Razones trigonométricas. Método de coordenadas. Transformación de figuras.

Triángulo rectángulo y razones trigonométricas ☰

Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo interior de 90 grados, que también se conoce como el "ángulo recto". El lado opuesto al ángulo recto se llama la hipotenusa, mientras que los otros dos lados se llaman los catetos.
Las razones trigonométricas son funciones matemáticas que relacionan los ángulos y lados de un triángulo rectángulo. Hay seis razones trigonométricas, que comúnmente se abrevian como "sen", "cos", "tan", "csc", "sec" y "cot". Cada razón representa la relación entre dos lados del triángulo, y la relación depende del ángulo que se esté considerando.

Las tres razones trigonométricas primarias son seno, coseno y tangente. Así es como se define cada una:

• Seno: El seno de un ángulo es la razón entre la longitud del lado opuesto al ángulo y la longitud de la hipotenusa.
  En otras palabras, \(sin(\theta)=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}\).
• Coseno: El coseno de un ángulo es la razón entre la longitud del lado adyacente y la longitud de la hipotenusa.
  En otras palabras, \(cos(\theta)=\frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}\).
• Tangente: La tangente de un ángulo es la razón entre la longitud del lado opuesto al ángulo y la longitud del lado adyacente.
  En otras palabras, \(tan(\theta)=\frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}\).

Las otras tres razones trigonométricas son funciones recíprocas de las razones trigonométricas primarias. El recíproco del seno es cosecante (csc), el recíproco del coseno es secante (sec) y el recíproco de la tangente es cotangente (cot).

• Cosecante: \(csc(\theta)=\frac{\text{hipotenusa}}{\text{opuesto}}\).
• Secante: \(sec(\theta)=\frac{\text{hipotenusa}}{\text{adyacente}}\).
• Cotangente: \(cot(\theta)=\frac{\text{adyacente}}{\text{opuesto}}\).

Las razones trigonométricas se utilizan en muchos campos diferentes, incluyendo física, ingeniería y matemáticas. Son particularmente útiles para resolver problemas que involucran triángulos rectángulos, como encontrar ángulos o lados faltantes.

Identidades trigonométricas ☰

Las identidades trigonométricas son ecuaciones que involucran funciones trigonométricas y que son verdaderas para todos los valores de las variables en la ecuación. Estas identidades se pueden utilizar para simplificar expresiones, demostrar otros resultados matemáticos y resolver diversos problemas en matemáticas, ciencias e ingeniería.
Hay muchas identidades trigonométricas, y se pueden clasificar en varias categorías diferentes según su forma y las funciones involucradas. Algunas de las identidades trigonométricas más comúnmente utilizadas incluyen:

• Identidades pitagóricas: Estas identidades involucran el teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Las identidades pitagóricas son: $$ \sin^2 ( \theta )+\cos^2 ( \theta )=1 $$ $$ \tan^2 ( \theta )+1=\sec^2 ( \theta ) $$ $$ \cot^2 ( \theta )+1=\csc^2 ( \theta ) $$
• Identidades recíprocas: Estas identidades involucran las funciones recíprocas de las funciones trigonométricas primarias (seno, coseno y tangente). Las identidades recíprocas son: $$\csc( \theta )= \frac{1}{\sin( \theta )} $$ $$ \sec( \theta )=\frac{1}{\cos( \theta )} $$ $$ \cot( \theta )=\frac{1}{\tan( \theta )} $$
• Identidades de cociente: Estas identidades involucran el cociente de dos funciones trigonométricas. Las identidades de cociente son: $$ \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} $$ y $$ \cot(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} $$
• Identidades de paridad: Estas identidades involucran las propiedades de simetría de las funciones trigonométricas. Las identidades de paridad son: $$ \sin(-\theta) = -\sin(\theta) $$ $$ \cos(-\theta) = \cos(\theta) $$ $$ \tan(-\theta) = -\tan(\theta) $$
• Identidades de suma y diferencia de ángulos: Estas identidades involucran la suma o diferencia de dos ángulos. Las identidades de suma y diferencia de ángulos son: $$ \sin(a \pm b) = \sin(a) \cos(b) \pm \cos(a) \sin(b) $$ $$ \cos(a \pm b) = \cos(a) \cos(b) \mp \sin(a) \sin(b) $$ $$\tan(a \pm b) = \frac{\tan(a) \pm \tan(b)}{1 \mp \tan(a) \tan(b)} $$

Las identidades trigonométricas se utilizan en una variedad de aplicaciones, incluyendo física, ingeniería y matemáticas. Son particularmente útiles para simplificar expresiones, evaluar integrales y resolver ecuaciones que involucran funciones trigonométricas. Al memorizar estas identidades y entender cómo aplicarlas, uno puede volverse competente en trabajar con funciones trigonométricas y resolver una amplia gama de problemas.

Coordenadas del punto medio de un segmento ☰

Las coordenadas del punto medio de un segmento de recta en un plano de coordenadas se pueden encontrar usando la fórmula del punto medio. Si los dos extremos del segmento de recta tienen coordenadas \( (x_1,y_1 ) \) y \( (x_2,y_2 ) \), entonces las coordenadas del punto medio son:

\(\left(\frac{{x_1 + x_2}}{2}, \frac{{y_1 + y_2}}{2}\right) \).

