Ecuaciones. Sistema de Ecuaciones.

Polinomio de grado (Ecuaciones polinómicas de grado superior) ☰

Una ecuación polinómica de grado \( n \) es una ecuación de la forma \( a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+⋯+a_1 x+a_0=0 \) donde \(a_n, a_{n-1}, …, a_1 ,a_0 \) son constantes y \(n\) es un entero no negativo. Aquí, \(x\) es la variable.
El grado de una ecuación polinómica es el mayor exponente de la variable \(x\) en la ecuación.
Por ejemplo, la ecuación \(2x^3–5x^2+3x–7=0\) es una ecuación polinómica de grado 3, porque el mayor exponente de \(x\) es 3. El término constante \(a_0\) también se incluye en la suma, aunque no involucra \(x\), para dejar claro que se trata de una ecuación polinómica.
Las soluciones de una ecuación polinómica de grado \(n\) se llaman raíces o ceros del polinomio. El Teorema Fundamental del Álgebra establece que un polinomio de grado \(n\) tiene exactamente \(n\) raíces complejas, contando multiplicidades. Esto significa que hay exactamente \(n\) soluciones para la ecuación \( a_n x^n +a_{n-1} x^{n-1} +⋯+a_1 x+ a_0 = 0 \), cuando permitimos valores complejos de \(x\).
Hay varias técnicas para encontrar las raíces de ecuaciones polinómicas de grado \(n\). Por ejemplo, si \(n=1\), entonces la ecuación \(ax+b=0\) tiene una única raíz, que es \(x=- \frac{b}{a} \). Para ecuaciones cuadráticas de la forma \( ax^2 +bx+c=0 \), podemos usar la fórmula cuadrática para encontrar las raíces. Para ecuaciones cúbicas de la forma \(ax^3+bx^2+cx+d=0 \), también existe una fórmula llamada fórmula de Cardano, que da las raíces en términos de los coeficientes \(a\), \(b\), \(c\), \(d\). Sin embargo, esta fórmula puede ser bastante complicada de usar en la práctica. Para ecuaciones polinómicas de grado mayor que 3, no hay una fórmula general que dé las raíces en términos de los coeficientes, aunque hay algunos casos especiales donde las raíces se pueden encontrar usando otros métodos.

En general, encontrar las raíces de una ecuación polinómica de grado \(n\) implica factorizar el polinomio en factores lineales y cuadráticos, y luego resolver cada uno de los factores por separado.
Por ejemplo, consideremos la ecuación polinómica \(x^3–3x^2+2x=0\). Podemos factorizarla como \(x(x-1)(x-2)=0\), lo que nos da tres soluciones: \(x=0\), \(x=1\) y \(x=2\). Estas son las raíces de la ecuación polinómica.

Ecuaciones polinómicas de grado superior son ecuaciones de grado 4 o superior, como ecuaciones cuárticas \( (ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0) \) y ecuaciones quínticas \( (ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0) \). Estas ecuaciones pueden ser más difíciles de resolver que las ecuaciones polinómicas de menor grado y pueden requerir técnicas más avanzadas, como el uso de números complejos y la teoría de grupos.
Un resultado importante en la teoría de ecuaciones polinómicas es el teorema fundamental del álgebra, que establece que cada ecuación polinómica no constante con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja. Esto significa que incluso si una ecuación polinómica no se puede resolver usando números reales, siempre se puede resolver usando números complejos.
Hay varias técnicas para resolver ecuaciones polinómicas de grado superior. Un enfoque es intentar factorizar la ecuación en polinomios más simples.
Por ejemplo, la ecuación cuártica \( x^4–5x^2+4=0 \) se puede factorizar como \((x^2–4)(x^2–1)=0 \), que tiene raíces \( x = \pm 1 \) y \( x = \pm 2 \). Sin embargo, no todas las ecuaciones polinómicas de grado superior se pueden factorizar de esta manera.
Otro enfoque es usar métodos numéricos para aproximar las raíces de la ecuación. Por ejemplo, el método de Newton-Raphson se puede utilizar para encontrar iterativamente aproximaciones cada vez mejores a las raíces. Sin embargo, estos métodos no garantizan una solución exacta y pueden requerir un gran número de iteraciones para converger.
Para ecuaciones quínticas y de grado superior, no hay una fórmula general para encontrar las raíces en términos de los coeficientes, como hay para ecuaciones cuadráticas, cúbicas y cuárticas. Esto fue demostrado por el matemático Évariste Galois en el siglo XIX, utilizando la teoría de la teoría de grupos. En su lugar, ecuaciones específicas pueden resolverse usando técnicas especializadas o aproximarse usando métodos numéricos.

