Limit
Funksiyanın limiti hesablamada əsas anlayışdır. Qeyri-rəsmi olaraq, giriş müəyyən bir nöqtəyə yaxınlaşdıqda funksiyanın yaxınlaşdığı dəyəri təsvir edir. Riyazi olaraq, x a nöqtəsinə yaxınlaşdıqda f(x) funksiyasının limiti belə işarələnir:
\( \underset{x \to a}{\lim} f(x) = L \)
Bu o deməkdir ki, x ixtiyari olaraq a-ya yaxınlaşdıqca, f(x) funksiya qiymətləri ixtiyari olaraq L-ə yaxınlaşır.
Epsilon-Delta tərifi
Epsilon-delta tərifi limitin rəsmi tərifidir. Burada deyilir ki, hər \( \epsilon > 0 \) üçün elə bir \( \delta > 0 \) mövcuddur ki, əgər \( 0 < |x - a| < \delta \), onda \( |f(x)-L| < \epsilon \) . Bu tərif x-in a-ya ixtiyari yaxınlaşması ilə f(x) funksiyasının qiymətlərinin də L-ə ixtiyari yaxınlaşması fikrini əhatə edir.
Limitin bəzi xassələri:
- Sabit c funksiyasının limiti sabitin özüdür: $$ \underset{x \to a}{\lim} c = c $$
- Eynilik funksiyasının limiti $$ \underset{x \to a}{\lim} x = a $$
- \(f(x)=mx+b \) Xətti funksiyanın limiti $$\underset{x \to a}{\lim} (mx + b) = ma + b $$
- Cəmin/fərqin limiti: $$ \underset{x \to a}{\lim} [f(x) \pm g(x)] = \underset{x \to a}{\lim} f(x) \pm \underset{x \to a}{\lim} g(x) $$
- Hasilin limiti: $$ \underset{x \to a}{\lim} [f(x) \cdot g(x)] = \underset{x \to a}{\lim} f(x) \cdot \underset{x \to a}{\lim} g(x) $$
- Nisbətin limiti: $$ \underset{x \to a}{\lim} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\underset{x \to a}{\lim} f(x)}{\underset{x \to a}{\lim} g(x)}, \quad \underset{x \to a}{\lim} g(x) \neq 0 $$
Birtərəfli Limitlər
Bəzən x dəyişəninin a-ya yalnız bir tərəfdən (sağdan və ya soldan) yaxınlaşdığı hallara baxmaq lazım gəlir.
Sol limit:
x-in qiymətləri a-dan kiçik qalmaqla a-ya yaxınlaşdıqda \(f(x)-L\) fərqi sıfıra yaxınlaşırsa, L ədədinə f(x) funksiyasının a nöqtəsində sol limiti deyilir.
\( \underset{x \to a^-}{\lim} f(x) = L^- \)
Sağ limit:
x-in qiymətləri a-dan böyük qalmaqla a-ya yaxınlaşdıqda \(f(x)-L \) fərqi sıfıra yaxınlaşırsa, L ədədinə f(x) funksiyasının a nöqtəsində sağ limiti deyilir.
\( \underset{x \to a^+}{\lim} f(x) = L^+ \)
Əgər sol və sağ limitlər mövcuddursa və bərabərdirsə, deməli funksiyanın limiti mövcuddur və \( \underset{x \to a}{\lim} f(x) = L_- = L_+ \) doğrudur.
Sonsuz limitlər
Sonsuzluğu əhatə edən limitlər, giriş və ya çıxış sonsuzluğa yaxınlaşdıqca funksiyanın davranışını təsvir edə bilər. İki ümumi hal var:
1. x sonsuzluğa yaxınlaşdıqca:
\( \underset{x \to \infty}{\lim} f(x)\)
2. f(x) sonsuzluğa yaxınlaşdıqca:
\( \underset{x \to a^-}{\lim} f(x) = \infty \)
\( \underset{x \to a}{\lim} f(x) = +\infty \quad \text{ve} \quad \underset{x \to a}{\lim} g(x) = -\infty \)
\( \underset{x \to a^+}{\lim} f(x) = +\infty \quad \text{ve} \quad \underset{x \to a^+}{\lim} g(x) = -\infty \)
\( \underset{x \to a^-}{\lim} f(x) = +\infty \quad \text{ve} \quad \underset{x \to a^-}{\lim} g(x) = -\infty \)
Münasibətlərindən hər hansı biri ödənərsə \(x=a\) düz xətti f(x) funksiyasının
şaquli asimptotudur
.
\( \underset{x \to +\infty}{\lim} f(x) = b \) və ya \( \underset{x \to -\infty}{\lim} f(x) = b \) limitləri varsa, \(y=b\) düz xətti \(f(x)\) funksiyasının
üfüqi asimptotudur
.
