Raíz Cuadrada. Números Reales.

Raíz cuadrada ☰

Un número cuyo cuadrado es igual a \(a\) se llama la raíz cuadrada de \(a\).

• La raíz cuadrada de un número positivo \(a\) se escribe como \(\sqrt{x}\)
• La raíz cuadrada de un número negativo está indefinida en el sistema de números reales. Se denota como \(\sqrt{-a}\)
• Propiedad multiplicativa: La raíz cuadrada del producto de dos números es igual al producto de sus raíces cuadradas.
  Matemáticamente \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}\).
• La raíz cuadrada de un cociente es igual al cociente de las raíces cuadradas del numerador y el denominador:
  \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
• El único número cuyo cuadrado es igual a cero es "0". Es decir, la raíz cuadrada de cero es cero.
  \(\sqrt{0}=0\)
• La raíz cuadrada de una potencia es igual a la potencia de la raíz cuadrada: \(\sqrt[m]{a^n} = a^{\frac{n}{m}}\)

Números reales ☰

Los números reales son un tipo de número utilizado en matemáticas que incluye todos los números racionales e irracionales. Se representan con el símbolo "\(R\)" y se utilizan para representar cantidades que pueden ser medidas, contadas o calculadas.
Los números racionales son números que pueden expresarse como la razón de dos enteros, como \(\frac{2}{3}\) o \(-\frac{4}{7}\). Los números irracionales, por otro lado, son números que no pueden expresarse como la razón de dos enteros y tienen un número infinito de decimales no periódicos, como pi (\(\pi\)) o la raíz cuadrada de (\(\sqrt{2}\)).
Juntos, los números racionales e irracionales conforman el conjunto de números reales. Los números reales suelen representarse en una recta numérica, que es una línea horizontal con un punto cero en el centro, y números negativos a la izquierda y números positivos a la derecha.
Los números reales se utilizan en varios conceptos matemáticos, como álgebra, cálculo y geometría, y son esenciales en muchas aplicaciones científicas e ingenieriles. También se utilizan en la vida cotidiana, como en las mediciones de distancia, tiempo, temperatura y peso.

Propiedades de los números reales.

• Propiedad de clausura: La suma o el producto de dos números reales siempre es un número real.
• Propiedad conmutativa: El orden de los términos no afecta la suma o el producto de dos números reales. Es decir, \(a+b=b+a\) y \(ab=ba\) para cualquier número real \(a\) y \(b\).
• Propiedad asociativa: El agrupamiento de términos no afecta la suma o el producto de tres o más números reales.
  Es decir, \((a+b)+c=a+(b+c)\) y \((ab)c=a(bc)\) para cualquier número real \(a\), \(b\) y \(c\).
• Propiedad distributiva: La multiplicación se distribuye sobre la adición. Es decir, \(a(b+c)=ab+ac\) y \((a+b)c=ac+bc\) para cualquier número real \(a\), \(b\) y \(c\).
• Elemento identidad: La suma de un número real y 0 es el mismo número real. Es decir, \(a+0=a\) para cualquier número real \(a\). El producto de un número real y 1 es el mismo número real. Es decir, \(a \cdot 1 = a \) para cualquier número real \(a\).
• Elemento inverso: La suma de un número real y su inverso aditivo (opuesto) es 0. Es decir, \(a+(-a)=0\) para cualquier número real \(a\). El producto de un número real distinto de cero y su inverso multiplicativo (recíproco) es 1. Es decir, \(\frac{a\cdot1}{a}=1\) para cualquier número real distinto de cero \(a\).
• Propiedad transitiva: Si \(a < b\) y \(b < c\), entonces \(a < c\) para cualquier número real \(a\), \(b\) y \(c\).
• Propiedad de tricotomía: Para cualquier dos números reales distintos \(a\) y \(b\), exactamente uno de los siguientes se cumple: \(a < b \), \(a=b\) o \(a> b \).
• Propiedad arquimediana: Para cualquier dos números reales positivos \(a\) y \(b\), existe un número natural \(n\) tal que \( na > b \).

