Inecuaciones

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En matemáticas, una inecuación es una afirmación que compara dos valores, expresiones o cantidades usando uno de los símbolos de desigualdad: "\( < \)" (menor que), "\( > \)" (mayor que), "\( \le \)" (menor o igual que), "\( \ge \)" (mayor o igual que) o "\(\neq \)" (no igual a).
Comparar números y expresiones implica determinar los tamaños relativos de diferentes cantidades. Hay varios métodos para comparar números y expresiones, incluyendo:

• Símbolos de comparación: Uno de los métodos más simples para comparar números es usar símbolos de comparación como "menor que" \( (<) \), "mayor que" \( (>) \), "menor o igual que" \( (\le ) \) y "mayor o igual que" \( ( \ge ) \) . Por ejemplo, para comparar los números 3 y 5, podemos escribir \( 3 < 5 \) para indicar que 3 es menor que 5.
• Línea numérica: La línea numérica es una representación visual de números en una línea, con números más pequeños a la izquierda y números más grandes a la derecha. Para comparar números en una línea numérica, simplemente podemos observar sus posiciones relativas entre sí. Por ejemplo, si queremos comparar 3 y 5, podemos ver que 5 está a la derecha de 3 en la línea numérica, por lo que 5 es mayor que 3.
• Valor absoluto: El valor absoluto de un número es la distancia de ese número desde cero en la línea numérica. Para comparar dos números con el mismo signo, podemos comparar sus valores absolutos. Por ejemplo, para comparar -3 y -5, podemos comparar los valores absolutos de estos números, que son 3 y 5, respectivamente. Dado que 5 es mayor que 3, podemos decir que El valor absoluto de -5 es mayor que El valor absoluto de -3.
• Manipulación algebraica: Podemos usar la manipulación algebraica para comparar expresiones al simplificarlas y comparar las expresiones resultantes. Por ejemplo, para comparar las expresiones \(2x+3\) y \(3x-1\), podemos simplificarlas combinando términos semejantes y obtener \( 2x+3 < 3x-1 \). Luego, podemos aislar la variable en un lado de la desigualdad y obtener \( x> 4 \).
• Denominador común: Cuando comparamos fracciones, podemos encontrar un denominador común y luego comparar los numeradores. Por ejemplo, para comparar \(\frac{1}{4}\) y \(\frac{2}{5}\), podemos encontrar un denominador común de 20 y obtener \(\frac{5}{20}\) y \(\frac{8}{20}\). Luego, podemos ver que \(\frac{8}{20}\) es mayor que \(\frac{5}{20}\), por lo que \(\frac{2}{5}\) es mayor que \(\frac{1}{4}\).

Estos son solo algunos de los métodos utilizados para comparar números y expresiones en matemáticas. La elección del método depende del problema específico y las herramientas disponibles.

Propiedades de las inecuaciones ☰

Las inecuaciones tienen varias propiedades que rigen su comportamiento, incluyendo las siguientes:

• Transitividad: Si \( a < b \) y \( b < c \), entonces \( a < c \) . Esta propiedad significa que si un valor es menor que otro valor, y el segundo valor es menor que un tercer valor, entonces el primer valor también es menor que el tercer valor.
• Reflexividad: \( a \le a \) y \( a \ge a \) para cualquier valor de \(a\) . Esta propiedad significa que cualquier valor es igual a sí mismo, y es tanto menor o igual que como mayor o igual que sí mismo.
• Simetria: Si \( a < b \), entonces \( b> a \) . Esta propiedad significa que si un valor es menor que otro valor, entonces el segundo valor es mayor que el primero.
• Propiedad de adición: Si \( a < b \) y \(c\) es cualquier número, entonces \( a+c < b+c \) . Esta propiedad significa que si agregas el mismo número a ambos lados de una inecuación, la inecuación sigue siendo verdadera.
• Propiedad de sustracción: Si \( a < b \) y \(c\) es cualquier número, entonces \(a-c < b–c \) . Esta propiedad significa que si restas el mismo número de ambos lados de una inecuación, la inecuación sigue siendo verdadera.
• Propiedad de multiplicación: Si \(a < b \) y \(c\) es un número positivo, entonces \(ac < bc \) . Esta propiedad significa que si multiplicas ambos lados de una inecuación por un número positivo, la inecuación sigue siendo verdadera.
• Propiedad de división: Si \(a < b \) y \(c\) es un número positivo, entonces \( \frac{a}{c} < \frac{b}{c} \) . Esta propiedad significa que si divides ambos lados de una inecuación por un número positivo, la inecuación sigue siendo verdadera.
• Propiedad inversa: Si \( a < b \) , entonces \( -b < -a \) . Esta propiedad significa que si niegas ambos lados de una inecuación, la dirección de la inecuación se invierte.
• Propiedad de trasposición: Si \(a < b \) y \( c < d \) , entonces \( a+c < b+d \) . Esta propiedad significa que si sumas dos inecuaciones, el resultado también es una inecuación.

