Poliedro

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Un poliedro es un objeto geométrico sólido tridimensional que se forma al conectar caras poligonales planas a lo largo de sus aristas. Cada cara es un polígono, que es una figura bidimensional con lados rectos. Los vértices donde se encuentran las caras se llaman vértices, y las líneas rectas que conectan estos vértices se llaman aristas.


Los poliedros pueden clasificarse según diversas propiedades:

⠐ Poliedros regulares (sólidos platónicos): Hay cinco sólidos platónicos, en los cuales todas las caras son polígonos regulares congruentes y el mismo número de caras se encuentran en cada vértice. Son:

Tetraedro: 4 caras, cada una un triángulo (3 triángulos equiláteros se encuentran en cada vértice)

Cubo (Hexaedro): 6 caras, cada una un cuadrado (3 cuadrados se encuentran en cada vértice)

Octaedro: 8 caras, cada una un triángulo (4 triángulos equiláteros se encuentran en cada vértice)

Dodecaedro: 12 caras, cada una un pentágono (3 pentágonos regulares se encuentran en cada vértice)

Icosaedro: 20 caras, cada una un triángulo (5 triángulos equiláteros se encuentran en cada vértice)

⠐ Poliedros semirregulares (sólidos de Arquímedes): Estos son poliedros con caras poligonales regulares, pero no todas las caras son iguales. Hay 13 sólidos de Arquímedes, y se forman truncando o expandiendo los sólidos platónicos.

Prismas: Los prismas son poliedros con dos caras poligonales congruentes y paralelas (bases) y un conjunto de caras rectangulares que conectan las aristas correspondientes de las bases.

Pirámides: Las pirámides son poliedros con una base poligonal y caras triangulares que se encuentran en un vértice común (vértice).

Otros poliedros: Hay muchos otros tipos de poliedros que no entran en las categorías anteriores, incluidos poliedros irregulares con formas de cara o configuraciones de vértices no uniformes.

Las propiedades de un poliedro pueden describirse utilizando la fórmula de Euler, que relaciona el número de caras (F), vértices (V) y aristas (E) en un poliedro:
\( V-E+F=2 \)

Esta fórmula es válida para cualquier poliedro convexo, independientemente de su forma específica o disposición de caras.

Prismas ☰

Un prisma es un tipo especial de poliedro, un sólido geométrico tridimensional con caras planas. Los prismas se caracterizan por tener dos caras poligonales congruentes y paralelas llamadas bases, que están conectadas por un conjunto de caras rectangulares. La forma de las bases determina el tipo de prisma.

Aquí tienes algunas propiedades y características clave de los prismas:

Bases: Las bases son polígonos congruentes, lo que significa que tienen la misma forma y tamaño. Son paralelas entre sí y determinan la forma general del prisma. Los prismas comunes incluyen prismas triangulares, rectangulares y pentagonales, según las formas de sus bases.

Caras laterales: Las caras laterales son las caras rectangulares que conectan las aristas correspondientes de las bases. El número de caras laterales es igual al número de lados del polígono base. Las caras laterales siempre son paralelas entre sí.

Aristas: Un prisma tiene dos tipos de aristas: aristas de base y aristas laterales. Las aristas de base son las aristas de los polígonos base, mientras que las aristas laterales conectan los vértices de las bases. El número de aristas en un prisma es el doble del número de lados del polígono base más el número de aristas laterales.

Vértices: Un prisma tiene dos conjuntos de vértices, uno para cada base. El número de vértices en un prisma es el doble del número de vértices en el polígono base.

Prismas rectos y oblicuos: Un prisma recto es un prisma donde las aristas laterales son perpendiculares a los polígonos base, lo que significa que las caras laterales también son perpendiculares a los polígonos base. En un prisma oblicuo, las aristas laterales no son perpendiculares a los polígonos base, lo que hace que las caras laterales estén inclinadas.

Volumen: El volumen de un prisma se calcula multiplicando el área de la base \((A)\) por la altura \((h)\) del prisma (la distancia perpendicular entre las bases). La fórmula para el volumen es: \( \text{Volumen}=A \cdot h \)

Área de la superficie: El área de la superficie de un prisma es la suma de las áreas de sus caras, que incluye las áreas de las bases y las caras laterales. Para encontrar el área de la superficie, calcula el área del polígono base, el área de una cara lateral, y luego multiplica y suma las áreas correspondientemente.

