1. Évaluer une Limite
Évaluer la limite lorsque \( x \) tend vers l'infini de:
\( \frac{x^3 - 3x^2 + 2x - 1}{x^3 + 2x^2 - x + 1} \)
2. Somme d'une Série Infinie
Trouver la somme de la série:
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^4 + 4} \)
3. Théorème des Racines Rationnelles
Montrer qu'il n'y a pas de racine rationnelle pour l'équation:
\( x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1 = 0 \)
4. Équation Différentielle
Déterminer la solution générale de l'équation différentielle:
\( y' - 2y = e^{2x} \)
5. Aire Entre les Courbes
Déterminer l'aire délimitée par les courbes:
\( y = x^2 \) et \( y = x^3 - x \)
6. Résoudre une Équation Trigonométrique
Résoudre l'équation:
\( \sin x + \cos x = 1 \), \( 0 \le x \le 2\pi \)
7. Somme des Cubes
Montrer que:
\( \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^2 \)
pour tous les nombres naturels \( n \).
8. Tangente à une Courbe
Trouver l'équation de la tangente à la courbe \( y = e^{3x} \ln x \) au point \( (1,0) \).
9. Rayon de Convergence
Déterminer le rayon de convergence de la série entière:
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n} \)
10. Démontrer le Théorème Binomial
Montrer que:
\( (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} b^k a^{n-k} \)
11. Volume de Révolution
Déterminer le volume du solide généré par la révolution de la région délimitée par les courbes \( y = x^2 \) et \( y = x \) autour de l'axe \( x \).
12. Limite d'une Suite
Montrer que \( \underset{n \to \infty}{\lim} \frac{n!}{n^n} = 0 \).
13. Équation Diophantienne
Trouver la plus petite solution positive de l'équation diophantienne:
\( 7x + 11y = 2023 \).
14. Inégalité dans un Triangle
Montrer que pour tout triangle avec des côtés \( a \), \( b \), et \( c \), l'inégalité suivante est vérifiée:
\( \frac{a^3 + b^3 + c^3}{3} \geq abc \).
15. Évaluer une Intégrale Définie
Déterminer la valeur de l'intégrale:
\( \int_0^\infty \frac{x^3}{{(x^2+1)^2}} \, dx \).
16. Extrema d'une Fonction
Trouver les valeurs maximales et minimales de la fonction \( f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 5x^2 \) sur l'intervalle \( [0, 2] \).
17. Démontrer l'Irrationalité
Montrer que \( \sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{49} \) est irrationnel.
18. Relation de Recurrence
Trouver la solution générale de la relation de recurrence \( a_n = 5a_{n-1} - 6a_{n-2} \), donné \( a_0 = 1 \) et \( a_1 = 3 \).
19. Évaluer une Intégrale Double
Évaluer l'intégrale double:
\( \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} \frac{1}{{(x^2+y^2)^2}} \, dy \, dx \).
20. Somme des Angles dans un Polygone
Montrer que la somme des angles dans un polygone à \( n \) côtés est égale à \( 180^\circ (n-2) \).
21. Somme d'une Série Géométrique Infinie
Trouver la somme de la série géométrique infinie:
\( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} + \ldots \).
22. Propriétés d'un Nombre Premier
Montrer que pour tout nombre premier \( p \), le nombre \( \frac{p-1}{2} \) est impair si et seulement si \( p \equiv 3 \pmod{4} \).
23. Longueur d'un Arc de Courbe
Déterminer la longueur de l'arc de la courbe \( y = \frac{1}{3} x^3 - x \) de \( x = 0 \) à \( x = 2 \).
24. Arrangements Distincts
Déterminer le nombre de façons distinctes d'arranger les lettres du mot "MATHEMATICS" de manière à ce que deux lettres "M" ne soient pas adjacentes.
25. Formule de la Somme des Cubes
Montrer que pour tous les entiers naturels \( n \), ce qui suit est vrai:
\( 1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = (1 + 2 + \ldots + n)^2 \).
26. Aire dans le Plan Complexe
Trouver l'aire d'un triangle avec des sommets aux nombres complexes \( z_1 = 1 + 2i \),\( z_2 = 2 + i \), et \( z_3 = 1 + i \) dans le plan complexe.
27. Racines d'un Polynôme
Montrer que les racines du polynôme \( P(x) = x^n - a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} - \ldots + (-1)^n a_n \) sont toutes réelles si et seulement si \( a_i \geq 0 \) pour tout \( 1 \leq i \leq n \).
28. Intégrale Impropre
Évaluer l'intégrale impropre:
\( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{{1 + x^2}} \, dx \).
29. Nombres Complexes
Si \(z\) est un nombre complexe tel que \(z^4 = 1\), montrez que \(z^2 - z + 1 = 0\) si et seulement si \( z \neq 1 \).
30. Infinité de Nombres Premiers
Montrez qu'il existe une infinité de nombres premiers sous la forme \(4k + 3\), où \(k\) est un entier.