Los trucos matemáticos pueden ser una forma divertida de acelerar los cálculos e impresionar a tus amigos. Aquí tienes algunos de los mejores trucos matemáticos:
Multiplicar por 11:
Cuando multiplicas un número de dos dígitos por 11, separa los dos dígitos y súmalos. Luego coloca la suma entre los dos dígitos originales.
Ejemplo: \(35 \cdot 11=3 (3+5) 5=385 \)
Elevar al cuadrado números que terminan en 5:
Toma el primer dígito, multiplícalo por el siguiente dígito más alto y luego agrega 25 al resultado.
Ejemplo: \( 75^2=(7 \cdot 8)25=5625 \)
Multiplicar por 5:
Cuando multiplicas un número por 5, puedes multiplicarlo por 10 y luego dividirlo por 2.
Ejemplo: \( 48 \cdot 5=\frac{48 \cdot 10}{2} = 240 \)
Multiplicar por 9:
Para multiplicar un número de un solo dígito por 9, resta 1 al número y luego resta el resultado de 9 para obtener el segundo dígito.
Ejemplo: \( 7\cdot 9=63 (7-1=6,9-6=3) \)
Cálculo rápido de porcentajes:
Para encontrar el porcentaje de un número, puedes mover el punto decimal dos lugares a la izquierda y multiplicar por el porcentaje.
Ejemplo: \( 45 % de 200= 0.45 \cdot 200=90 \)
Sumar números grandes:
Cuando sumas números grandes, a menudo es más fácil redondearlos al décimo, centésimo o milésimo más cercano y luego restar la diferencia.
Ejemplo: \( \small 568+379=(570–2)+(380–1)=950–3=947 \)
Reglas de divisibilidad:
⠐ Un número es divisible por 2 si su último dígito es par.
⠐ Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3.
⠐ Un número es divisible por 4 si los dos últimos dígitos son divisibles por 4.
⠐ Un número es divisible por 5 si termina en 0 o 5.
⠐ Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3.
⠐ Un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es divisible por 9.
⠐ Un número es divisible por 10 si termina en 0.
Duplicar y dividir por la mitad:
Cuando multiplicas dos números, puedes duplicar uno de los números y dividir el otro por la mitad para facilitar el cálculo. Repite el proceso si es necesario.
Ejemplo: \( 14 \cdot 24=(7 \cdot 48)=(3.5 \cdot 96)=336 \)
Multiplicar por 15:
Para multiplicar un número por 15, puedes multiplicar el número por 10, luego agregar la mitad del producto al resultado.
Ejemplo: \( 15 \cdot 8=(8 \cdot 10)+(8 \cdot 5)=80+40=120 \)
Restar de 1,000:
Para restar un número de tres dígitos de 1,000, resta cada dígito de 9, excepto el último dígito, que resta de 10.
Ejemplo: \( 1,000 –634=(9-6)(9-3)(10-4)=366 \)
Elevar al cuadrado números cercanos a 100:
Si un número está cerca de 100, puedes elevarlo al cuadrado encontrando la diferencia con respecto a 100, sumando o restando esa diferencia, y luego multiplicando la diferencia por sí misma.
Ejemplo: \( 97^2=(100–3)^2=(97–3) 3^2=94 09=9409 \)
Encontrar el promedio de dos números:
Para encontrar el promedio de dos números, sumarlos y dividir por 2, o puedes encontrar la diferencia entre los números, dividirlo por 2 y luego sumar el resultado al número más pequeño.
Ejemplo: Promedio de 45 y 65 igual \( \frac{45+65}{2} = \frac{110}{2} = 55 \)
Exponenciación rápida usando cuadrados:
Para elevar un número a una potencia, eleva al cuadrado el número y luego multiplícalo por sí mismo el número de veces necesario. Esto es particularmente útil para calcular exponentes con potencias pares.