Un prisma cuya base es un paralelogramo se llama paralelepípedo. Las caras opuestas de un paralelepípedo son paralelas y congruentes. Un paralelepípedo recto con una base rectangular se llama paralelepípedo rectangular. El área superficial total de un paralelepípedo rectangular con longitud \(a\), anchura \(b\), altura \(c\)
Se calcula mediante la fórmula \( S = 2 ( ab + ac +bc ) \).

Área de la superficie del prisma ☰

El área de la superficie de un prisma es el área total de todas sus caras, incluyendo las bases y las caras laterales. Para encontrar el área de la superficie, necesitarás calcular el área de cada cara y luego sumar esas áreas. Aquí tienes un enfoque paso a paso para encontrar el área de la superficie de un prisma:

Determina el polígono base: Identifica la forma del polígono base (por ejemplo, triángulo, rectángulo, pentágono). Esta forma se utilizará para calcular el área de las bases.

Calcula el área del polígono base: Utiliza la fórmula apropiada para el área del polígono base. Por ejemplo:
⠐ Triángulo: \( \frac{1}{2} \cdot \text{ base } \cdot \text{ altura } \)
⠐ Rectángulo: \( \text{ longitud } \cdot \text{ anchura } \)
⠐ Polígono regular (n lados, longitud del lado s): \( \frac{n \cdot S^2 }{4 \cdot \tan ( \frac{ \pi }{n} )} \)

Calcula el área de ambas bases: Dado que las bases son congruentes, multiplica el área de una base por 2 para encontrar el área total de ambas bases.

Calcula el área de la superficie lateral: Para hacer esto, necesitarás la altura inclinada \((l)\) de la cara lateral y el perímetro de la base \((P)\). La altura inclinada es la altura del rectángulo que forma la cara lateral. El perímetro de la base es la suma de las longitudes de todas las aristas de la base. Fórmula del área de la cara lateral dada por:
\( \text{Área de la cara lateral}=P \cdot l \).
Nota: Para un prisma recto, la altura inclinada es la misma que la altura (h) del prisma, que es la distancia perpendicular entre las bases.

Suma las áreas: $$ \text{Área de la superficie} = \text{Área total de ambas bases} + \text{Área total de las caras laterales} $$

El volumen de un prisma ☰

El volumen de un prisma es la cantidad de espacio que ocupa en tres dimensiones. Para encontrar el volumen de un prisma, necesitas determinar el área de su base y multiplicarla por la altura del prisma. La altura del prisma es la distancia perpendicular entre las dos bases. Aquí tienes un enfoque paso a paso para encontrar el volumen de un prisma:

Determina el polígono base: Identifica la forma del polígono base (por ejemplo, triángulo, rectángulo, pentágono). Esta forma se utilizará para calcular el área de la base.

Calcula el área del polígono base: Utiliza la fórmula apropiada para el área del polígono base. Por ejemplo:
⠐ Triángulo: \( \frac{1}{2} \cdot \text{ base } \cdot \text{ altura } \)
⠐ Rectángulo: \( \text{ longitud } \cdot \text{ anchura } \)
⠐ Polígono regular (n lados, longitud del lado s): \( \frac{n \cdot S^2 }{4 \cdot \tan ( \frac{ \pi }{n} )} \)

Determina la altura del prisma: La altura \((h)\) del prisma es la distancia perpendicular entre las dos bases. Para un prisma recto, la altura es igual a la longitud de las aristas laterales.

Calcula el volumen: Multiplica el área de la base \((A)\) por la altura \((h)\) del prisma: \( \text{Volumen}=A \cdot h \)

Veamos un ejemplo usando un prisma triangular recto:
Supongamos que tenemos un prisma triangular recto con un triángulo base con lados de longitud 3, 4 y 5 unidades y una altura de 6 unidades.

• La base es un triángulo.
• El triángulo base es un triángulo rectángulo con catetos de longitud 3 y 4. Su área es \( \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \) unidades cuadradas.
• La altura del prisma es de 6 unidades (dada).
• El volumen del prisma es \( 6 \text{(área base)} \cdot 6 \text{(altura)}=36 \) unidades cúbicas.
  El volumen de este prisma triangular recto es de 36 unidades cúbicas.

