Los números complejos son una extensión de los números reales, que permiten la manipulación de cantidades que no pueden ser representadas solo por números reales. Los números complejos se utilizan en varios campos de las matemáticas, la ingeniería y la física para resolver problemas que los números reales no pueden abordar.
Un número complejo es un número que puede expresarse en la forma \(a+bi \), donde \(a\) y \(b\) son números reales, e \(i\) es una unidad imaginaria con la propiedad \(i^2=-1 \). En esta expresión, \(a\) se llama la parte real del número complejo, y \(b\) se llama la parte imaginaria.
Matemáticamente, el conjunto de números complejos se denota como \(ℂ\), y se puede visualizar como un plano bidimensional llamado el plano complejo (o plano de Argand), con la parte real en el eje horizontal y la parte imaginaria en el eje vertical.
1. Operaciones aritméticas:
La suma y la resta de números complejos se realizan componente por componente:
Suma:
\((a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i \)
Resta:
\((a+bi)–(c+di)=(a–c)+(b–d)i \)
La multiplicación y la división de números complejos implican más manipulación:
Multiplicación:
\( (a+bi) \cdot (c+di)=(ac–bd)+(ad+bc)i \)
División:
\( \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi) (c-di)}{c^2 + d^2} = \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2 + d^2} \)
2. Conjugado complejo:
El conjugado complejo de un número complejo \( a + bi\) se define como \( a – bi\). Se denota como \( \overline{a+bi} \). El conjugado tiene la propiedad de que cuando se multiplica con el número complejo original, produce un número real:
\( (a+bi)(a–bi)= a^2 + b^2 \).
3. Módulo y argumento:
El módulo (o magnitud) de un número complejo \(a+bi \) es la distancia desde el origen hasta el punto en el plano complejo, y se calcula como \( |a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2} \). El argumento (o ángulo) de un número complejo es el ángulo formado entre el eje real positivo y la línea que conecta el origen con el punto en el plano complejo, generalmente medido en radianes. Se denota como \( \arg (a+bi)= \theta \), y se puede calcular utilizando la función arcotangente: \( \theta = \arctan (\frac{b}{a}) \) (teniendo en cuenta el cuadrante donde se encuentra el número complejo).
4. Formas polar y exponencial:
Un número complejo también puede ser representado en forma polar como \( a+bi = r( \cos \theta +i\ \sin \theta) \), donde \( r=|a+bi| \) y \( \theta = \arg (a+bi) \). Esto se puede simplificar aún más usando la fórmula de Euler, \( e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta \), dando la forma exponencial: \( a+bi = re^{i \theta } \).
5. Potencias y raíces de números complejos:
Usando la forma exponencial de un número complejo, es fácil calcular sus potencias y raíces.
Sea \(z=re^{i \theta } \) un número complejo, entonces:
Potencias:
\( z^n = (re^{i \theta } )^n = r^n e^{ in \theta } \), donde \(n\) es un entero positivo.
Raíces:
La \(n\)-ésima raíz de \(z\) es dada por
\(w_k = r^{ \frac{1}{n} }\ e^{ \frac{i( \theta + 2 k \pi ) }{n} } \), para \( k = 0,1,2,…,n-1 \).
Esta fórmula produce \(n\) raíces distintas.
6. Teorema de De Moivre:
El teorema de De Moivre es un resultado poderoso que relaciona las potencias de los números complejos con funciones trigonométricas. Para cualquier número complejo en forma polar, \( z = r( \cos \theta +i \sin \theta ) \), y un entero positivo \(n\), el teorema de De Moivre establece:
\( ( \cos \theta + i \sin \theta )^n = \cos n \theta + i \sin n \theta \)
7. Funciones complejas:
Las funciones complejas son funciones que toman números complejos como entradas y producen números complejos como salidas. Se pueden escribir como
\( f(z)=f(x+yi)=u(x,y)+iv(x,y) \), donde \( u(x,y) \) y \( v(x,y) \) son funciones de dos variables reales, representando las partes real e imaginaria de la función, respectivamente.
8. Análisis complejo:
El análisis complejo es una rama de las matemáticas que estudia las funciones complejas y sus propiedades, como la diferenciabilidad, la analiticidad y la integración. Algunos resultados importantes en análisis complejo son:
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann: Una condición necesaria (pero no suficiente) para que una función compleja sea diferenciable en un punto es que sus partes real e imaginaria satisfagan las ecuaciones de Cauchy-Riemann:
\( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \) y \( \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \).
Funciones analíticas: Las funciones que son diferenciables en un entorno de un punto se llaman funciones analíticas. Las funciones analíticas tienen muchas propiedades deseables, como la diferenciabilidad infinita y la capacidad de ser representadas como una serie de potencias convergente.
El teorema integral de Cauchy y la fórmula integral de Cauchy: Estos teoremas conciernen a la integración de funciones complejas alrededor de contornos cerrados y proporcionan herramientas poderosas para evaluar integrales complejas y derivar resultados importantes en análisis complejo.