Introducción a los Números Complejos
Los números complejos representan una extensión fundamental de los números reales, permitiendo operaciones matemáticas más allá del sistema de números reales. Denotados como ℂ, el sistema de números complejos tiene aplicaciones extensas en matemáticas, ingeniería y física.
Definición Clave
Un número complejo tiene la forma \(a + bi\) , donde:
- \(a\) : componente real
- \(b\) : componente imaginario
- \(i\) : unidad imaginaria donde \(i^2 = -1\)
Operaciones Básicas con Números Complejos
Suma y Resta
Suma: \((a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\)
Resta: \((a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i\)
Multiplicación y División
Multiplicación: \((a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\)
División: \(\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}\)
Propiedades y Formas
Conjugado de un Número Complejo
Para un número complejo \(z=a+bi\) , su conjugado es:
\(\overline{z}=a-bi\)
Módulo y Argumento
Módulo: \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)
Argumento: \(\arg(z)=\arctan(\frac{b}{a})\)
Representaciones Alternativas
Forma Polar
\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)
Forma Exponencial
\(z=re^{i\theta}\)
Potencias y Raíces de Números Complejos
Potencias de Números Complejos
Para un número complejo en forma exponencial \(z=re^{i\theta}\) :
\(z^n=(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}\)
donde n es un entero positivo
Raíces Complejas
La n -ésima raíz de un número complejo tiene n valores distintos:
\(w_k=r^{\frac{1}{n}}e^{\frac{i(\theta+2k\pi)}{n}}\)
donde \(k = 0,1,2,\ldots,n-1\)
Propiedades Clave
- Cada número complejo (excepto 0) tiene exactamente n raíces n -ésimas distintas
- Las raíces forman un polígono regular en el plano complejo
- Cada raíz sucesiva se obtiene rotando un ángulo de \(\frac{2\pi}{n}\)
Aplicaciones Avanzadas
Teorema de De Moivre
\((\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\)
Fundamentos de Análisis Complejo
Ecuaciones de Cauchy-Riemann
Para una función compleja \(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\):
\(\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\) y \(\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\)