La raíz n-ésima. Exponentes racionales.

La raíz n-ésima ☰

La raíz n-ésima de un número se puede encontrar usando la siguiente fórmula: \( \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n} \) donde "\(a\)" es el número a raíz, y "\(n\)" es el grado de la raíz.
Por ejemplo, la raíz cuarta de 81 se puede encontrar usando la fórmula anterior:
\( \sqrt[4]{81}=81^\frac{1}{4} \)
Podemos simplificar la expresión anterior usando el hecho de que 81 es igual a 3 elevado a la cuarta potencia:
\( \sqrt[4]{81}=(3^4)^\frac{1}{4}=3^{4\cdot \frac{1}{4}}=3^1=3 \)
Por lo tanto, la raíz cuarta de 81 es 3.

Vale la pena señalar que algunas raíces n-ésimas pueden ser irracionales, lo que significa que no se pueden expresar como una razón de dos enteros. Por ejemplo, la raíz cuadrada de \(2 (\sqrt{2}) \) es un número irracional porque no se puede escribir como una fracción.

Propiedades de las raíces n-ésimas:

• Propiedad del producto: La raíz n-ésima de un producto es igual al producto de las raíces n-ésimas de los factores. Es decir, para cualquier número real no negativo \(a\) y \(b\) y cualquier entero positivo \(n\), \( \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b} \)
  Por ejemplo, \( \sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{9}=2\cdot 3=6 \).
• Propiedad del cociente: La raíz n-ésima de un cociente es igual al cociente de las raíces n-ésimas del numerador y el denominador. Es decir, para cualquier número real no negativo \(a\) y \(b\) donde \(b \neq 0 \) y cualquier entero positivo \(n\), \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \)
  Por ejemplo, \( \sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}=\frac{3}{2} \)
• Propiedad de la potencia: La raíz n-ésima de una potencia es igual a la potencia de la raíz n-ésima. Es decir, para cualquier número real no negativo \(a\) y cualquier enteros positivos \(m\) y \(n\), \( \sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}\)
  Por ejemplo, \( \sqrt[3]{8^2}=8^\frac{2}{3}=4\)
• Propiedad del radicando: Si \(n\) es impar, entonces cada número real no negativo tiene una raíz n-ésima única. Si \(n\) es par, entonces la raíz n-ésima de un número real no negativo está definida solo para radicandos no negativos.
  Por ejemplo, \( \sqrt[3]{-8} = -2 \), pero \( \sqrt{16} = 4 \) y \( \sqrt{-16} \) no está definida entre los números reales.
• Exponenciación: La exponenciación de la raíz n-ésima es una propiedad que nos dice cómo elevar una raíz n-ésima a una potencia. Específicamente, para cualquier entero positivo \(n\), cualquier números reales no negativos \(a\) y \(b\), y cualquier entero \(m\), \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \)
  Esta propiedad significa que podemos simplificar expresiones como \( (\sqrt[3]{2})^2 \) primero elevando la raíz n-ésima a la potencia, y luego tomando la raíz n-ésima del resultado: \( (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{2^2}=\sqrt[3]{4} \)
  
  También podemos usar esta propiedad para simplificar expresiones más complicadas que involucran radicales. Por ejemplo, podemos simplificar la expresión \( \sqrt[3]{2^5 \cdot 3^2} \) de la siguiente manera: \( \small \sqrt[3]{2^5 \cdot 3^2}=\sqrt[3]{2^3 \cdot 2^2 \cdot 3^2}=\sqrt[3]{8\cdot 9\cdot 4}=\sqrt[3]{288} \)
• La raíz de la raíz de la raíz n-ésima: La raíz de la raíz de la raíz n-ésima no es una propiedad o fórmula comúnmente utilizada. Sin embargo, una interpretación de esta frase podría ser la siguiente:
  Para cualquier enteros positivos \(m\) y \(n\) y cualquier número real no negativo \(a\), tenemos: \( \sqrt[m]{ \sqrt[n]{a} }=\sqrt[mn]{a} \)
  Esta propiedad nos dice que tomar la raíz m-ésima de la raíz n-ésima de un número real no negativo \(a\) es equivalente a tomar la raíz mn-ésima de \(a\). Por ejemplo, tenemos: \( \sqrt[2]{ \sqrt[3]{8} }=\sqrt[2\cdot 3]{2^3}=\sqrt{2} \)
  
  Nota que esta propiedad solo es válida cuando \(a\) es no negativo, ya que la raíz n-ésima de un número negativo no está bien definida para valores pares de \(n\). Además, aunque esta propiedad puede ser útil para simplificar ciertas expresiones que involucran radicales, no es tan ampliamente aplicable como algunas de las otras propiedades y fórmulas discutidas anteriormente.

