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Sólidos Curvos (área, volumen)

Tabla de Contenidos
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Sólidos Curvos

Clasificación de Sólidos Curvos
Los sólidos curvos se pueden clasificar en diferentes categorías según sus propiedades y las formas de sus superficies:

1. Sólidos Convexos: Son sólidos en los que cada par de puntos dentro del sólido está conectado por un segmento de línea que yace completamente dentro del sólido. Ejemplos de sólidos convexos son las esferas, los conos y los cilindros.

2. Sólidos No Convexos: Son sólidos que no cumplen con el criterio de convexidad. Un sólido no convexo tiene al menos un par de puntos dentro del sólido que están conectados por un segmento de línea que no yace completamente dentro del sólido. Ejemplos incluyen toroides (sólidos en forma de rosquilla) y algunos poliedros con caras cóncavas.

Teoremas Relacionados con Sólidos Curvos


Geometría Esférica
La geometría esférica es una geometría no euclidiana que estudia figuras en la superficie de una esfera. Esta geometría difiere de la geometría euclidiana tradicional, ya que la distancia más corta entre dos puntos en una esfera no es una línea recta sino un arco de círculo máximo.

Propiedades de la Geometría Esférica


Sólidos de Revolución
Muchos sólidos curvos, incluyendo esferas, conos y cilindros, pueden generarse al girar una forma bidimensional alrededor de un eje. Estas formas se llaman "sólidos de revolución".

Comprender las propiedades y aplicaciones de los sólidos curvos es esencial en diversos campos como las matemáticas, la ingeniería, la arquitectura y la física. Estas formas a menudo proporcionan la base para estructuras y sistemas más complejos.

Esfera

Una esfera es un sólido perfectamente simétrico con todos los puntos de su superficie equidistantes de un punto fijo llamado el centro. La distancia entre el centro y cualquier punto en la esfera se llama radio. Las esferas tienen líneas de simetría infinitas y la mayor relación volumen-área-superficial de cualquier sólido, lo que las hace ideales para minimizar la pérdida de calor o la evaporación.

Fórmulas:
Área Superficial (AS): \( AS = 4 \pi r^2 \)

Volumen (V): \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \)

Diámetro (D): \( D=2r \)

Propiedades


Aplicaciones en el Mundo Real

Cono

Un cono es un sólido formado al conectar una base plana, generalmente circular, a un solo punto llamado el vértice o ápice. La superficie curva del cono se crea mediante los puntos en la base conectados al vértice. Los conos tienen solo un plano de simetría, que pasa a través del vértice y el centro de la base.

Fórmulas
El área superficial lateral (LSA): \( S_{\text{LSA}} = \pi rl \)

Área Superficial (SA): \( S_{\text{SA}} = \pi r(r+l) \) Donde \(r\) es el radio de la base y \(l\) es la altura inclinada del cono.

Volumen (V): \( \frac{1}{3} \pi r^2 h \) Donde \(h\) es la altura del cono.

Altura Inclinada (l): \( l = \sqrt{r^2 +h^2 } \)

Un tronco de cono es una sección de un cono obtenida al cortar la porción superior con un plano paralelo a la base. El volumen \( (V) \) de un tronco de cono se da por la fórmula:
\( V= \frac{1}{3} \pi h(R^2+r^2+Rr) \) donde \(R\) es el radio de la base más grande, \(r\) es el radio de la base más pequeña y \(h\) es la altura del tronco.

Propiedades


Aplicaciones

Cilindro

Un cilindro es un sólido que consiste en dos bases planas paralelas, congruentes, conectadas por una superficie curva. El eje del cilindro es el segmento de línea que conecta los centros de las dos bases y es perpendicular a ambas bases. Los cilindros tienen dos planos de simetría y son un tipo de prisma, con la misma área de sección transversal en cada altura.

Fórmulas
Área Superficial (SA): \( SA = 2 \pi r^2 +2 \pi rh \)

El área superficial lateral (LSA): \( LSA= 2 \pi rh \)

Volumen (V): \( V = \pi r^2 h \)

Cilindro Circular Recto
Un cilindro circular recto tiene una base circular, y su eje es perpendicular a la base. En este caso, la altura y el borde lateral del cilindro son iguales.

Cilindro Elíptico
Un cilindro elíptico tiene una base elíptica, con un eje mayor \(a\) y un eje menor \(b\). El volumen \( (V) \) de un cilindro elíptico se da por la fórmula:
\(V = \pi abh \) donde \(a\) y \(b\) son los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente, y \(h\) es la altura del cilindro.

Propiedades


Aplicaciones en el Mundo Real