1. Evaluar un Límite
Evalúe el límite cuando \(x\) tiende a infinito de:
\( \frac{x^3 - 3x^2 + 2x - 1}{x^3 + 2x^2 - x + 1} \)
2. Suma de una Serie Infinita
Encuentre la suma de la serie:
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^4 + 4} \)
3. Teorema de la Raíz Racional
Demuestre que no existe una raíz racional para la ecuación:
\( x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1 = 0 \)
4. Ecuación Diferencial
Determine la solución general de la ecuación diferencial:
\( y' - 2y = e^{2x} \)
5. Área Entre Curvas
Determine el área encerrada por las curvas:
\( y = x^2 \) y \( y = x^3 - x \)
6. Resolver una Ecuación Trigonométrica
Resuelva la ecuación:
\( \sin x + \cos x = 1 \), \( 0 \le x \le 2\pi \)
7. Suma de Cubos
Demuestre que:
\( \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^2 \)
para todos los números naturales \(n\).
8. Recta Tangente a una Curva
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva \( y = e^{3x} \ln x \) en el punto \((1,0)\).
9. Radio de Convergencia
Determine el radio de convergencia para la serie de potencias:
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n} \)
10. Demostrar el Teorema del Binomio
Demuestre que:
\( (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} b^k a^{n-k} \)
11. Volumen de Revolución
Determine el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por las curvas \(y = x^2\) y \(y = x\) alrededor del eje \(x\).
12. Límite de una Sucesión
Demuestre que \( \underset{n \to \infty}{\lim} \frac{n!}{n^n} = 0 \).
13. Ecuación Diofántica
Encuentre la solución entera positiva más pequeña de la ecuación diofántica:
\( 7x + 11y = 2023 \).
14. Desigualdad en un Triángulo
Demuestre que para cualquier triángulo con lados \(a\), \(b\), y \(c\), se cumple la siguiente desigualdad:
\( \frac{a^3 + b^3 + c^3}{3} \geq abc \).
15. Evaluar una Integral Definida
Determine el valor de la integral:
\( \int_0^\infty \frac{x^3}{{(x^2+1)^2}} \, dx \).
16. Extremos de una Función
Encuentre los valores máximo y mínimo de la función \( f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 5x^2 \) en el intervalo \( [0, 2] \).
17. Demostrar Irracionalidad
Demuestre que \( \sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{49} \) es irracional.
18. Relación de Recurrencia
Encuentre la solución general de la relación de recurrencia \( a_n = 5a_{n-1} - 6a_{n-2} \), dados \( a_0 = 1 \) y \( a_1 = 3 \).
19. Evaluar una Integral Doble
Evalúe la integral doble:
\( \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} \frac{1}{{(x^2+y^2)^2}} \, dy \, dx \).
20. Suma de Ángulos en un Polígono
Demuestre que la suma de los ángulos en un polígono de \(n\) lados es igual a \( 180^\circ (n-2) \).
21. Suma de una Serie Geométrica Infinita
Encuentre la suma de la serie geométrica infinita:
\( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} + \ldots \).
22. Propiedades de un Número Primo
Demuestre que para cualquier número primo \(p\), el número \( \frac{p-1}{2} \) es impar si y solo si \( p \equiv 3 \pmod{4} \).
23. Longitud de Arco de una Curva
Determine la longitud de arco de la curva \( y = \frac{1}{3} x^3 - x \) desde \(x = 0\) hasta \(x = 2\).
24. Disposiciones Distintas
Determine el número de formas distintas de ordenar las letras de la palabra "MATHEMATICS" de manera que no haya dos "M" adyacentes.
25. Fórmula de la Suma de Cubos
Demuestre que para todos los números enteros positivos \(n\), lo siguiente es verdadero:
\( 1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = (1 + 2 + \ldots + n)^2 \).
26. Área en el Plano Complejo
Encuentre el área de un triángulo con vértices en los números complejos \( z_1 = 1 + 2i \), \(z_2 = 2 + i \), y \( z_3 = 1 + i \) en el plano complejo.
27. Raíces de un Polinomio
Demuestre que las raíces del polinomio \( P(x) = x^n - a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} - \ldots + (-1)^n a_n \) son todas reales si y solo si \( a_i \geq 0 \) para todo \( 1 \leq i \leq n \).
28. Integral Impropia
Evalúe la integral impropia:
\( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{{1 + x^2}} \, dx \).
29. Números Complejos
Si \(z\) es un número complejo tal que \(z^4 = 1\), demuestre que \(z^2 - z + 1 = 0\) si y solo si \( z \neq 1 \).
30. Infinitos Números Primos
Demuestre que hay infinitos números primos de la forma \(4k + 3\), donde \(k\) es un entero.