Estas propiedades y fórmulas de la raíz n-ésima son útiles para simplificar y resolver problemas que involucran radicales.

Exponentes racionales ☰

Los exponentes racionales, también conocidos como exponentes fraccionarios, son una forma de representar potencias y raíces de un número de manera más general y flexible que usando solo exponentes enteros. Un exponente racional es un número que se puede expresar como una fracción, donde el numerador representa la potencia a la que se eleva la base y el denominador representa la raíz que se toma.

Por ejemplo, sea \(a\) un número real positivo y \(m\) y \(n\) enteros positivos. Entonces, los siguientes son algunos ejemplos de exponentes racionales:

\( a^\frac{1}{2}=\sqrt{a} \)

\( a^\frac{2}{3}=\sqrt[3]{a^2} \)

\( a^\frac{3}{4}=\sqrt[4]{a^3} \)

\( a^\frac{5}{2}=\sqrt{a^5} \)

En general, podemos definir un exponente racional de la siguiente manera: \( a^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{a^m} \), donde \(a\) es un número real positivo, \(m\) es un entero y \(n\) es un entero positivo.

Propiedades de los exponentes:

• Regla del producto: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
  Esta propiedad nos dice que cuando multiplicamos dos números con la misma base, podemos sumar sus exponentes para obtener el exponente del producto.
  Por ejemplo, \(2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4}=2^7=128 \)
• Regla del cociente: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
  Esta propiedad nos dice que cuando dividimos dos números con la misma base, podemos restar sus exponentes para obtener el exponente del cociente.
  Por ejemplo, \(\frac{5^7}{5^3} = 5^{7-3}=625 \)
• Regla de la potencia: \( (a^m )^n=a^{m\cdot n} \)
  Esta propiedad nos dice que cuando elevamos un número a una potencia y luego elevamos el resultado a otra potencia, podemos multiplicar los exponentes para obtener el exponente del resultado final.
  Por ejemplo, \( (2^3 )^4=2^{3\cdot 4}=2^12=4096 \)
• Regla del exponente negativo: \( a^{-n}=\frac{1}{a^n} \)
  Esta propiedad nos dice que cuando tenemos un exponente negativo, podemos invertir la base y hacer el exponente positivo.
  Por ejemplo, \( 2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8} \)
• Regla del exponente cero: \( a^0=1\)
  Esta propiedad nos dice que cualquier número elevado a la potencia cero es igual a uno.
  Por ejemplo, \( 2^0=1 \)
• Regla del exponente fraccionario: \(a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m} \)
  Esta propiedad nos dice que cuando tenemos un exponente fraccionario, podemos tomar la raíz n-ésima de la base elevada a la potencia del numerador de la fracción.
  Por ejemplo, \(2^\frac{3}{2}=\sqrt[2]{2^3}=\sqrt{8}=2\sqrt{2} \)
• Regla del producto de potencias: \((ab)^n=a^n \cdot b^n \)
  Esta propiedad nos dice que cuando elevamos un producto de dos números a una potencia, podemos distribuir la potencia a cada factor.
  Por ejemplo, \( (2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4=16 \cdot 81=1296 \)
• Regla de la potencia de un cociente: \( (\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n} \)
  Esta propiedad nos dice que cuando elevamos un cociente de dos números a una potencia, podemos distribuir la potencia al numerador y al denominador por separado.
  Por ejemplo, \( (\frac{3}{2})^4=\frac{3^4}{2^4} =\frac{81}{16} \)
• Regla de la base negativa: \( (-a)^n=(-1)^n \cdot a^n \)
  Esta propiedad nos dice que cuando elevamos un número negativo a una potencia par, el resultado es positivo, mientras que si lo elevamos a una potencia impar, el resultado es negativo.
  Por ejemplo, \( (-2)^4=(-1)^4 \cdot 2^4=16 \) , mientras que \( (-2)^3=(-1)^3 \cdot 2^3=-8 \)

Estas propiedades de los exponentes nos permiten simplificar expresiones complejas y realizar operaciones en ellas de manera más fácil. Son importantes no solo en álgebra, sino también en muchos otros campos de las matemáticas y la ciencia.