Ejemplo: \( 3^4= (3^2 )^2= 9^2= 81 \)
Conversión entre Fahrenheit y Celsius:
Para convertir de Fahrenheit a Celsius, resta 32 de la temperatura Fahrenheit, luego multiplica el resultado por \( \frac{5}{9} \). Para convertir de Celsius a Fahrenheit, multiplica la temperatura Celsius por \( \frac{9}{5} \) y suma 32.
Ejemplo: 68 F a Celsius \( (68-32) \cdot \frac{5}{9} = 36 \cdot \frac{5}{9} \approx 20^\circ \)
Encontrar la suma de enteros de 1 a \(n\):
Para encontrar la suma de todos los enteros de 1 a n, usa la fórmula: \( \frac{n(n + 1)}{2} \)
Ejemplo, Suma de enteros de 1 a 100:
\(1 \to 100=\frac{100 \cdot (100 + 1)}{2}=5050 \)
Encontrar el área de un triángulo equilátero:
Dada la longitud del lado de un triángulo equilátero, encuentra el área usando la fórmula:
\( \frac{\text{longitud del lado}^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \)
Ejemplo, Área de un triángulo equilátero con longitud de lado 6:
\( \frac{6^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3} \)
Estimación de raíces cuadradas:
Para estimar la raíz cuadrada de un número cercano a un cuadrado perfecto, encuentra los cuadrados perfectos más cercanos y úsalos como referencia.
Ejemplo: \( \sqrt{82} \) está entre \( \sqrt{81} \) \((9^2 )\) y \( \sqrt{100} \) \((10^2 )\), por lo que la raíz cuadrada es ligeramente mayor que 9.
Multiplicación rápida por 12:
Para multiplicar un número por 12, primero multiplícalo por 10 y luego suma el doble del número original.
Ejemplo: \( 12 \cdot 7=(10 \cdot 7)+(2 \cdot 7)=70+14=84 \)
División rápida por 5:
Para dividir un número por 5, puedes multiplicar el número por 2 y luego dividir por 10.
Ejemplo: \( 48 \div 5 = \frac{48 \cdot 2}{10} = \frac{96}{10} = 9.6 \)
Multiplicación rápida con un número cerca de 100:
Para multiplicar un número por un número cercano a 100, encuentra la diferencia con respecto a 100, suma/resta la diferencia, y luego multiplica las diferencias.
Ejemplo: \( \small 97 \cdot 103=(100–3)(100+3)=10000–9=9991 \)
Multiplicar números entre 10 y 20:
Para multiplicar dos números entre 10 y 20, primero encuentra la suma de los dígitos de las unidades, luego suma la suma a 20 y multiplica el resultado por 10. Finalmente, suma el producto de los dígitos de las unidades.
Ejemplo: \( \small 17 \cdot 14=((7+4)+20) \cdot 10+(7 \cdot 4)=310+28=338 \)
Sumar/restar números mixtos:
Para sumar o restar números mixtos, suma o resta los números enteros y las fracciones por separado, y luego simplifica el resultado.
Ejemplo: \( \small 4 \frac{1}{4} - 2 \frac{3}{4}=(4-2)+(\frac{1}{4} - \frac{3}{4})=2 - \frac{2}{4}= 1 \frac{1}{2} \)
Encontrar la moda en un conjunto de datos:
Para encontrar la moda (el valor que ocurre con más frecuencia) en un conjunto de datos, cuenta cuántas veces aparece cada valor, y luego identifica el valor con el recuento más alto.
Encontrar la mediana en un conjunto de datos:
Para encontrar la mediana (el valor medio) en un conjunto de datos, primero organiza los valores en orden ascendente, y luego localiza el valor medio. Si hay un número par de valores, encuentra el promedio de los dos valores medios.
Exponenciación rápida usando el método de duplicación y división por la mitad:
Para elevar rápidamente un número a una potencia, puedes duplicar repetidamente el número y dividir por la mitad el exponente hasta que el exponente sea 1.