Estas propiedades son fundamentales para trabajar con inecuaciones en matemáticas. Nos permiten manipular inecuaciones y llegar a nuevas inecuaciones que aún son verdaderas, lo que nos ayuda a resolver problemas y demostrar afirmaciones matemáticas.

Suma y multiplicación de inecuaciones ☰

La suma y la multiplicación de inecuaciones son operaciones utilizadas en álgebra para manipular y resolver ecuaciones e inecuaciones.

Suma de inecuaciones: Si tenemos dos inecuaciones \(a < b\) y \(c < d\), podemos sumarlas para obtener \(a+c < b+d\). Esta propiedad a veces se denomina propiedad de adición de inecuaciones.
Por ejemplo, digamos que queremos resolver la inecuación
\(2x-5 > 7\). Podemos sumar 5 a ambos lados de la inecuación para obtener \(2x > 12\). Luego, podemos dividir ambos lados por 2 para obtener \(x > 6\). Esto nos dice que cualquier valor de \(x\) mayor que 6 satisfará la inecuación.

Multiplicación de inecuaciones: Si tenemos dos inecuaciones \(a < b\) y \(c> 0\), podemos multiplicarlas para obtener \(ac < bc\). Esta propiedad a veces se denomina propiedad de multiplicación de inecuaciones.
Sin embargo, si \(c\) es menor que 0, debemos invertir la dirección de la inecuación, ya que multiplicar por un número negativo cambia el orden de la inecuación.
Por ejemplo, si tenemos la inecuación \(-3 < 5\) y la multiplicamos por -2, obtenemos \(6> -10\).
Por ejemplo, digamos que queremos resolver la inecuación \(2x-5 < 7\). Podemos sumar 5 a ambos lados para obtener \(2x < 12\). Luego, podemos dividir ambos lados por 2 para obtener \(x < 6\). Esto nos dice que cualquier valor de \(x\) menor que 6 satisfará la inecuación.
De manera similar, si tenemos la inecuación \(-3x > 12\), podemos dividir ambos lados por -3, pero como estamos dividiendo por un número negativo, necesitamos invertir la dirección de la inecuación. Esto nos da \(x < -4\).

Estas operaciones son herramientas esenciales en álgebra y pueden ayudarnos a resolver una amplia gama de problemas que involucran inecuaciones. Sin embargo, es importante recordar siempre verificar los signos de los números que estamos multiplicando o sumando, y ser cuidadosos al invertir la dirección de una inecuación.

Intervalos numéricos ☰

En matemáticas, un intervalo numérico es un rango de números entre dos valores especificados. Los intervalos se utilizan frecuentemente para describir soluciones a ecuaciones e inecuaciones, y se representan usando corchetes y paréntesis.

Hay varios tipos de intervalos numéricos, cada uno con su propia notación y significado:

• Intervalo cerrado: Un intervalo cerrado incluye ambos extremos y se denota con corchetes. Por ejemplo, el intervalo \( [a,b] \) incluye todos los valores de \(x\) entre \(a\) y \(b\), incluyendo \(a\) y \(b\) mismos. Así, si \(a=1\) y \(b=5\), entonces \( [1,5] \) incluye 1, 2, 3, 4 y 5.
• Intervalo abierto: Un intervalo abierto excluye ambos extremos y se denota con paréntesis. Por ejemplo, el intervalo \( (a,b) \) incluye todos los valores de \(x\) entre \(a\) y \(b\), pero no incluye \(a\) y \(b\) mismos. Así, si \(a=1\) y \(b=5\), entonces \( (1,5) \) incluye 2, 3 y 4, pero no 1 ni 5.
• Intervalo semiabierto: Un intervalo semiabierto incluye un extremo y excluye el otro, y se denota con una combinación de corchetes y paréntesis. Por ejemplo, el intervalo \( [a,b) \) incluye todos los valores de \(x\) entre \(a\) y \(b\), incluyendo \(a\) pero no incluyendo \(b\). Así, si \(a=1\) y \(b=5\), entonces \( [1,5) \) incluye 1, 2, 3 y 4, pero no 5.
• Intervalo semiabierto invertido: Un intervalo semiabierto invertido excluye un extremo e incluye el otro, y se denota con una combinación de paréntesis y corchetes. Por ejemplo, el intervalo \( (a,b] \) incluye todos los valores de \(x\) entre \(a\) y \(b\), incluyendo \(b\) pero no incluyendo \(a\). Así, si \(a=1\) y \(b=5\), entonces \( (1,5] \) incluye 2, 3, 4 y 5, pero no 1.
• Intervalo infinito: Un intervalo infinito tiene uno o ambos extremos en infinito, y se denota con los símbolos \( \infty \) o \( -\infty \). Por ejemplo, el intervalo \( (a, \infty) \) incluye todos los valores de \(x\) mayores que \(a\), mientras que el intervalo \( (-\infty, b) \) incluye todos los valores de \(x\) menores que \(b\).

