adlanır. Artan və ya azalan ardıcıllıqlara monoton ardıcıllıq deyilir. Hər hansı \(m\) və \(M\) ədədləri üçün \( m \le a_n \le M \quad (n \in N) \) bərabərsizliyi ödənərsə, \(a_n\) ardıcıllığına məhdud ardıcıllıq deyilir.

Veyerstaş teoremi: İstənilən monoton və məhdud ardıcıllığın limiti var.

İkinci görkəmli limit: Göstərmək olar ki, ümumi həddi \(e_n = (1 + \frac{1}{n} )^n \) olan ardıcıllıq artan və məhdud olduğundan, limiti var və \(e\) ədədinə bərabərdir.

\( \underset{n \to \infty}{\lim} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \)

Teylor və Maklaurin Seriyası ☰

Teylor və Maklaurin seriyası müəyyən bir nöqtəyə yaxın funksiyanın sonsuz seriyalı təsvirləridir. \(a\) nöqtəsi haqqında \(f(x)\) funksiyasının Teylor seriyası aşağıdakı kimi verilir:
\( f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \)

Maklaurin seriyası \(a=0\) olduqda Teylor seriyasının xüsusi halıdır:
\( f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} (x)^n \)

Törəmə və inteqralda limit ☰

Limitlər hesablamada törəmələrin və inteqralların əsasını təşkil edir. \(a\) nöqtəsində \(f(x)\) funksiyasının törəməsi bu nöqtədə funksiyanın ani dəyişmə sürətini ifadə edir və limiti ilə verilir:
\( f'(a) = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{f(h+a) - f(a)}{h} \)

Eynilə, funksiyanın inteqralı yığılmış dəyişikliyi və ya əyrinin altındakı sahəni hesablayır və Riemann inteqralı və ya daha ümumi Lebeq inteqralı şəklində limitlərdən istifadə etməklə müəyyən edilir.