Pirámide. Área lateral y área superficial total de una pirámide. ☰

Una pirámide es un poliedro tridimensional con una base poligonal y caras triangulares que se encuentran en un punto único llamado ápice. El ejemplo más famoso de una pirámide son las pirámides egipcias, que tienen una base cuadrada y cuatro caras triangulares. Sin embargo, las pirámides pueden tener diferentes bases, como triangular, rectangular o pentagonal, entre otras. Las caras triangulares se llaman caras laterales, y sus aristas se llaman aristas laterales.

Área lateral de una pirámide:
El área lateral de una pirámide es la suma de las áreas de sus caras laterales. Para encontrar el área lateral, puedes usar la siguiente fórmula:
\( \text{Área Lateral} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot L \), donde \(P\) es el perímetro de la base, y \(L\) es la altura oblicua de la pirámide. La altura oblicua es la altura de una cara triangular medida a lo largo de su pendiente desde el ápice hasta el punto medio de una arista de la base.

Área superficial total de una pirámide:
El área superficial total de una pirámide incluye el área de su base y el área lateral. Para encontrar el área superficial total, usa esta fórmula:
\( \text{Área Superficial Total} = \text{Área de la Base} + \) \( \text{Área Lateral} \).

Por lo tanto, dependiendo de la forma de la base, deberás calcular el área de la base de acuerdo. Por ejemplo, si tienes una pirámide cuadrada, el área de la base se puede calcular usando la fórmula:
\( \text{Área de la Base}=a^2 \), donde \(a\) es la longitud de un lado de la base cuadrada.

Para una pirámide triangular, también conocida como tetraedro, el área de la base se puede calcular usando la fórmula de Herón o la mitad de la base por la altura, dependiendo de la información que tengas.

En resumen, para encontrar el área superficial total de una pirámide, calcula el área de la base y el área lateral por separado, y luego suma ambos valores.

Volumen de una pirámide ☰

El volumen de una pirámide es la cantidad de espacio que ocupa en tres dimensiones. Para calcular el volumen de una pirámide, necesitas conocer el área de su base y su altura. La altura de una pirámide es la distancia perpendicular entre el ápice y la base, que es diferente de la altura oblicua.

Aquí está la fórmula para calcular el volumen de una pirámide:
\( \text{Volumen}=\frac{1}{3} \cdot \text{Área de la Base} \cdot \text{Altura} \)

Desglosemos esta fórmula y discutámosla con más detalle:

Área de la base (B): Esta es el área de la base poligonal de la pirámide. Dependiendo de la forma de la base, deberás calcular el área de la base correspondientemente. Por ejemplo, si tienes una pirámide cuadrada, puedes calcular el área de la base usando la fórmula: \(a^2\), donde '\(a\)' es la longitud de un lado de la base cuadrada. Para una pirámide triangular (tetraedro), puedes calcular el área de la base usando la fórmula de Herón o la mitad de la base por la altura, dependiendo de la información que tengas.

Altura (h): La altura de la pirámide es la distancia perpendicular entre el ápice y la base. Es importante no confundir esto con la altura oblicua, que es la altura de una cara triangular medida a lo largo de su pendiente desde el ápice hasta el punto medio de una arista de la base.

\( \frac{1}{3} \): Esta fracción representa la relación entre el volumen de una pirámide y el volumen de un prisma que tiene la misma área de base y altura. En otras palabras, el volumen de una pirámide es un tercio del volumen de un prisma con la misma área de base y altura.

Una vez que hayas calculado el área de la base y determinado la altura, simplemente introduce los valores en la fórmula del volumen y resuelve para obtener el volumen.

Ejemplo:
Supongamos que tienes una pirámide cuadrada con una longitud lateral de la base de 4 unidades y una altura de 6 unidades. Para calcular el volumen:

Calcula el área de la base (B):
\(B=a^2=4^2=16 \) unidades cuadradas

Usa la fórmula: $$ \text{Volumen}=\frac{1}{3} \cdot \text{Área de la Base} \cdot \text{Altura} =\frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 6=32 \text{ unidades cúbicas} $$

Por lo tanto, el volumen de la pirámide cuadrada es de 32 unidades cúbicas.