Kəsilməzlik
Aşağıdakı üç şərt yerinə yetirilərsə, funksiya \(a\) nöqtəsində davamlıdır:
1. \(f(a) \) müəyyən olunur
2. \( \underset{x \to a}{\lim} f(x) \) mövcuddur
3. \( \underset{x \to a}{\lim} f(x) = f(a) \)
Əgər funksiya öz təyin oblastının hər bir nöqtəsində davamlıdırsa (kəsilməzdirsə), ona davamlı (kəsilməz) funksiya deyilir. Davamlılıq bir sıra mühüm xüsusiyyətlərə və təsirlərə malikdir, məsələn:
- Məxrəc sıfırdan fərqli olmaq şərti ilə davamlı funksiyaların cəmi, fərqi, hasili və nisbəti davamlıdır.
- Çoxhədli və rasional funksiyalar öz təyin oblastlarında davamlıdırlar.
- Kəsilməz funksiyaların kompozisiyası kəsilməzdir.
- Aralıq dəyər teoremi göstərir ki, əgər kəsilməz \(f\) funksiyası hansısa \( [a,b] \) intervalı üçün \(f(a)\) və \(f(b)\) qiymətlərini alırsa, o zaman bu intervalda ən azı bir dəfə \(f(a) \) və \(f(b)\) arasındakı hər bir qiyməti alır.
Triqonometrik funksiyaların limiti
Sinus, kosinus və tangens kimi triqonometrik funksiyaların da limitləri var. Bəzi mühüm triqonometrik limitlərə aşağıdakılar daxildir:
\( \underset{x \to 0}{\lim} \frac{\sin x}{x} = 1 \)
\( \underset{x \to 0}{\lim} \frac{1 - \cos x}{x} = 0 \)
\( \underset{x \to 0}{\lim} \frac{\tan x}{x} = 1 \)
Eksponensial və loqarifmik funksiyaların limiti
\( \underset{x \to 0}{\lim} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \) , burada \(e\) natural loqarifmanın əsasıdır.
\( \underset{x \to 0}{\lim} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 \) , burada \(ln\) natural logarifmadır.
Ədədi ardıcıllığın limiti
Tutaq ki, \(a_n\) ardıcıllığı verilmişdir və istənilən \( \epsilon > 0 \) elə \(N\) nömrəsi var ki, bu nömrədən sonra gələn bütün \(n\)-lər \( ( n > N ) \) üçün \( |a_n - a| < \epsilon \) bərabərsizliyi ödənir. Onda \(a\) ədədinə \(a_n\) ardıcıllığının limiti deyilir və bu
\(\underset{n \to \infty }{\lim} a_n=a \) kimi yazılır.
Sonlu limiti olan ardıcıllığa
yığılan ardıcıllıq
, sonlu limiti olmayan ardıcıllığa isə
dağılan ardıcıllıq
deyilir.
Ardıcıllığın limiti varsa, yeganədir.
\(n\)-in bütün qiymətlərində \(a_{n+1} > a_n \) ödənərsə, \(a_n\) ardıcıllığı artan, \( a_{n+1} < a_n \) ödənərsə, azalan ardıcıllıq adlanır. Artan və ya azalan ardıcıllıqlara
monoton ardıcıllıq
deyilir. Hər hansı \(m\) və \(M\) ədədləri üçün \( m \le a_n \le M \quad (n \in N) \) bərabərsizliyi ödənərsə, \(a_n\) ardıcıllığına
məhdud ardıcıllıq
deyilir.
Veyerstaş teoremi:
İstənilən monoton və məhdud ardıcıllığın limiti var.
İkinci görkəmli limit:
Göstərmək olar ki, ümumi həddi \(e_n = (1 + \frac{1}{n} )^n \) olan ardıcıllıq artan və məhdud olduğundan, limiti var və \(e\) ədədinə bərabərdir.
\( \underset{n \to \infty}{\lim} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \)
Teylor və Maklaurin Seriyası
Teylor və Maklaurin seriyası müəyyən bir nöqtəyə yaxın funksiyanın sonsuz seriyalı təsvirləridir. \(a\) nöqtəsi haqqında \(f(x)\) funksiyasının Teylor seriyası aşağıdakı kimi verilir:
\( f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \)
Maklaurin seriyası \(a=0\) olduqda Teylor seriyasının xüsusi halıdır:
\( f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} (x)^n \)
Törəmə və inteqralda limit
Limitlər hesablamada törəmələrin və inteqralların əsasını təşkil edir. \(a\) nöqtəsində \(f(x)\) funksiyasının törəməsi bu nöqtədə funksiyanın ani dəyişmə sürətini ifadə edir və limiti ilə verilir:
\( f'(a) = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{f(h+a) - f(a)}{h} \)
Eynilə, funksiyanın inteqralı yığılmış dəyişikliyi və ya əyrinin altındakı sahəni hesablayır və Riemann inteqralı və ya daha ümumi Lebeq inteqralı şəklində limitlərdən istifadə etməklə müəyyən edilir.