Números Complejos: Guía Matemática Integral

Introducción a los Números Complejos

Los números complejos representan una extensión fundamental de los números reales, permitiendo operaciones matemáticas más allá del sistema de números reales. Denotados como ℂ, el sistema de números complejos tiene aplicaciones extensas en matemáticas, ingeniería y física.

Definición Clave

Un número complejo tiene la forma \(a + bi\) , donde:

  • \(a\) : componente real
  • \(b\) : componente imaginario
  • \(i\) : unidad imaginaria donde \(i^2 = -1\)

Operaciones Básicas con Números Complejos

Suma y Resta

Suma: \((a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\)

Resta: \((a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i\)

Multiplicación y División

Multiplicación: \((a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\)

División: \(\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}\)

Propiedades y Formas

Conjugado de un Número Complejo

Para un número complejo \(z=a+bi\) , su conjugado es:

\(\overline{z}=a-bi\)

Módulo y Argumento

Módulo: \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)

Argumento: \(\arg(z)=\arctan(\frac{b}{a})\)

Representaciones Alternativas

Forma Polar

\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)

Forma Exponencial

\(z=re^{i\theta}\)

Potencias y Raíces de Números Complejos

Potencias de Números Complejos

Para un número complejo en forma exponencial \(z=re^{i\theta}\) :

\(z^n=(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}\)

donde n es un entero positivo

Raíces Complejas

La n -ésima raíz de un número complejo tiene n valores distintos:

\(w_k=r^{\frac{1}{n}}e^{\frac{i(\theta+2k\pi)}{n}}\)

donde \(k = 0,1,2,\ldots,n-1\)

Propiedades Clave

  • Cada número complejo (excepto 0) tiene exactamente n raíces n -ésimas distintas
  • Las raíces forman un polígono regular en el plano complejo
  • Cada raíz sucesiva se obtiene rotando un ángulo de \(\frac{2\pi}{n}\)

Aplicaciones Avanzadas

Teorema de De Moivre

\((\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\)

Fundamentos de Análisis Complejo

Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Para una función compleja \(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\):

\(\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\) y \(\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\)