n-ci Dərəcədən Kök və Rasional Üstlü Qüvvət: Qaydalar və Xassələri

n-ci dərəcədən kök

n-ci qüvvəti \( (n \ge 2, n \in \mathbb{N}) \) \(a\)-ya bərabər olan (yəni \(b^n=a\) bərabərliyini ödəyən) \(b\) ədədinə \(a\)-nın \(n\)-ci dərəcədən kökü deyilir. Məsələn, 125-in 3-cü dərəcədən kökü 5-dir. Çünki \(5^3=125\).

  • Həqiqi ədədlər çoxluğunda istənilən ədədin tək dərəcədən yeganə kökü var.
  • Mənfi ədədin cüt dərəcədən kökü yoxdur.
  • Müsbət ədədin cüt dərəcədən iki kökü var və onlar qarşılıqlı əks ədədlərdir.

Müsbət \(a\) ədədinin \(n\)-ci dərəcədən müsbət kökü \(\sqrt[n]{a} \) kimi, onunla qarşılıqlı əks olan mənfi kökü isə \(-\sqrt[n]{a}\) kimi yazılır.

\( \sqrt[n]{a}\) ifadəsinin mənalı olduğu bütün qiymətlərdə \( (\sqrt[n]{a})^n=a \) bərabərliyi doğrudur.

n-ci dərəcədən qüvvətin n-ci dərəcədən kökü.
1. \(n\) cüt ədəddirsə, istənilən \(a\) üçün \(a^n=|a|^n\) olduğundan, hesabi kökün tərifinə görə \( \sqrt[n]{a^n}=\sqrt[n]{|a|^n}=a \) olur.

2. \(n\) tək ədəddirsə, istənilən həqiqi \(a\) ədədi üçün \( \sqrt[n]{a^n}=a \) bərabərliyi doğrudur.

Ədədin \(n\)-ci dərəcəli kökünü aşağıdakı düsturdan istifadə etməklə tapmaq olar:
\(\sqrt[n]{a}=a^\frac{1}{n}\) Burada "\(a\)" kök alınacaq ədəddir, "\(n\)" isə kökün dərəcəsidir.

Məsələn, 81-in dördüncü dərəcəli kökünü yuxarıdakı düsturdan istifadə etməklə tapmaq olar:
\( \sqrt[4]{81}=81^\frac{1}{4} \)
81-in dördüncü dərəcəyə yüksəldilmiş 3-ə bərabər olması faktından istifadə edərək yuxarıdakı ifadəni sadələşdirə bilərik:
\( \sqrt[4]{81}=(3^4)^\frac{1}{4}=3^{4\cdot \frac{1}{4}}=3^1=3 \)
Beləliklə, 81-in dördüncü dərəcəli kökü 3-dür.

Birqiymətliliyi təmin etmək üçün hesabi kök anlayışı daxil edilir.
Mənfi olmayan \(a\) ədədinin \(n\)-ci dərəcədən mənfi olmayan kökünə hesabi kök deyilir, \(\sqrt[n]{a}\) ilə işarə edilir və belə oxunur: “\(a\)-nın \(n\)-ci dərəcədən kökü.”
\( ^\checkmark \) Xüsusi halda, \(n=2\) olduqda kvadrat kök , \(n=3\) olduqda kub kök deyilir.

Qeyd etmək lazımdır ki, bəzi n-ci dərəcəli köklər irrasional ola bilər, yəni onları iki tam ədədin nisbəti kimi ifadə etmək olmaz. Məsələn, 2-nin kvadrat kökü \((\sqrt{2})\) irrasional ədəddir, çünki kəsr kimi yazıla bilməz.

n-ci dərəcədən kökün xassələri: burada \(a\ge0\) və \(b\ge0\) həqiqi ədədlər, \(m\ge2\) və \(n\ge2\) natural ədədlərdir.

  • \( \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b} \)
    Məsələn, \( \sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{9}=2\cdot 3=6 \)
  • \(b\neq 0\) , \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \)
    Məsələn, \( \sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}=\frac{3}{2} \)
  • \( \sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}\)
    Məsələn, \( \sqrt[3]{8^2}=8^\frac{2}{3}=4\)
  • \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \)
    Məsələn, \( (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{2^2}=\sqrt[3]{4} \)

    Digər nümunə:
    \( \small \sqrt[3]{2^5 \cdot 3^2}=\sqrt[3]{2^3 \cdot 2^2 \cdot 3^2}= \sqrt[3]{8\cdot 9\cdot 4}=\sqrt[3]{288} \)
  • \( \sqrt[m]{ \sqrt[n]{a} }=\sqrt[mn]{a} \)
    Məsələn, \( \sqrt[2]{ \sqrt[3]{8} }=\sqrt[2\cdot 3]{2^3}=\sqrt{2} \)

Rasional üstlü qüvvət

Müsbət \(a\) ədədinin \(\frac{m}{n}\) rasional üstlü qüvvəti \(a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}\) kimi təyin olunur. Burada \(m\) -tam, \(n\) -natural ədəddir, \(n\ge 2\).

\( a^\frac{1}{2}=\sqrt{a} \)

\( a^\frac{2}{3}=\sqrt[3]{a^2} \)

\( a^\frac{3}{4}=\sqrt[4]{a^3} \)

\( a^\frac{5}{2}=\sqrt{a^5} \)


Xassələri:

  • Qüvvətlərin hasili: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
    Məsələn, \(2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4}=2^7=128 \)
  • Qüvvətlərin nisbəti: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
    Məsələn, \(\frac{5^7}{5^3} = 5^{7-3}=625 \)
  • Qüvvətin qüvvəti: \( (a^m )^n=a^{m\cdot n} \)
    Məsələn, \( (2^3 )^4=2^{3\cdot 4}=2^12=4096 \)
  • Mənfi üstlü qüvvət: \( a^{-n}=\frac{1}{a^n} \)
    Məsələn, \( 2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8} \)
  • Sıfır üstlü qüvvət: \( a^0=1\)
    Məsələn, \( 2^0=1 \)
  • Kəsr üstlü qüvvət: \(a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m} \)
    Məsələn, \(2^\frac{3}{2}=\sqrt[2]{2^3}=\sqrt{8}=2\sqrt{2} \)
  • \(m\) müsbət olduqda \( 0^\frac{m}{n}=0 \)
  • Hasilin qüvvəti: \((ab)^n=a^n \cdot b^n \)
    Məsələn, \( (2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4=16 \cdot 81=1296 \)
  • Nisbətin qüvvəti: \( (\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n} \)
    Məsələn, \( (\frac{3}{2})^4=\frac{3^4}{2^4} =\frac{81}{16} \)
  • Mənfi əsas qaydası: \( (-a)^n=(-1)^n \cdot a^n \)
    Məsələn, \( (-2)^4=(-1)^4 \cdot 2^4=16 \) olduğu halda, \( (-2)^3=(-1)^3 \cdot 2^3=-8 \) olur.