Ecuaciones racionales ☰

Las ecuaciones racionales son ecuaciones que involucran expresiones racionales, que son razones de dos polinomios. Un polinomio es una expresión que consiste en uno o más términos que involucran variables con exponentes de números enteros y coeficientes que pueden ser números reales o números complejos.
Las ecuaciones racionales suelen escribirse en la forma: \( \frac{P(x)}{Q(x)} =\frac{R(x)}{S(x)} \), donde \(P(x)\), \(Q(x)\), \(R(x)\) y \(S(x)\) son polinomios, y \(Q(x) \neq 0 \) y \(S(x) \neq 0\).
El objetivo principal al resolver ecuaciones racionales es encontrar los valores de la variable \(x\) que hacen que la ecuación sea verdadera. Para resolver una ecuación racional, el primer paso es eliminar denominadores multiplicando ambos lados de la ecuación por un denominador común de las dos expresiones racionales. Esto se puede encontrar multiplicando los denominadores \(Q(x)\) y \(S(x)\) y simplificando la expresión resultante. Después de eliminar los denominadores, la ecuación se convierte en una ecuación polinómica, que se puede resolver usando técnicas algebraicas estándar. Una vez que se encuentran las soluciones para \(x\), es importante verificarlas en la ecuación original para asegurarse de que sean soluciones válidas. Si una solución hace que uno o ambos denominadores sean iguales a cero, no es una solución válida y debe excluirse.

Ejemplo: Resolver la ecuación \(\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-1} = \frac{10}{x^2-1} \).

Paso 1: Encontrar un denominador común. En este caso, el denominador común es \((x+1)(x-1)\), por lo que podemos reescribir la ecuación como:
\( \frac{1}{x+1} \cdot \frac{x-1}{x-1} + \frac{1}{x-1} \cdot \frac{x+1}{x+1} = \frac{10}{(x+1) \cdot (x-1)} \) ;

Simplificando, obtenemos:
\(\frac{x-1}{(x+1)(x-1)} + \frac{x+1}{(x+1)(x-1)} = \frac{10}{(x+1)(x-1)} \) ;

Combinando las fracciones, obtenemos:
\(\frac{2x}{(x+1)(x-1)} = \frac{10}{(x+1)(x-1)} \)

Paso 2: Eliminar los denominadores multiplicando ambos lados de la ecuación por el denominador común: \(2x=10\).

Paso 3: Resolver para \(x\). \(x = 5\).

Paso 4: Verificar soluciones extranjeras. Dado que \(x=5\) hace que el denominador \((x^2-1)\) sea distinto de cero, no hay soluciones extranjeras que verificar.
Por lo tanto, la solución de la ecuación \(\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-1} = \frac{10}{x^2-1} \) es \(x=5\).

