1. Évaluez la limite lorsque \(x\) tend vers l'infini de
\( \frac{x^3-3x^2+2x-1}{x^3+2x^2-x+1} \)
2. Trouvez la somme de la série: \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^4 + 4} \)
3.
Prouvez
qu'il n'y a pas de racine rationnelle pour l'équation:
\( x^5 –x^4 +x^3 –x^2 +x–1 = 0 \)
4.
Déterminez la solution générale de l'équation différentielle:
\( y'-2y = e^{2x} \)
5.
Déterminez l'aire encadrée par les courbes:
\( y=x^2 \) et \( y=x^3–x \)
6. Résolvez
l'équation:
\( \sin x + \cos x = 1 \), \( 0 \le x \le 2 \pi \)
7. Prouvez que \(
\sum_{k=1}^{n}
k^3 = \left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^2 \) pour tous les nombres naturels \(n\).
8. Trouvez
l'équation de
la tangente à la courbe \( y = e^{3x} \ln x \) au point \((1,0)\).
9. Déterminez le
rayon de convergence pour la série de puissance:
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n} \)
10. Prouvez le théorème du binôme:
\( (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} b^k a^{n-k} \)
11. Déterminez le volume du solide généré en faisant tourner la région délimitée par les courbes
\(y=x^2\)
et \(y = x\) autour de l'axe \(x\).
12. Prouvez que \( \underset{n \to \infty}{\lim}
\frac{n!}{n^n} = 0 \)
13. Trouvez la plus petite solution entière positive de l'équation
diophantienne:
\( 7x+11y=2023 \)
14. Prouvez que pour tout triangle avec des côtés de longueurs a, b, c,
l'inégalité suivante est vraie:
\( \frac{a^3 +b^3 +c^3}{3} \ge abc \)
15. Déterminez la valeur de l'intégrale:
\( \int_0^\infty \frac{x^3}{{(x^2+1)^2}} \, dx \)
16. Trouvez les valeurs maximale et minimale de la fonction \( f(x)=3x^4–8x^3+5x^2 \) sur l'intervalle
\( [0,2] \).
17. Montrez que \( \sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{49} \) est irrationnel.
18. Trouvez la solution générale de la relation de récurrence \( a_n=5a_{n-1}–6a_{n-2} \), sachant que
\(a_0=1\) et \(a_1=3\).
19. Évaluez l'intégrale double:
\( \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^2}}
\frac{1}{{(x^2+y^2)^2}} \, dy \, dx \)
20. Démontrez que la somme des angles dans un polygone à \(n\) côtés est égale à \( 180^{\circ } (n-2)
\).
21. Trouvez la somme de la série géométrique infinie:
\( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} -
\frac{1}{16} + \ldots \)
22. Démontrez que pour tout nombre premier \(p\), le nombre \( \frac{p-1}{2} \) est impair si et
seulement si \( p \equiv 3 \)
(mod 4).
23. Déterminez la longueur de l'arc de la courbe \( y = \frac{1}{3} x^3 –x \) de \(x=0\) à \(x=2\).
24. Déterminez le nombre de façons distinctes d'arranger les lettres du mot "MATHEMATICS" de telle sorte
que deux "M" ne soient pas adjacentes.
25. Démontrez que pour tous les entiers positifs \(n\), ce qui suit est vrai:
\( 1^3 +2^3 + \ldots
+n^3 = (1+2+ \dots +n)^2 \)
26. Trouvez l'aire d'un triangle avec des sommets aux nombres complexes \( z_1 = 1+2i \), \(z_2 = 2+i \)
et \( z_3 = 1+i \)
dans le plan complexe.
27. Démontrez que les racines du polynôme \( P(x) = x^n –a_1 x^{n-1}
+a_2 x^{n-2} - \ldots \) \( \ldots +(-1)^{n-1} a_{n-1} x–(-1)^n a_n \) sont toutes réelles si et
seulement si \(
a_i \ge 0 \) pour tout \( 1 \le i \le n \) .
28. Évaluez l'intégrale impropre: \(
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{{1 + x^2}} \, dx \)
29. Si \(z\) est un nombre complexe tel que \(z^4=1\), démontrez que \(z^2–z+1=0\) si et seulement si \(
z \neq 1 \).
30. Montrez qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme \(4k + 3\), où \(k\) est un
entier.