| n | \( a^n - b^n \) |
| 2 | \( (a - b)(a + b) \) |
| 3 | \( (a - b)(a^2 + ab + b^2) \) |
| 4 | \( (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) \) |
| 5 | \( (a - b)(a^4 + a^3 b + a^2 b^2 + ab^3 + b^4) \) |
| n | \( a^n + b^n \) |
| 2 | \( (a + b)^2 - 2ab \) |
| 3 | \( (a + b)(a^2 - ab + b^2) \) |
| 4 | \( (a^2 + 2ab + b^2)^2 - 4a^2 b^2 \) |
| n | \( (a-b)^n \) |
| 2 | \(a^2 - 2ab + b^2\) |
| 3 | \(a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\) |
| 4 | \(a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4\) |
| 5 | \(a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5\) |
| n | \( (a+b)^n \) |
| 2 | \(a^2 + 2ab + b^2\) |
| 3 | \(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) |
| 4 | \(a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\) |
| 5 | \(a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5\) |
| Expresión | Expansión |
| \((a + b + c)^2\) | \( \small a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \) |
| \((a - b - c)^2\) | \( \small a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc\) |
| \((x + a)(x + b)\) | \(x^2 + (a + b)x + ab\) |
| \((x - a)(x - b)\) | \(x^2 - (a + b)x + ab\) |
\( (x + a)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k a^{n-k} \)
teorema del binomio, que establece que para cualquier entero no negativo \(n\), la expansión de \( (x+a)^n \) está dada por la suma de los términos que involucran \(x\) y \(a\), cada uno elevado a alguna potencia:
Aquí: \(n\) es un entero no negativo.
\(n\) es un entero no negativo.
\( \sum \) representa el símbolo de suma, lo que significa sumar los términos generados por la fórmula dentro de los paréntesis para \(k = 0\) hasta \(n\).
\( \binom{n}{k}\) o \( _nC_k\) (también escrito como C(n,k) o "n elige k") representa el coeficiente binomial, que es el número de formas de elegir \(k\) elementos de un conjunto de \(n\) elementos. Se calcula utilizando la fórmula:
\( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) donde "\(!\)" denota la función factorial.
\( x^k \) y \(a^{n-k} \) son los términos que involucran \(x\) y \(a\), cada uno elevado a alguna potencia.
En la expansión de \((x+a)^n\), hay \((n+1)\) términos, y cada término es un producto del coeficiente binomial, \(x\) elevado a alguna potencia, y \(a\) elevado a alguna otra potencia. Las potencias de \(x\) y \(a\) disminuyen y aumentan, respectivamente, a medida que nos movemos desde el primer término hasta el último término en la expansión.
Por ejemplo, \((x+a)^3 \): $$ (x+a)^3 = (nC0) x^3 a^0+ (nC1) x^2 a^1+ (nC2) x^1 a^2+ (nC3) x^0 a^3 $$ Usando los coeficientes binomiales: $$ (x+a)^3 = 1(x^3 )(a^0)+3(x^2 )(a^1 )+3(x^1 )(a^2 )+ 1(x^0 )(a^3 )= x^3+3x^2 a+3xa^2+a^3 $$
Esta fórmula nos permite expandir fácilmente binomios elevados a cualquier potencia sin tener que aplicar manualmente la propiedad distributiva varias veces.