Ecuación de valor absoluto ☰

Una ecuación de valor absoluto es un tipo de ecuación que involucra el valor absoluto de una variable. El valor absoluto de un número es la distancia desde cero en la recta numérica, por lo que el valor absoluto de una variable se puede pensar como la distancia desde cero que la variable puede tomar.
La forma general de una ecuación de valor absoluto es: \(|f(x)|=g(x) \), donde \(f(x) \) es alguna expresión que contiene la variable \(x\) y \(g(x)\) es otra expresión que puede o no contener \(x\). El objetivo al resolver una ecuación de valor absoluto es encontrar todos los valores de \(x\) que hacen que la ecuación sea verdadera. El enfoque básico para resolver ecuaciones de valor absoluto es dividir la ecuación en dos casos, uno donde \(f(x)\) es positivo y otro donde \(f(x)\) es negativo. Esto se debe a que el valor absoluto de un número positivo es el número mismo, mientras que el valor absoluto de un número negativo es su opuesto. Por lo tanto, si sabemos si \(f(x)\) es positivo o negativo, podemos determinar el valor de \(|f(x)|\) y resolver la ecuación.

Por ejemplo, considera la ecuación: \(|x-3|=5\).
Comenzamos dividiendo esto en dos casos:

Caso 1: \(x-3\) es positivo.
\(x-3=5\).
\(x=8\).

Caso 2: \(x-3\) es negativo.
\(-(x-3)=5\).
\(-x+3=5\).
\(x=-2\).
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son \(x=8\) y \(x=-2\).

También es posible que una ecuación de valor absoluto no tenga soluciones. Por ejemplo, considera la ecuación: \(|x-3|=-2\).
Dado que el valor absoluto de cualquier número siempre es no negativo, no hay ningún valor de \(x\) que haga que el lado izquierdo de la ecuación sea igual a un número negativo. Por lo tanto, esta ecuación no tiene soluciones.

En resumen, resolver ecuaciones de valor absoluto implica dividir la ecuación en dos casos basados en si la expresión dentro del valor absoluto es positiva o negativa, resolver cada caso por separado y luego combinar las soluciones. Es importante verificar que cualquier solución que encontremos realmente satisfaga la ecuación original, ya que algunas ecuaciones pueden no tener soluciones o tener soluciones espurias que en realidad no funcionan.

Ecuaciones irracionales ☰

Las ecuaciones irracionales son ecuaciones que involucran una o más funciones irracionales o expresiones irracionales. Una función irracional es una función que no puede expresarse como una razón de dos polinomios. Ejemplos comunes de funciones irracionales incluyen la función raíz cuadrada \( f(x) = \sqrt{x} \), la función raíz cúbica \( f(x) = \sqrt[3]{x} \) y la función logarítmica \(f(x)=ln(x) \).
La forma general de una ecuación irracional es: \(f(x)=g(x) \), donde \(f(x)\) y \(g(x)\) son ambas funciones o expresiones irracionales. Resolver tales ecuaciones generalmente implica aislar la expresión irracional en un lado de la ecuación y luego elevar al cuadrado ambos lados, lo que puede eliminar la radical. Sin embargo, este método puede introducir soluciones espurias, que son soluciones que no satisfacen la ecuación original.

Para ilustrar esto, considera el siguiente ejemplo: \( \sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=1 \).
Para resolver esta ecuación, podemos elevar al cuadrado ambos lados:

\((\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})^2 = 1^2\)

\((x+1) - 2\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x-1} + (x-1) = 1 \)

\( 2\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x-1} = 2x-1 \)

\( (\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x-1})^2 = \left(\frac{2x-1}{2}\right)^2 \)

\( (x+1)(x-1) = \left(\frac{2x-1}{2}\right)^2 \)

\( x^2 - 1 = \frac{(2x-1)^2}{4} \)

\( 4x^2 - 4 = 4x^2 - 4x + 1 \)

\( -4x = -5 \)

\( x = \frac{5}{4} \)

Sin embargo, debemos verificar nuestra solución para asegurarnos de que no sea espuria.