Números Racionales ☰

En matemáticas, un número racional es un número que puede expresarse como la razón de dos enteros, donde el denominador no es igual a cero. En otras palabras, un número racional es una fracción donde el numerador y el denominador son ambos enteros.
Por ejemplo: \(\frac{2}{3}\), \(\frac{5}{8}\) y \(-\frac{7}{11}\) son todos números racionales. Sin embargo, números como \(\sqrt{2}\) o \(\pi\) (pi) no son racionales, porque no pueden expresarse como una razón de dos enteros.
Los números racionales tienen algunas propiedades importantes, incluida la cerradura bajo la adición, sustracción, multiplicación y división. Esto significa que si sumas, restas, multiplicas o divides dos números racionales, el resultado también será un número racional.
Los números racionales también tienen una expansión decimal, que puede ser finita o repetitiva. Por ejemplo, \(\frac{2}{5}\) se puede escribir como un decimal \(0.4\), y \(\frac{1}{3}\) se puede escribir como un decimal repetitivo \(0.333…\) La expansión decimal de un número racional se puede obtener dividiendo el numerador por el denominador.
Además, el conjunto de números racionales es denso en la recta real, lo que significa que entre cualquier par de números racionales distintos, existe otro número racional. Esta propiedad es útil para aproximar números reales con números racionales.

Números Irracionales ☰

En matemáticas, un número irracional es un número real que no puede expresarse como una razón de dos enteros, o como un decimal periódico o terminante. Los números irracionales son números decimales infinitos no periódicos que no pueden expresarse exactamente como una fracción.
Por ejemplo, pi \( ( \pi ) \), la raíz cuadrada de 2 \( ( \sqrt{2} ) \) y \(e\) (la base del logaritmo natural) son ejemplos de números irracionales. A diferencia de los números racionales, que tienen una representación decimal finita o periódica, los números irracionales tienen una expansión decimal infinita y no periódica.
La representación decimal de un número irracional se puede calcular con la precisión deseada, pero nunca terminará ni se repetirá. Por ejemplo, el valor de pi se puede aproximar a cualquier cantidad deseada de decimales, pero nunca se expresará exactamente como una razón de dos enteros.
Los números irracionales tienen algunas propiedades importantes. Están cerrados bajo la suma, resta y multiplicación, lo que significa que si sumas, restas o multiplicas dos números irracionales, el resultado también será irracional. Sin embargo, cuando un número irracional se suma a un número racional, el resultado siempre es un número irracional.
El conjunto de números irracionales, junto con el conjunto de números racionales, forma el conjunto de números reales. Los números reales se utilizan ampliamente en cálculo, análisis y otras ramas de las matemáticas.

Enteros ☰

En matemáticas, los enteros son un conjunto de números enteros que incluye el cero, los números enteros positivos \( (1,2,3,...) \) y los números enteros negativos \( (-1,-2,-3,...) \). Los enteros se representan con el símbolo "\(Z\)" y se representan en la recta numérica como puntos equidistantes en ambas direcciones, positiva y negativa.

Números naturales ☰

En matemáticas, los números naturales son el conjunto de enteros positivos \( (1,2,3,...) \) que se utilizan para contar o etiquetar objetos. Los números naturales se representan con el símbolo "\(N\)" y son un subconjunto del conjunto de los enteros.

Función cuadrática ☰

La función \(y=x^2\) es una función polinómica de segundo grado que asigna cada número real \(x\) a su cuadrado, o el producto de \(x\) consigo mismo. En otras palabras, el valor de \(y\) es igual al cuadrado del valor de entrada \(x\).
El gráfico de esta función es una parábola que se abre hacia arriba, y es simétrica respecto al eje \(y\). El vértice de la parábola está en el origen \( (0,0) \), y a medida que \(x\) aumenta o disminuye desde cero, el valor de \(y\) también aumenta.

Aquí hay algunas propiedades de la función \(y=x^2\):

• Dominio: El dominio de la función son todos los números reales, ya que cualquier número real puede ser elevado al cuadrado.
• Rango: El rango de la función son todos los números reales no negativos, ya que el cuadrado de cualquier número real es no negativo.
• Ceros: La función tiene solo un cero en \(x=0\), ya que el cuadrado de cualquier número distinto de cero es positivo.
• Simetría: La función es simétrica respecto al eje \(y\), lo que significa que reemplazar \(x\) por \(-x\) en la ecuación \( y=x^2 \) no cambia el valor de \(y\).
• Concavidad: La función es cóncava hacia arriba, lo que significa que la tasa de cambio de la función aumenta a medida que \(x\) se aleja de \(0\) en cualquier dirección.
• Segunda derivada: La segunda derivada de la función es una constante igual a 2, que es positiva, lo que indica que la función es cóncava hacia arriba y tiene un mínimo en el vértice.
• Forma del vértice: \( y=(x-h)^2 + k \). Esta es una forma alternativa para \( y=x^2 \) que puede ser útil al graficar la función o encontrar características clave. En esta forma, las coordenadas del vértice son \( (h,k) \). Para la función \( y=x^2 \), el vértice está en \( (0,0) \), por lo que la forma del vértice sería \( y=(x–0)^2 +0 \), que se simplifica a \(y=x^2 \).
• Forma factorizada: \( y=(x-a)(x+a) \). Esta es una forma de factorizar la función \( y=x^2 \) en dos binomios. En esta forma, las intersecciones \(x\) de la parábola están ubicadas en \( (a,0) \) y \( (-a,0) \). Para la función \( y=x^2 \), la forma factorizada sería \( y=(x-0)(x+0) \), que se simplifica a \( y=x^2 \).

