Il existe plusieurs problèmes mathématiques célèbres non résolus, notamment les "Problèmes du Prix du Millénaire" ou les "Sept Problèmes du Prix du Millénaire", désignés par le Clay Mathematics Institute. Ces questions sont parmi les plus importantes en mathématiques, avec une récompense de 1 million de dollars pour quiconque résout l'un d'entre eux.
1. Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer
Elle concerne les courbes elliptiques en théorie des nombres et en cryptographie, offrant une méthode pour déterminer des solutions rationnelles.
2. Conjecture de Hodge
Elle traite de la géométrie algébrique et de la topologie, explorant la relation entre la topologie des variétés algébriques et leur structure algébrique.
3. Existence et Régularité des Équations de Navier-Stokes
Elle interroge l'existence de solutions régulières et physiquement raisonnables pour les équations de Navier-Stokes décrivant le comportement des fluides en trois dimensions.
4. Problème P vs NP
Une question centrale en informatique théorique, demandant si les problèmes dont les solutions peuvent être vérifiées rapidement peuvent également être résolus rapidement.
5. Conjecture de Poincaré (Résolue)
Prouvée par Grigori Perelman en 2003, elle affirme que toute 3-variété simplement connexe et fermée est homéomorphe à la 3-sphère.
6. Hypothèse de Riemann
Elle concerne la distribution des nombres premiers et la fonction zêta de Riemann, avec des vérifications partielles mais aucune preuve générale à ce jour.
7. Existence et Écart de Masse de Yang-Mills
Elle porte sur la théorie quantique des champs et demande si une théorie quantique de Yang-Mills avec un écart de masse existe.
Conclusion
En plus des Problèmes du Prix du Millénaire, d'autres problèmes non résolus en mathématiques incluent la Conjecture de Goldbach, la Conjecture des Nombres Premiers Jumeaux et la Conjecture de Collatz, qui continuent de défier les mathématiciens.