Ecuaciones en dos variables. Sistema de ecuaciones. ☰

Las ecuaciones en dos variables son expresiones matemáticas que relacionan dos variables, típicamente denotadas por \(x\) e \(y\), con un signo de igualdad. Estos tipos de ecuaciones se representan en la forma: \(ax+by=c\) , donde \(a\), \(b\), \(c\) son constantes, \(x\) e \(y\) son variables. Los valores de \(x\) e \(y\) que satisfacen la ecuación se llaman soluciones o raíces de la ecuación.
El gráfico de una ecuación en dos variables es una línea recta en el plano de coordenadas cartesianas, donde \(x\) es el eje horizontal e \(y\) es el eje vertical. La forma pendiente-intercepto de la ecuación de una línea es: \(y=mx+b\) , donde \(m\) es la pendiente de la línea y \(b\) es la ordenada al origen, que es el punto donde la línea corta el \(y\)-eje.
Para convertir una ecuación en la forma estándar a la forma pendiente-intercepto, podemos resolver para \(y\):
\( ax+by=c \)
\( by=-ax+c \)
\( y= - \frac{a}{b} \cdot x + \frac{c}{b} \)

Así, la pendiente de la línea es \( m=-\frac{a}{b} \) y la ordenada al origen es \( b= \frac{c}{b} \).
Por otro lado, para convertir una ecuación en la forma pendiente-intercepto a la forma estándar, podemos reorganizar los términos:
\(y=mx+b \)
\( -mx+y=b \)
\( ax+by=c \)
donde \(a=-m\) y \(b=1\) y \(c=b\).

Para resolver un sistema de dos ecuaciones en dos variables, necesitamos encontrar los valores de \(x\) e \(y\) que satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente. Una forma de hacer esto es graficar las dos ecuaciones y encontrar el punto donde las líneas se intersecan. Este punto representa la solución del sistema.
Otro método para resolver un sistema de dos ecuaciones en dos variables es por sustitución. En este método, resolvemos una de las ecuaciones para una de las variables y sustituimos la expresión en la otra ecuación. Esto resultará en una ecuación en una variable, que podemos resolver para encontrar el valor de la variable. Luego podemos sustituir este valor de regreso en una de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable.

Por ejemplo, consideremos el sistema de ecuaciones:
\( \begin{cases} 2x+y=4 \\ x-y=1 \end{cases} \)

Resolviendo la segunda ecuación para \(x\), obtenemos: \(x=y+1\) .
Sustituyendo esta expresión en la primera ecuación, obtenemos: \( 2(y+1)+y=4 \).
Simplificando y resolviendo para \(y\), obtenemos: \(3y=2\) , \(y= \frac{2}{3} \).
Sustituyendo este valor de regreso en la ecuación \(x=y+1\), obtenemos: \(x= \frac{2}{3}+1 \), \(x= \frac{5}{3} \).
Por lo tanto, la solución del sistema es \( ( \frac{5}{3} , \frac{2}{3} ) \).

En resumen, las ecuaciones en dos variables son expresiones matemáticas que relacionan dos variables con un signo de igualdad, y sus gráficos son líneas rectas en el plano de coordenadas cartesianas. Para resolver un sistema de dos ecuaciones en dos variables, podemos usar métodos de graficación o sustitución para encontrar los valores de \(x\) e \(y\) que satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente.

Sistema de ecuaciones.
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con las mismas variables. Las variables en un sistema de ecuaciones representan los mismos valores en cada ecuación. Podemos resolver un sistema de ecuaciones encontrando los valores de las variables que satisfacen todas las ecuaciones en el sistema.
Hay diferentes métodos para resolver un sistema de ecuaciones, como graficación, sustitución y eliminación. El método que elijamos depende de la complejidad del sistema y la preferencia personal.
Una forma de resolver un sistema de ecuaciones es mediante la graficación. La graficación nos permite visualizar las soluciones del sistema como los puntos de intersección de las gráficas de las ecuaciones. Para graficar las ecuaciones, trazamos puntos en el plano cartesiano que satisfacen cada ecuación, luego conectamos los puntos para formar líneas. Los puntos de intersección de las líneas representan las soluciones del sistema.