Esta fórmula funciona porque el punto medio de un segmento de recta es el punto que está exactamente a la mitad entre los dos extremos. Para encontrar el punto medio, sumamos las coordenadas \(x\) de los extremos y dividimos por 2 para obtener la coordenada \(x\) del punto medio. De manera similar, sumamos las coordenadas \(y\) de los extremos y dividimos por 2 para obtener la coordenada \(y\) del punto medio.

Por ejemplo, si los extremos de un segmento de recta son \( (3,2) \) y \( (9,8) \), las coordenadas del punto medio son:

\(\left(\frac{3 + 9}{2}, \frac{2 + 8}{2}\right) = (6, 5) \).
Esto significa que el punto medio del segmento de recta es el punto \( (6,5) \).

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos ☰

La ecuación de una recta que pasa por dos puntos \( (x_1,y_1 ) \) y \( (x_2,y_2 ) \) se puede encontrar utilizando la fórmula de la pendiente-punto:
\( y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \cdot (x-x_1 ) \), donde \(m\) es la pendiente de la recta, y \((x,y)\) es cualquier punto en la recta.
Para usar la fórmula de la pendiente-punto, primero encontramos la pendiente de la recta usando la fórmula de la pendiente: \( m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \).
Una vez que tenemos la pendiente, podemos sustituir las coordenadas de uno de los puntos, digamos \( (x_1,y_1 ) \), y simplificar la ecuación para obtener la forma final: \( y-y_1=m(x-x_1 ) \).
Esta forma se conoce como la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta. Alternativamente, podemos simplificar esta ecuación aún más expandiéndola y reorganizándola en la forma pendiente-intercepto: \(y=mx-mx_1+y_1\)
Esta forma es a menudo preferida porque facilita ver la intersección en \(y\) de la recta, que es el valor de \(y\) cuando \(x=0\).

Por ejemplo, si tenemos dos puntos \((2,4)\) y \((5,8)\), podemos encontrar la ecuación de la recta que pasa por estos puntos de la siguiente manera:
Primero, encontramos la pendiente de la recta: \( m = \frac{8-4}{5-2} = \frac{4}{3} \)
Luego, podemos usar cualquiera de las dos formas de la fórmula de la pendiente-punto para encontrar la ecuación de la recta. Usemos la primera forma: \( y-4 = \frac{4}{3} (x-2) \)
Expandiendo y simplificando, obtenemos:
\( y = \frac{4}{3} x - \frac{8}{3} + 4 = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \)
Esta es la forma pendiente-intercepto de la ecuación de la recta que pasa por los puntos \((2,4)\) y \((5,8)\).

La fórmula de la pendiente-punto se puede expresar como:
\( y-y_1 = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1 ) \)
Y la forma pendiente-intercepto se puede expresar como: \(y=mx+b\) donde \(m\) es la pendiente y \(b\) es la intersección en \(y\).

Transformación de figuras, rotación. ☰

Transformar figuras implica mover una figura dada a una nueva posición sin cambiar su forma. Hay cuatro tipos principales de transformaciones de figuras:

• Traslación: Una traslación implica mover una figura de una posición a otra, sin cambiar su tamaño o forma. Esta transformación también se conoce como deslizamiento o desplazamiento. En la traslación, cada punto de la figura se mueve la misma distancia y en la misma dirección.
• Rotación: Una rotación implica girar una figura alrededor de un punto fijo por un cierto ángulo. En esta transformación, la forma y el tamaño de la figura permanecen iguales. Una rotación puede ser en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario.
• Reflexión: Una reflexión implica voltear una figura a través de una línea llamada línea de reflexión o línea de espejo. Cada punto de la figura se refleja a través de la línea, creando una imagen especular de la figura original.
• Dilatación: Una dilatación implica cambiar el tamaño de una figura estirándola o encogiéndola. En esta transformación, la forma de la figura permanece igual, pero su tamaño se aumenta o disminuye.

Las transformaciones de figuras se pueden realizar en el plano de coordenadas utilizando ecuaciones algebraicas. Por ejemplo, una traslación de una figura se puede realizar sumando o restando una cantidad fija de las coordenadas \(x\) y \(y\) de cada punto de la figura. Una rotación se puede realizar utilizando las fórmulas de rotación para encontrar las nuevas coordenadas de cada punto después de la rotación. Una reflexión se puede realizar utilizando las fórmulas de reflexión para encontrar las nuevas coordenadas de cada punto después de la reflexión. Una dilatación se puede realizar multiplicando las coordenadas \(x\) y \(y\) de cada punto por un factor de escala.
Las transformaciones de figuras se utilizan en muchas áreas de las matemáticas y la ciencia, como gráficos por computadora, ingeniería y física. También se utilizan en el arte y el diseño para crear patrones y diseños interesantes y estéticamente agradables.

