Límite
El límite de una función es un concepto fundamental en cálculo. Informalmente, describe el valor al que una función se aproxima cuando la entrada se acerca a un punto específico. Matemáticamente, el límite de una función \(f(x)\) cuando \(x\) se aproxima a un punto \(a\) se denota como:
\( \underset{x \to a}{\lim} f(x) = L \)
Esto significa que a medida que \(x\) se acerca arbitrariamente a \(a\), los valores de la función \(f(x)\) se acercan arbitrariamente a \(L\).
Definición Épsilon-Delta de un Límite
La definición épsilon-delta es una definición formal y rigurosa de un límite. Establece que para cada \( \epsilon > 0 \), existe un \( \epsilon > 0 \) tal que si \( 0 < |x-a| < \epsilon \), entonces \( |f(x)-L| < \epsilon \). Esta definición captura la idea de que a medida que \(x\) se acerca arbitrariamente a \(a\), los valores de la función \(f(x)\) se acercan
arbitrariamente a \(L\).
Los límites tienen varias propiedades importantes, como:
- El límite de una función constante \(c\) es la constante misma: $$ \underset{x \to a}{\lim} c = c $$
- El límite de una función lineal $$ f(x)=mx+b $$ es $$ \underset{x \to a}{\lim} (mx + b) = ma + b $$
- La ley de la suma/resta: $$ \underset{x \to a}{\lim} [f(x) \pm g(x)] = \underset{x \to a}{\lim} f(x) \pm \underset{x \to a}{\lim} g(x) $$
- La ley del producto: $$ \underset{x \to a}{\lim} [f(x) \cdot g(x)] = \underset{x \to a}{\lim} f(x) \cdot \underset{x \to a}{\lim} g(x) $$
- La ley del cociente: $$\underset{x \to a}{\lim} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\underset{x \to a}{\lim} f(x)}{\underset{x \to a}{\lim} g(x)}, \quad \underset{x \to a}{\lim} g(x) \neq 0 $$
Límites Unilaterales
Los límites unilaterales consideran el comportamiento de la función a medida que la entrada se aproxima a un punto desde un solo lado:
Límite por la izquierda:
\( \underset{x \to a^-}{\lim} f(x) = L_- \)
Límite por la derecha:
\( \underset{x \to a^+}{\lim} f(x) = L_+ \)
Si los límites por la izquierda y por la derecha existen y son iguales, el límite global existe y
\( \underset{x \to a}{\lim} f(x) = L_- = L_+ \).
Límites que Involucran el Infinito
Los límites que involucran el infinito pueden describir el comportamiento de una función a medida que la entrada o la salida se aproximan al infinito. Dos casos comunes son:
1. Cuando \(x\) se aproxima al infinito:
\( \underset{x \to \infty}{\lim} f(x)\)
2. Cuando \(f(x)\) se aproxima al infinito:
\( \underset{x \to a^-}{\lim} f(x) = \infty \)
\( \underset{x \to a}{\lim} f(x) = +\infty \quad \text{y} \quad \underset{x \to a}{\lim} g(x) = -\infty \)
\( \underset{x \to a^+}{\lim} f(x) = +\infty \quad \text{y} \quad \underset{x \to a^+}{\lim} g(x) = -\infty \)
\( \underset{x \to a^-}{\lim} f(x) = +\infty \quad \text{y} \quad \underset{x \to a^-}{\lim} g(x) = -\infty \)
Una línea recta \(x=a\) es una
asíntota vertical
de la función \(f(x)\) si alguna de estas relaciones se cumple.
\( \underset{x \to +\infty}{\lim} f(x) = b \) o \( \underset{x \to -\infty}{\lim} f(x) = b \).
Si estos límites existen, la línea recta \(y=b\) es la
asíntota horizontal
de la función \(f(x)\).
Continuidad
Una función es continua en un punto \(a\) si se cumplen las siguientes tres condiciones:
1. \(f(a) \) está definido,
2. \( \underset{x \to a}{\lim} f(x) \) existe,
3. \( \underset{x \to a}{\lim} f(x) = f(a) \)
Si una función es continua en cada punto de su dominio, se llama función continua. La continuidad tiene varias propiedades e implicaciones importantes, como las siguientes:
- La suma, diferencia, producto y cociente de funciones continuas son continuas, siempre que el denominador no sea cero.
- Las funciones polinómicas y racionales son continuas en sus dominios.
- La composición de funciones continuas es continua.
- El Teorema del Valor Intermedio establece que si una función continua \(f\) toma valores \(f(a)\) y \(f(b)\) para algún intervalo \([a,b] \), entonces toma todos los valores entre \(f(a)\) y \(f(b)\) al menos una vez en el intervalo.
Límite de Funciones Trigonométricas
Las funciones trigonométricas, como el seno, el coseno y la tangente, también tienen límites. Algunos límites trigonométricos importantes incluyen:
\( \underset{x \to 0}{\lim} \frac{\sin x}{x} = 1 \)
\( \underset{x \to 0}{\lim} \frac{1 - \cos x}{x} = 0 \)
\( \underset{x \to 0}{\lim} \frac{\tan x}{x} = 1 \)
Límite de Funciones Exponenciales y Logarítmicas
Las funciones exponenciales y logarítmicas también tienen límites importantes. Algunos límites notables son:
\( \underset{x \to 0}{\lim} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \) , donde \(e\) es la base del logaritmo natural.
\( \underset{x \to 0}{\lim} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 \) , donde \( \ln\) es el logaritmo natural.
Límite de una Secuencia
Una secuencia es una lista ordenada de números, a menudo denotada como \(a_n\). El límite de una secuencia cuando \(n\) tiende a infinito se define como:
\(\underset{n \to \infty }{\lim} a_n=a \)
Si los términos de la secuencia se acercan arbitrariamente a \(L\) a medida que \(n\) aumenta, entonces la secuencia converge a \(L\). De lo contrario, la secuencia diverge.
Serie de Taylor y Serie de Maclaurin
Las series de Taylor y de Maclaurin son representaciones de series infinitas de una función cerca de un punto específico. La serie de Taylor de una función \(f(x)\) alrededor de un punto \(a\) se da por:
\( f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \)
La serie de Maclaurin es un caso especial de la serie de Taylor, con \(a=0\):
\( f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} (x)^n \)
Derivadas e Integrales
Los límites son la base de las derivadas e integrales en cálculo. La derivada de una función \(f(x)\) en un punto \(a\) representa la tasa de cambio instantánea de la función en ese punto y se da por el límite:
\( f'(a) = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{f(h+a) - f(a)}{h} \)
De manera similar, la integral de una función calcula el cambio acumulado o el área bajo la curva, y se define utilizando límites en forma de la integral de Riemann o la integral de Lebesgue, más general.