Ejemplo: \( \small 2^6 = 2 \cdot 2^5 = 4 \cdot 2^4 = 8 \cdot 2^3 = 16 \cdot 2^2 = 32 \cdot 2^1 = 64 \)
Triples pitagóricos:
Un triple pitagórico consta de tres enteros positivos \(a\), \(b\) y \(c\), tal que \(a^2 + b^2 = c^2 \). Una forma de generar triples pitagóricos es mediante la fórmula de Euclides:
\( a = m^2 - n^2\), \(b=2mn\), y \(c=m^2 + n^2 \), donde \(m\) y \(n\) son enteros positivos con \(m > n \).
Diferencia de cuadrados:
La diferencia de dos cuadrados se puede factorizar como \( (a^2 - b^2 )= (a+b)(a–b) \). Esto puede ser útil para simplificar expresiones y resolver ecuaciones.
Suma de cubos:
La suma de dos cubos se puede factorizar como \( (a^3 +b^3 )=(a+b)(a^2 -ab+b^2 ) \)
Diferencia de cubos:
La diferencia de dos cubos se puede factorizar como \( (a^3 - b^3) =(a–b)(a^2 + ab + b^2) \)
Fórmula cuadrática:
Para resolver una ecuación cuadrática de la forma \( ax^2+bx+c=0 \), usa la fórmula cuadrática:
\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
Teorema binomial:
El teorema binomial establece que para cualquier entero no negativo \(n\) y cualquier número real \(a\) y \(b\),
\( (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} b^k a^{n-k} \), donde \(\binom{n}{k}\) son los coeficientes binomiales, también conocidos como "n elige k" o el número de formas de elegir k elementos de un conjunto de \(n\) elementos.
Propiedades de los logaritmos:
⠐ \( log_a (x \cdot y) =log_a (x) +log_a(y) \)
⠐ \( log_a ( \frac{x}{y} ) = log_a (x) -log_a (y) \)
⠐ \( log_a (x^n ) = n \cdot log_a (x) \)
Identidad de Euler:
La identidad de Euler es una ecuación elegante y profunda que relaciona las constantes más importantes en matemáticas: \(e^ {i \pi}+1=0 \), donde \(e\) es la base del logaritmo natural, \(i\) es la unidad imaginaria, y \( \pi \) es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro.
Calculando derivadas:
La derivada de una función mide la tasa de cambio de la función con respecto a su variable de entrada. Algunas reglas básicas para calcular derivadas incluyen:
⠐ \( (cf(x))'= c \cdot f' (x) \)
⠐ \( (f(x) \pm g(x))'=f' (x) \pm g' (x) \)
⠐ \( (f(x) \cdot g(x))' =f' (x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g' (x) \)
⠐ \( ( \frac{f(x)}{g(x)} )'=\frac{(f' (x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g' (x))}{g(x)^2} \)
⠐ \( (f(g(x)))'= f' (g(x)) \cdot g' (x) \)
Calculando integrales:
La integración es el proceso inverso de la diferenciación, utilizado para encontrar el área bajo una curva o para resolver ecuaciones diferenciales. Algunas reglas básicas para calcular integrales incluyen:
⠐ \( \int (c \cdot f(x))dx = c \cdot \int (f(x)) dx \)
⠐ \( \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int (f(x)) dx \pm \int (g(x)) dx \)
⠐ \( u=g(x) \) y \( \frac{du}{dx} = g'(x) \), entonces \( \int f(g(x)) \cdot g'(x) dx = \int f(u) du \)
⠐ \( \int u dv = uv - \int v du \) , donde \(u\) y \(v\) son funciones.
Serie de Taylor:
Una serie de Taylor es una representación de una función como una suma infinita de términos, calculada a partir de los valores de sus derivadas en un solo punto. Para una función \(f(x)\) y un punto \(a\), la serie de Taylor es:
\( f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n \) donde \( f^{(n) } a \) representa la n-ésima derivada de \(f\) evaluada en \(a\)
Descomposición de fracciones parciales:
La descomposición de fracciones parciales es una técnica utilizada para descomponer una función racional (una fracción donde el numerador y el denominador son polinomios) en una suma de fracciones más simples. Esto puede ser útil para la integración o la resolución de ecuaciones diferenciales.
