Definición y Fórmula
El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los dos lados más cortos (los catetos) es igual al cuadrado del lado más largo (la hipotenusa).
Matemáticamente, la fórmula se expresa como:
\(a^2 + b^2 = c^2\)
- \(a\) y \(b\) son las longitudes de los catetos.
- \(c\) es la longitud de la hipotenusa.
El teorema lleva el nombre de Pitágoras, un antiguo matemático griego. Este principio es fundamental en diversas disciplinas, como la ingeniería, la física y la arquitectura.
Aplicaciones del Teorema de Pitágoras
- Calcular distancias entre dos puntos en un plano de coordenadas.
- Determinar alturas de estructuras como edificios o árboles.
- Diseñar estructuras estables con ángulos rectos precisos.
Ejemplos
Ejemplo 1: Encontrar la Hipotenusa
Dado un triángulo rectángulo con catetos \(a = 3\) y \(b = 4\), calcula la hipotenusa:
\(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)
Ejemplo 2: Altura de una Escalera
Una escalera se apoya en una pared. Su base está a 6 pies de la pared, y la escalera mide 8 pies de largo. Encuentra la altura donde la escalera toca la pared:
\(b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{8^2 - 6^2} = \sqrt{28}\)
Ejemplo 3: Diagonal de un Cuadrado
Un cuadrado tiene una diagonal de 10 unidades. Encuentra la longitud de sus lados:
\(a^2 + a^2 = 10^2 \Rightarrow a^2 = 50 \Rightarrow a = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)
Ejemplo 4: Área a Diagonal
Un cuadrado tiene un área de 25 unidades cuadradas. Encuentra la longitud de su diagonal:
\(a^2 = 25 \Rightarrow a = 5\)
\(d^2 = 2a^2 = 2(5^2) = 50 \Rightarrow d = 5\sqrt{2}\)