Por ejemplo, consideremos el sistema de ecuaciones:
Ejemplo: resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones por el método gráfico.
\( \begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = -\frac{1}{3}x + 4 \end{cases} \)

Para graficar estas ecuaciones, podemos elegir varios valores de \(x\) y sustituirlos en cada ecuación para encontrar los valores correspondientes de \(y\). Luego trazamos los puntos resultantes y los conectamos para formar las líneas.

Para la primera ecuación:

Para la segunda ecuación:

Ahora podemos trazar estos puntos y conectarlos para formar las líneas:

Gráfica del sistema de ecuaciones

El punto de intersección de las líneas es la solución del sistema, que es aproximadamente \((1.3, 3.6)\).

Otro método para resolver un sistema de ecuaciones es por sustitución. En este método, resolvemos una de las ecuaciones para una de las variables, luego sustituimos la expresión en la otra ecuación. Esto resulta en una ecuación en una variable, que podemos resolver para encontrar el valor de la variable. Luego podemos sustituir este valor en una de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable.

Sistema de ecuaciones en el que una ecuación es de primer grado y la otra ecuación es de segundo grado ☰

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que se consideran juntas como un grupo. Un sistema de ecuaciones en el que una ecuación es de primer grado (lineal) y la otra ecuación es de segundo grado (cuadrática) es un tipo de sistema de ecuaciones no lineales.
La forma general de una ecuación de primer grado es \(ax+b=0\), donde \(a\) y \(b\) son constantes y \(x\) es la variable.
La forma general de una ecuación de segundo grado es \( ax^2+bx+c=0 \), donde \(a\), \(b\) y \(c\) son constantes y \(x\) es la variable.
Para resolver un sistema de ecuaciones en el que una ecuación es de primer grado y la otra ecuación es de segundo grado, hay varios métodos, incluyendo:

• Método de sustitución: En este método, resolvemos una de las ecuaciones para una de las variables en términos de la otra variable, y luego sustituimos esta expresión en la otra ecuación. Esto resulta en una ecuación cuadrática en una variable, que podemos resolver usando la fórmula cuadrática o factorización. Una vez que hemos encontrado el valor (o valores) de la variable, podemos sustituir de nuevo en una de las ecuaciones originales para encontrar el valor (o valores) de la otra variable.
• Método de eliminación: En este método, eliminamos una de las variables multiplicando una o ambas ecuaciones por una constante, de modo que los coeficientes de una de las variables sean iguales y opuestos en las dos ecuaciones. Esto resulta en una ecuación en una variable, que podemos resolver y luego sustituir de nuevo en una de las ecuaciones originales para encontrar el valor (o valores) de la otra variable.

Por ejemplo, consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

\( \begin{cases} x + 2y = 3 \\ x^2 - 4y^2 = 0 \end{cases} \)

De la segunda ecuación, podemos factorizar un factor común de \( x^2 - 4y^2 \) como \( (x+2y)(x-2y)=0 \).
Esto nos da dos posibilidades: \( x+2y=0 \) o \( x-2y=0 \)
Si resolvemos la primera ecuación para \(x\) como \(x=-2y\), podemos sustituir esto en la segunda ecuación para obtener:
\( (-2y)^2-4y^2=0 \)
\( 4y^2-4y^2=0 \)
Esto se simplifica a \(0=0\), que es verdadero para cualquier valor de \(y\). Por lo tanto, tenemos infinitas soluciones, que pueden expresarse como \( (x,y)=(-2t,t) \), donde \(t\) es cualquier número real.
Si resolvemos la segunda ecuación para \(x\) como \(x=2y\), podemos sustituir esto en la primera ecuación para obtener:
\( 2y+2y=3 \)
\( 4y=3 \)
\( y = \frac{3}{4} \)
Sustituyendo esto en \(x=2y\), obtenemos \( x= \frac{3}{2} \). Por lo tanto, tenemos una solución, que es \( (x,y)=( \frac{3}{2} , \frac{3}{4} ) \).