Regla de Cramer:
La regla de Cramer es un método para resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando determinantes. Para un sistema de \(n\) ecuaciones lineales con \(n\) variables, si el determinante de la matriz de coeficientes es diferente de cero, la solución única se puede encontrar calculando los determinantes de las matrices obtenidas al reemplazar una columna con las constantes y dividiendo cada uno por el determinante de la matriz de coeficientes.
Diagonalización de matrices:
La diagonalización es una técnica utilizada para encontrar una matriz diagonal que sea similar a una matriz cuadrada dada, si es posible. Diagonalizar una matriz puede simplificar el proceso de elevar la matriz a una potencia o resolver ecuaciones diferenciales.
Producto punto y producto cruz:
El producto punto de dos vectores es un valor escalar, y se puede calcular como la suma de los productos de los componentes correspondientes de los dos vectores. El producto cruz de dos vectores es un vector perpendicular a ambos vectores de entrada, con una magnitud igual al área del paralelogramo formado por los dos vectores de entrada.
Teorema de Stokes:
El teorema de Stokes relaciona la integral de línea de un campo vectorial alrededor de una curva cerrada con la integral de superficie del rotor del campo vectorial sobre una superficie delimitada por la curva:
\(\oint_C F \cdot d r = \iint_S \nabla \times F \cdot dS \)
donde \(C\) es una curva cerrada que delimita una superficie \(S\), \(F\) es un campo vectorial, \(r\) es un vector de posición, \(dr\) es un elemento diferencial de longitud a lo largo de \(C\), y \(dS\) es un elemento diferencial de área en \(S\).
Teorema de Green:
El teorema de Green relaciona la integral de línea de un campo vectorial alrededor de una curva cerrada con la integral de área del campo vectorial sobre una región plana encerrada por la curva:
\(\oint_C F \cdot d r = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA \)
donde \(C\) es una curva cerrada que encierra una región plana \(D\), \(F\) es un campo vectorial con componentes \(P\) y \(Q\), \(r\) es un vector de posición, \(dr\) es un elemento diferencial de longitud a lo largo de \(C\), y \(dA\) es un elemento diferencial de área en \(D\).
Teorema del valor medio para integrales:
El teorema del valor medio para integrales establece que si \(f\) es una función continua en el intervalo \([a, b]\), entonces existe al menos un valor \(c\) en el intervalo \([a, b]\) tal que
\(\int_a^b f(x) dx = f(c) \cdot (b - a) \)
donde \(c\) es el valor medio de \(f(x)\) en el intervalo \([a, b]\).
Teorema fundamental del cálculo:
El teorema fundamental del cálculo establece una relación entre la diferenciación y la integración, y afirma que si \(f\) es una función continua en el intervalo \([a, b]\) y \(F\) es una primitiva de \(f\) en \([a, b]\), entonces
\( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \)
lo que significa que la integral de \(f\) sobre el intervalo \([a, b]\) es igual a la diferencia entre los valores de \(F\) en \(b\) y \(a\).
Teorema de la divergencia:
El teorema de la divergencia, también conocido como teorema de Gauss, relaciona la integral de superficie de un campo vectorial con la integral de volumen de la divergencia del campo vectorial en un volumen encerrado por la superficie:
\(\iint_S F \cdot dS = \iiint_V \nabla \cdot F dV \)
donde \(S\) es una superficie cerrada que encierra un volumen \(V\), \(F\) es un campo vectorial, \(dS\) es un elemento diferencial de área en \(S\), \(dV\) es un elemento diferencial de volumen en \(V\), y \(\nabla \cdot F \) es la divergencia de \(F\).