Los intervalos numéricos son útiles para describir los conjuntos de soluciones a ecuaciones e inecuaciones, y se utilizan comúnmente en cálculo y análisis real. Comprender la notación y el significado de los intervalos numéricos es esencial para interpretar expresiones matemáticas y resolver problemas que involucran inecuaciones y ecuaciones.

Resolución de inecuaciones lineales en una variable ☰

En matemáticas, una inecuación lineal en una variable es una inecuación que se puede expresar en la forma \(ax+b < c\), \(ax+b> c\), \(ax+b \le c\) o \(ax+b \ge c\), donde \(a\), \(b\) y \(c\) son constantes y \(x\) es una variable.
Para resolver una inecuación lineal en una variable, necesitamos aislar la variable en un lado del símbolo de desigualdad, y luego determinar el rango de valores que satisfacen la inecuación. Aquí están los pasos para resolver una inecuación lineal en una variable:

• Cuando pasas una inecuación de un lado a otro con el signo opuesto, obtienes una inecuación equivalente.
• Cuando multiplicas o divides ambos lados de una inecuación por el mismo número positivo, obtienes una inecuación equivalente.
• Cuando multiplicas o divides ambos lados de una inecuación por el mismo número negativo, obtienes una inecuación equivalente cambiando el signo de la inecuación.

Veamos algunos ejemplos para ver cómo funciona esto en la práctica:

Ejemplo 1: Resolver la inecuación \(2x+3 < 9\)
Solución: Podemos empezar restando 3 a ambos lados de la inecuación para obtener \(2x < 6\). Luego, podemos dividir ambos lados por 2 para obtener \(x < 3\). El conjunto de soluciones es el intervalo abierto \((-\infty, 3)\).

Ejemplo 2: Resolver la inecuación \(-5x+2 \ge -13\)
Solución: Podemos empezar restando 2 a ambos lados de la inecuación para obtener \(-5x \ge -15\). Luego, podemos dividir ambos lados por -5, pero como estamos dividiendo por un número negativo, necesitamos invertir el símbolo de la inecuación para obtener \(x \le 3\). El conjunto de soluciones es el intervalo cerrado \((-\infty, 3]\).

Ejemplo 3: Resolver la inecuación \(3x-4 > 5x+2\)
Solución: Podemos empezar restando \(3x\) a ambos lados de la inecuación para obtener \(-4 > 2x+2\). Luego, podemos restar 2 a ambos lados para obtener \(-6 > 2x\). Finalmente, podemos dividir ambos lados por 2 para obtener \(x < -3\). El conjunto de soluciones es el intervalo abierto \((-\infty, -3)\).

Es importante verificar nuestras soluciones sustituyendo valores del conjunto de soluciones y asegurándonos de que satisfacen la inecuación original. Resolver inecuaciones lineales en una variable es una habilidad importante en álgebra, y tiene aplicaciones en muchas áreas de matemáticas y ciencias.

Resolución de dobles desigualdades ☰

Las dobles desigualdades son un tipo de desigualdad que involucra dos símbolos de desigualdad y una variable entre ellos. Una doble desigualdad expresa un rango de valores para la variable que satisfacen la desigualdad. El tipo más común de doble desigualdad es aquella que involucra los símbolos "<" y ">" .
La forma general de una doble desigualdad es: \(a < x < b\)
donde \(a\) y \(b\) son números reales, y \(x\) es la variable en la que estamos interesados. Esta desigualdad nos dice que \(x\) debe ser mayor que \(a\) y menor que \(b\). En otras palabras, \(x\) debe estar entre los dos valores \(a\) y \(b\).
Para resolver una doble desigualdad, necesitamos encontrar el rango de valores para \(x\) que satisfagan la desigualdad. Para hacer esto, necesitamos resolver cada una de las dos desigualdades por separado y luego combinar las soluciones.

