Fórmula para la distancia entre dos puntos ☰

La fórmula para la distancia entre dos puntos \(P_1 (x_1,y_1 ) \) y \(P_2 (x_2,y_2 ) \) en el plano cartesiano se da por la fórmula de distancia: $$ d=\sqrt{(x_2-x_1 )^2 + (y_2-y_1 )^2 } $$ donde \(d\) es la distancia entre los dos puntos.

La fórmula de distancia se deriva del teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado más largo) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. En el plano cartesiano, la distancia entre dos puntos se puede pensar como la hipotenusa de un triángulo rectángulo, con las diferencias \(x\) y \(y\) entre los dos puntos como los otros dos lados.
Para derivar la fórmula de distancia, podemos dibujar un triángulo rectángulo con un lado a lo largo del eje \(x\) y el otro lado a lo largo del eje \(y\). La longitud de la hipotenusa es la distancia entre los dos puntos. La diferencia en \(x\) entre los dos puntos es \(x_2 – x_1 \), y la diferencia en \(y\) es \( y_2 – y_1 \). Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos:
$$ \text{(distancia)}^2= \text{(longitud de la diferencia en x)}^2 + \text{(longitud de la diferencia en y)}^2 \rightarrow d^2= (x_2 - x_1 )^2 + (y_2 - y_1 )^2 $$

Tomando la raíz cuadrada de ambos lados obtenemos la fórmula de distancia: $$ d=\sqrt{(x_2-x_1 )^2 + (y_2-y_1 )^2 } $$
La fórmula de distancia se puede utilizar para encontrar la distancia entre cualquier par de puntos en el plano cartesiano. Es una fórmula fundamental en geometría y se utiliza en varias aplicaciones, como encontrar la distancia más corta entre dos puntos, calcular la distancia recorrida por un objeto y resolver problemas de optimización.

Ecuaión de un círculo ☰

La ecuación de un círculo en el plano cartesiano se da por: $$ (x-h)^2 +(y-k)^2 =r^2 $$ donde \( (h,k) \) es el centro del círculo y \(r\) es el radio.
La ecuación de un círculo se deriva de la fórmula de distancia, que establece que la distancia entre dos puntos \( (x_1,y_1 ) \) y \( (x_2,y_2 ) \) está dada por: $$ d=\sqrt{(x_2-x_1 )^2 +(y_2-y_1 )^2}. $$
En el caso de un círculo, cada punto en la circunferencia del círculo está equidistante del centro. Por lo tanto, si tenemos un punto \( (x,y) \) en la circunferencia del círculo con centro \( (h,k) \) y radio \(r\), podemos establecer \(d = r \) en la fórmula de distancia: $$ r= \sqrt{(x-h)^2+(y-k)^2} . $$
Elevando al cuadrado ambos lados de esta ecuación y simplificando obtenemos la ecuación del círculo: $$ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 . $$
Esta ecuación muestra que el conjunto de todos los puntos \( (x,y) \) que satisfacen la ecuación es la circunferencia de un círculo con centro \( (h,k) \) y radio \(r\).

Coordenadas de puntos en el círculo y razones trigonométricas ☰

Cuando se trata de círculos, suele ser útil conocer las coordenadas de los puntos en el círculo y las razones trigonométricas asociadas con estos puntos. Consideremos un círculo de radio \( r \) centrado en el origen \( (0,0) \) con un punto \( P(x,y) \) en el círculo.
Aquí hay algunos conceptos importantes relacionados con las coordenadas de los puntos en el círculo y las razones trigonométricas:

Coordenadas de puntos en el círculo: Si un punto \( P(x,y) \) está en el círculo de radio \( r \), entonces tenemos \( x^2 + y^2 = r^2 \). Esto significa que si conocemos el valor de \( r \) y las coordenadas de un punto en el círculo, podemos encontrar las coordenadas de cualquier otro punto en el círculo.
Para encontrar las coordenadas de puntos en un círculo, primero necesitamos conocer el centro del círculo y su radio. Una vez que tengamos esta información, podemos usar la trigonometría para encontrar las coordenadas de cualquier punto en el círculo.
Supongamos que el centro del círculo está en el punto \( (h, k) \) y el radio es \( r \). Sea \( \theta \) el ángulo entre el eje \( x \) positivo y la línea que conecta el centro del círculo con el punto de interés en el círculo (medido en sentido antihorario). Entonces las coordenadas del punto en el círculo son:
\( x = h + r\cos(\theta) \)
\( y = k + r\sin(\theta) \)
Aquí, \( \cos(\theta) \) y \( \sin(\theta) \) son las funciones coseno y seno del ángulo \( \theta \), respectivamente.