La función \(y = \sqrt{x} \)

La función \(y = \sqrt{x}\) es la función raíz cuadrada, que asigna los números reales no negativos a sus raíces cuadradas. En otras palabras, para cualquier valor no negativo de \(x\), la raíz cuadrada de \(x\) (que siempre es positiva) es el valor de \(y\).

Aquí hay algunas características clave de la función raíz cuadrada:

• Dominio: El dominio de la función raíz cuadrada es el conjunto de números reales no negativos, o \( [0, +\infty) \). Esto se debe a que la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real.
• Rango: El rango de la función raíz cuadrada también son los números reales no negativos, o \( [0, +\infty) \). Esto se debe a que la raíz cuadrada de un número no negativo siempre es un número no negativo.
• Gráfica: La gráfica de la función raíz cuadrada es una curva que comienza en el punto \( (0,0) \) y aumenta gradualmente a medida que \(x\) aumenta. La curva se acerca al eje \(x\) pero nunca lo toca, ya que la raíz cuadrada de 0 es 0, pero la función no está definida para valores negativos de \(x\).
• Crece: La función raíz cuadrada es una función creciente, lo que significa que a medida que \(x\) aumenta, también lo hace \(y\).
  Algunos ejemplos de pares de entrada-salida para la función raíz cuadrada son:
  
  • \(x=0, y=\sqrt{0}=0\)
  • \(x=1, y=\sqrt{1}=1\)
  • \(x=4, y=\sqrt{4}=2\)
  • \(x=9, y=\sqrt{9}=3\)

Exponentes.

Los exponentes son una notación abreviada para escribir la multiplicación repetida de un número o expresión consigo misma. Un exponente es un número o símbolo pequeño que se escribe encima y a la derecha de un número o expresión base. El exponente indica cuántas veces se multiplica la base consigo misma.
El formato básico para escribir un exponente es: \( a^n \)
Número base o expresión elevada a la potencia de un exponente.
Por ejemplo, 2 elevado a la potencia de 3 (escrito como \( 2^3 \) significa 2 multiplicado por sí mismo tres veces:
\(2^3=2\cdot 2\cdot 2=8.\)

Aquí hay algunos conceptos clave y reglas asociadas con los exponentes: \(a \neq 0, b \neq 0 \).

• Regla del producto: Al multiplicar dos potencias con la misma base, suma sus exponentes: \(a^m \cdot a^n=a^{m+n}\)
• Regla del cociente: Al dividir dos potencias con la misma base, resta sus exponentes: \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)
• Regla de la potencia: Cuando se eleva una potencia a otra potencia, se multiplican sus exponentes: \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\)
• Regla del exponente negativo: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)
• Regla del exponente cero: \(a^0=1\)
• Regla del producto de potencias: Para encontrar la potencia de un producto, eleve cada factor a la potencia y multiplique:
  \( (ab)^n= a^n \cdot b^n \)
• Regla del cociente de potencias: Para encontrar la potencia de un cociente, eleve el numerador y el denominador a la potencia y divida:
  \( ( \frac{a}{b} )^n = \frac{a^n}{b^n} \)

Funciones exponenciales:

Una función exponencial es una función de la forma \( f(x) = a^x \), donde \(a\) es una constante positiva llamada la base de la función. El valor de \(a\) determina la forma de la gráfica de la función. Las funciones exponenciales crecen o decaen a una tasa constante, que está determinada por el valor de \(a\).

Notación científica:

La notación científica es una forma de escribir números muy grandes o muy pequeños usando exponentes. En notación científica, un número se escribe como un número decimal entre \(1\) y \(10\), multiplicado por una potencia de \(10\). Por ejemplo, el número \( 3,000,000 \) se puede escribir como \( 3 \cdot 10^6 \), y el número \( 0.00005 \) se puede escribir como \( 5 \cdot 10^{-5} \).
Los exponentes son un concepto fundamental en matemáticas y tienen muchas aplicaciones prácticas en campos como la ciencia, la ingeniería, las finanzas y la informática.