Por ejemplo: supongamos que tenemos la siguiente doble desigualdad: \(-3 < 2x+1 < 7\) .
Para resolver esta desigualdad, necesitamos aislar \(x\) en el medio de la desigualdad resolviendo cada una de las dos desigualdades por separado.
Primero, resolveremos la desigualdad de la izquierda: \(-3 < 2x+1 \) Restando 1 a ambos lados, obtenemos: \( -4 < 2x \)
Dividiendo ambos lados por 2, obtenemos: \(-2 < x \)
Luego, resolveremos la desigualdad de la derecha: \( 2x+1 < 7 \)
Restando 1 a ambos lados, obtenemos: \( 2x < 6 \)
Dividiendo ambos lados por 2, obtenemos: \( x < 3 \)
Ahora tenemos las dos soluciones: \( -2 < x < 3 \)
Esto significa que \(x\) debe ser mayor que -2 y menor que 3 para satisfacer la doble desigualdad original.
Otro tipo de doble desigualdad involucra los símbolos "\(\le\)" y "\(\ge\)". Este tipo de doble desigualdad expresa un rango de valores para la variable que incluye los extremos. La forma general de una doble desigualdad con los símbolos "\(\le\)" y "\(\ge\)" es: \(a \le x \le b\), donde \(a\) y \(b\) son números reales, y \(x\) es la variable en la que estamos interesados.
Para resolver este tipo de doble desigualdad, seguimos un proceso similar al de los símbolos "<" y ">" . Resolvemos cada una de las dos desigualdades por separado y luego combinamos las soluciones.

Por ejemplo, supongamos que tenemos la siguiente doble desigualdad: \(-2 \le 3x-1 \le 5\) .
Para resolver esta desigualdad, primero resolveremos la desigualdad de la izquierda: \(-2 \le 3x-1 \)
Sumando 1 a ambos lados, obtenemos: \( -1 \le 3x \)
Dividiendo ambos lados por 3, obtenemos: \( -\frac{1}{3} \le x \)
Luego, resolvemos la desigualdad de la derecha: \( 3x-1 \le 5 \)
Sumando 1 a ambos lados, obtenemos: \( 3x \le 6 \)
Dividiendo ambos lados por 3, obtenemos: \( x \le 2 \)
Ahora tenemos las dos soluciones: \( -\frac{1}{3} \le x \le 2 \)
Esto significa que \(x\) debe ser mayor o igual que \( -\frac{1}{3} \) y menor o igual que 2 para satisfacer la doble desigualdad original.

En resumen, resolver dobles desigualdades implica encontrar el rango de valores para la variable que satisface la desigualdad. Para resolver una doble desigualdad, necesitamos aislar la variable resolviendo cada una de las dos desigualdades por separado y luego combinar las soluciones.

Desigualdades simples con una variable dentro del signo de valor absoluto. Desigualdades de valor absoluto. ☰

Las desigualdades con una variable dentro de la notación de valor absoluto se llaman desigualdades de valor absoluto. El valor absoluto de un número representa la distancia de ese número a cero en la recta numérica. El valor absoluto de una variable \(x\) se escribe como \( |x| \) y siempre es no negativo.
La forma general de una desigualdad de valor absoluto simple con una variable \(x\) es: \( |ax+b| < c \) , donde \(a\), \(b\) y \(c\) son constantes.

Para resolver una desigualdad de valor absoluto simple, necesitamos aislar la variable \(x\) considerando los dos casos posibles:


Caso 1: \(ax+b\) es positivo o cero, por lo que \(|ax+b|=ax+b\).
En este caso, podemos resolver la desigualdad de la siguiente manera:
\(ax+b < c \rightarrow ax < c-b \rightarrow x < \frac{c-b}{a} \)

Caso 2: \( ax+b \) es negativo, por lo que \( |ax+b| = -(ax+b) \).
En este caso, podemos resolver la desigualdad de la siguiente manera:
\( \small -(ax+b) < c \rightarrow -ax-b < c \rightarrow \) \( \small \rightarrow ax> -(c+b) \rightarrow x > -\frac{c+b}{a} \)

En resumen, para resolver una desigualdad de valor absoluto simple \( |ax+b| < c \), necesitamos considerar dos casos: \(ax+b\) es positivo o cero y \(ax+b\) es negativo. Luego, podemos aislar \(x\) en cada caso para encontrar la solución.

Trabajemos en un ejemplo para ver cómo funciona esto en la práctica: \( |2x+1| < 5\) .

Caso 1: \( 2x+1 \ge 0 \)
\( 2x+1 < 5 \)
\( 2x < 4 \)
\( x < 2 \)

Caso 2: \( 2x+1 < 0 \)
\( -2x-1 < 5 \)
\( -2x < 6 \)
\( x > -3 \)

Por lo tanto, la solución de la desigualdad de valor absoluto \( |2x+1| < 5 \) es \( -3 < x < 2 \). \( (-3;2) \).