Razones trigonométricas: Dado un punto \( P(x,y) \) en el círculo, podemos definir seis razones trigonométricas basadas en el ángulo \( \theta \) formado entre la línea que pasa por el origen y el punto \( P \), y el eje \( x \) positivo. Estas razones son:

• Seno: \( \sin \theta = \frac{y}{r} \)
• Coseno: \( \cos \theta = \frac{x}{r} \)
• Tangente: \( \tan \theta = \frac{y}{x} \)
• Cosecante: \( \csc \theta = \frac{r}{y} \)
• Secante: \( \sec \theta = \frac{r}{x} \)
• Cotangente: \( \cot \theta = \frac{x}{y} \)

Observa que estas razones dependen solo del ángulo \( \theta \) y el radio \( r \) y no de las coordenadas del punto \( P \).

Funciones trigonométricas de ángulos especiales: Para ciertos ángulos, las razones trigonométricas tienen valores especiales. Por ejemplo, si \( \theta = 0 \), entonces \( P \) está en el eje \( x \) positivo, por lo que \( \sin \theta = 0 \), \( \cos \theta = 0 \) y \( \tan \theta = 0 \).
De manera similar, si \( \theta = \frac{\pi}{2} \), entonces \( P \) está en el eje \( y \) positivo, por lo que \( \sin \theta = 1 \), \( \cos \theta = 0 \) y \( \tan \theta \) es indefinida.

Aplicaciones: Las coordenadas de los puntos en el círculo y las razones trigonométricas se utilizan en diversas aplicaciones, como en la navegación e ingeniería. Por ejemplo, en la topografía, la distancia entre dos puntos se puede calcular utilizando la trigonometría, y en la ingeniería, la trigonometría se utiliza para calcular los ángulos de las vigas de soporte y las longitudes de los cables.

En resumen, las coordenadas de los puntos en el círculo y las razones trigonométricas son conceptos importantes cuando se trata de círculos. Las coordenadas de un punto en el círculo se pueden encontrar dado el radio y las coordenadas de otro punto, mientras que las razones trigonométricas se basan en el ángulo formado entre la línea que pasa por el origen y un punto en el círculo. Estas razones tienen valores especiales para ciertos ángulos y se utilizan en diversas aplicaciones como la navegación e ingeniería.

Sector y segmento del círculo ☰

El círculo es una de las figuras geométricas más importantes, y tiene varias partes que son de interés, incluyendo el sector y el segmento.

Sector de un Círculo: Un sector de un círculo es la región delimitada por dos radios y un arco. El ángulo formado por los dos radios se llama el ángulo central del sector. Un sector de un círculo es como una rebanada de pizza.
El área de un sector de un círculo se puede encontrar usando la siguiente fórmula: \( A = \frac{\theta}{360^{\circ}} \cdot \pi r^2 \), donde \(r\) es el radio del círculo y \( \theta \) es el ángulo central del sector en grados.
Nótese que en la fórmula, el ángulo \( \theta \) debe estar en grados. Si \( \theta \) está dado en radianes, primero debe convertirse a grados multiplicándolo por \( \frac{180}{\pi} \) antes de usar la fórmula.
Para encontrar el área de un sector de un círculo, usamos la fórmula: \( A= \frac{1}{2} r^2 \theta \), donde \(r\) es el radio del círculo y \( \theta \) es el ángulo central del sector en radianes.

Segmento de un Círculo: Un segmento de un círculo es una parte del círculo que está delimitada por una cuerda y el arco que corta. Hay dos tipos de segmentos: segmento mayor y segmento menor. El segmento mayor es la parte del círculo que está fuera de la cuerda, mientras que el segmento menor es la parte del círculo que está dentro de la cuerda.
Para encontrar el área de un segmento de un círculo, usamos la fórmula: \( A = \frac{1}{2} r^2 (\theta - \sin \theta) \), donde \(r\) es el radio del círculo y \( \theta \) es el ángulo central del segmento en radianes.

La longitud del arco de un sector se da por la fórmula: \( L=r \theta \), donde \(L\) es la longitud del arco y \( \theta \) es el ángulo central del sector en radianes.
Estas fórmulas se pueden utilizar en una variedad de problemas de geometría que involucran círculos, como encontrar el área de una rebanada de pizza o el área de una sección de un jardín circular. También se pueden utilizar en cálculo para encontrar las derivadas de funciones que involucran círculos, como la derivada del área de un sector con respecto al ángulo central.