La rotación es una de las transformaciones básicas que se pueden aplicar a figuras 2D. Una rotación es una transformación en la que una figura se gira alrededor de un punto fijo llamado centro de rotación. La figura se rota por un cierto ángulo \( \theta \) en sentido horario o antihorario.
La rotación de una figura se realiza girando cada punto de la figura por el mismo ángulo \( \theta \) alrededor del centro de rotación. La distancia entre el centro de rotación y cada punto de la figura permanece constante después de la rotación. La figura resultante se llama imagen de la figura original.
Para realizar una rotación de una figura, necesitamos conocer el centro de rotación y el ángulo de rotación. El centro de rotación puede ser cualquier punto en el plano. El ángulo de rotación se mide en grados o radianes y puede ser positivo (en sentido antihorario) o negativo (en sentido horario).

Si una figura se rota por un ángulo \( \theta \) alrededor del origen \((0,0) \), podemos usar las siguientes fórmulas para encontrar las coordenadas del punto rotado \((x',y' ) \) dados las coordenadas del punto original \((x,y)\):
\( x' = x\cos(\theta) - y\sin(\theta) \)
\( y' = x\sin(\theta) + y\cos(\theta) \)

Si una figura se rota por un ángulo \( \theta \) alrededor de un punto \((h,k)\), podemos usar las siguientes fórmulas para encontrar las coordenadas del punto rotado \((x',y' ) \) dados las coordenadas del punto original \((x,y)\):
\( x' = (x - h)\cos(\theta) - (y - k)\sin(\theta) + h \)
\( y' = (x - h)\sin(\theta) + (y - k)\cos(\theta) + k \)
Estas fórmulas se pueden usar para rotar cualquier punto en el plano alrededor de cualquier centro de rotación.

Para visualizar una rotación, considera el siguiente ejemplo:
Supongamos que queremos rotar el punto \((2,3)\) por un ángulo de \(90^\circ \) en sentido antihorario alrededor del origen \( (0,0) \). Usando las fórmulas de rotación, obtenemos:
\( x^{\prime} = 2\cos 90^\circ - 3\sin 90^\circ = -3 \)
\( y^{\prime} = 2\sin 90^\circ + 3\cos 90^\circ = 2\)
Por lo tanto, el punto rotado es \( (-3,2) \). Podemos verificar esto trazando el punto \( (2,3) \) y el punto \( (-3,2) \) en un plano de coordenadas y verificando visualmente que el punto rotado se obtiene al rotar el punto original por \( 90^\circ \) en sentido antihorario alrededor del origen.

Las fórmulas de rotación se pueden expresar como:
\( x' = x\cos(\theta) - y\sin(\theta) \)
\( y' = x\sin(\theta) + y\cos(\theta) \)
\( x' = (x - h)\cos(\theta) - (y - k)\sin(\theta) + h \)
\( y' = (x - h)\sin(\theta) + (y - k)\cos(\theta) + k \)

Transformación de semejanza. Homotecia. ☰

La transformación de semejanza y la homotecia son dos conceptos matemáticos utilizados para describir transformaciones geométricas en el plano. Ambas transformaciones preservan la forma de los objetos, pero difieren en cómo cambian su tamaño y orientación.

Transformación de semejanza:
Una transformación de semejanza es una transformación que preserva la forma de un objeto mientras cambia su tamaño y orientación. Esto significa que si dos objetos son similares, entonces uno se puede transformar en el otro a través de una transformación de semejanza. Una transformación de semejanza consiste en una combinación de una dilatación (escalamiento) y una rotación.
Más específicamente, una transformación de semejanza de un punto en el plano consiste en multiplicar sus coordenadas por un factor de escala \(k\) y rotarlo por un ángulo \( \theta \). La transformación se puede escribir como:
\( (x',y' )= k(R( \theta )(x,y)) \) donde \((x,y) \) son las coordenadas del punto original, \((x',y') \) son las coordenadas del punto transformado, \(k\) es el factor de escala, y \( R( \theta ) \) es la matriz de rotación con ángulo \( \theta \).

• Preservan los ángulos entre líneas.
• Preservan la razón de distancias entre cualquier par de puntos en el objeto.
• No cambian la orientación (en sentido horario o antihorario) del objeto.

Una homotecia es un tipo de transformación de semejanza que solo implica una dilatación (escalamiento) de un objeto. En otras palabras, una homotecia es una transformación que preserva la forma de un objeto mientras cambia su tamaño. Una homotecia se puede describir por un único parámetro, el factor de escala \(k\).
Matemáticamente, una homotecia de un punto en el plano consiste en multiplicar sus coordenadas por un factor de escala \(k\). La transformación se puede escribir como: \( (x',y' )= k(x,y) \), donde \((x,y)\) son las coordenadas del punto original, y \( (x',y') \) son las coordenadas del punto transformado.

• Preservan la forma de un objeto.
• Cambian el tamaño del objeto, pero no su orientación.
• Preservan la razón de distancias entre cualquier par de puntos en el objeto.

En resumen, las transformaciones de semejanza y las homotecias son ambos conceptos importantes en geometría que describen cómo se pueden transformar objetos mientras se preserva su forma. Las transformaciones de semejanza involucran una combinación de escalamiento y rotación, mientras que las homotecias solo involucran escalamiento.