Método gráfico: En este método, graficamos ambas ecuaciones en el mismo plano de coordenadas y buscamos el(los) punto(s) de intersección, que representan las soluciones del sistema de ecuaciones. Sin embargo, este método puede no ser siempre factible para sistemas de ecuaciones complejos.

En conclusión, un sistema de ecuaciones en el que una ecuación es de primer grado y la otra ecuación es de segundo grado se puede resolver usando varios métodos, incluyendo sustitución, eliminación y métodos gráficos. La elección del método depende del sistema de ecuaciones específico y de las preferencias individuales del solucionador.

Sistema de dos ecuaciones de segundo grado en dos variables ☰

Un sistema de dos ecuaciones de segundo grado en dos variables es un conjunto de dos ecuaciones en dos variables donde cada ecuación es un polinomio de segundo grado. La forma general de dicho sistema es:
\( ax^2+by^2+cx+dy+e=0 \)
\( fx^2+gy^2+hx+iy+j=0 \)
donde \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\), \(g\), \(h\), \(i\), \(j\) son constantes y \(x\), \(y\) son las variables.

Este tipo de sistema es no lineal, lo que significa que las soluciones del sistema no necesariamente forman una línea recta. En su lugar, las soluciones pueden ser curvas o conjuntos de puntos discretos en el plano \(xy\).

Para resolver este sistema, un método posible es usar la sustitución para eliminar una variable y reducir el sistema a una sola ecuación en una variable. Esto implica resolver una de las ecuaciones para \(x\) o \(y\), y luego sustituir esa expresión en la otra ecuación. La ecuación resultante será un polinomio de segundo grado en una variable, que se puede resolver usando técnicas como la factorización o la fórmula cuadrática.

Otro método posible es usar el método de eliminación, que implica sumar o restar las dos ecuaciones para eliminar una de las variables. Esto se puede hacer multiplicando una o ambas ecuaciones por constantes, según sea necesario, para crear coeficientes que se cancelen cuando las ecuaciones se sumen o resten.

Las soluciones del sistema serán los valores de \(x\) y \(y\) que satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente. Dependiendo de las ecuaciones específicas en el sistema, puede haber una o más soluciones, o ninguna solución en absoluto. Graficar las ecuaciones en el plano \(xy\) puede proporcionar una representación visual de las posibles soluciones, y puede ayudar a comprender el comportamiento del sistema.

Un ejemplo de un sistema de dos ecuaciones de segundo grado en dos variables es:
\( \begin{cases} x^2+y^2=25 \\ x^2-y^2=9 \end{cases} \)

Este sistema representa la intersección de un círculo centrado en el origen con radio 5, y una hipérbola con eje vertical y centrada en el origen.

Con este gráfico, podemos decir que el sistema tiene cuatro soluciones.
Sumando las dos ecuaciones, obtenemos:
\( \begin{cases} x^2+y^2=25 \\ +\\ x^2-y^2=9 \end{cases} \)

\(2x^2 = 34\)

\( x^2 = 17 \).

Tomando la raíz cuadrada de ambos lados, obtenemos \( x = \pm \sqrt{17} \). Sustituyendo estos valores de vuelta en una de las ecuaciones originales, podemos resolver para \(y\). Por ejemplo, usando la primera ecuación, tenemos:

\( (\sqrt{17})^2 + y^2 = 25 \)

\( y^2 = 8 \)

\( y = \pm 2 \sqrt{2} \)


Por lo tanto, las soluciones del sistema son:

\( (\sqrt{17}, 2 \sqrt{2}) \),

\( (\sqrt{17}, -2 \sqrt{2}) \),

\( (-\sqrt{17}, 2 \sqrt{2}) \)

\( (-\sqrt{17}, -2 \sqrt{2}) \).