Les astuces mathématiques peuvent être un moyen amusant d'accélérer les calculs et d'impressionner vos
amis. Voici
quelques-unes des meilleures astuces mathématiques:
Multiplication par 11
:
Lorsque vous multipliez un nombre à deux chiffres par 11, séparez les deux chiffres et ajoutez-les
ensemble.
Ensuite, placez la somme entre les deux chiffres d'origine.
Exemple: \(35 \times 11=3 (3+5) 5=385
\)
Carré des nombres se terminant par 5:
Prenez le premier chiffre,
multipliez-le
par le chiffre suivant, puis ajoutez 25 au résultat.
Exemple: \( 75^2=(7 \times 8)25=5625 \)
Multiplication par 5:
Lorsque vous multipliez un nombre par 5, vous pouvez
multiplier
par 10 et ensuite diviser par 2.
Exemple: \( 48 \times 5=\frac{48 \times 10}{2} = 240 \)
Multiplication par 9:
Pour multiplier un nombre à un chiffre par 9, soustrayez 1
du
nombre, puis soustrayez le résultat de 9 pour obtenir le deuxième chiffre.
Exemple: \( 7\cdot 9=63
(7-1=6,9-6=3) \)
Calcul rapide des pourcentages:
Pour trouver le
pourcentage
d'un nombre, vous pouvez déplacer la virgule décimale de deux places vers la gauche et multiplier par le
pourcentage.
Exemple: \( 45 \% \) de 200 \(= 0.45 \times 200=90 \)
Ajout de
grands
nombres:
Lorsque vous ajoutez de grands nombres, il est souvent plus facile de les
arrondir
au nombre le plus proche de 10, 100 ou 1000, puis de soustraire la différence.
Exemple: \( \small
568+379=(570–2)+(380–1)=950–3=947 \)
Règles de divisibilité:
⠐ Un nombre est divisible
par 2
si son dernier chiffre est pair.
⠐ Un nombre est divisible par 3 si la somme
de
ses chiffres est divisible par 3.
⠐ Un nombre est divisible par 4 si les deux
derniers chiffres sont divisibles par 4.
⠐ Un nombre est divisible par 5 s'il
se
termine par 0 ou 5.
⠐ Un nombre est divisible par 6 s'il est divisible par 2
et
par 3.
⠐ Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est
divisible
par 9.
⠐ Un nombre est divisible par 10 s'il se termine par 0.
Doublement et moitié:
Lorsque vous multipliez deux nombres, vous pouvez doubler un
nombre et diviser par deux l'autre pour faciliter le calcul. Répétez le processus si nécessaire.
Exemple: \( 14 \times 24=(7 \times 48)=(3.5 \times 96)=336 \)
Multiplication par
15:
Pour multiplier un nombre par 15, vous pouvez multiplier le nombre par 10, puis
ajouter
la moitié du produit au résultat.
Exemple: \( 15 \times 8=(8 \times 10)+(8 \times 5)=80+40=120 \)
Soustraction de 1,000:
Pour soustraire un nombre à trois chiffres de
1,000,
soustrayez chaque chiffre de 9, sauf le dernier chiffre, que vous soustrayez de 10.
Exemple: \(
1,000
–634=(9-6)(9-3)(10-4)=366 \)
Carré des nombres proches de 100:
Si un
nombre
est proche de 100, vous pouvez le carré en trouvant la différence par rapport à 100, en
ajoutant/soustrayant
cette différence, puis en multipliant la différence par elle-même.
Exemple: \(
97^2=(100–3)^2=(97–3)
3^2=94 09=9409 \)
Calcul de la moyenne de deux nombres:
Pour trouver la
moyenne de deux nombres, additionnez-les et divisez par 2, ou vous pouvez trouver la différence entre
les
nombres, la diviser par 2, puis ajouter le résultat au plus petit nombre.
Exemple: La moyenne de
45 et
65 est \( \frac{45+65}{2} = \frac{110}{2} = 55 \)
Exponentiation rapide en utilisant
les
carrés:
Pour élever un nombre à une puissance, carré le nombre, puis multipliez-le par
lui-même
le nombre de fois requis. C'est particulièrement utile pour calculer des exposants avec des puissances
paires.
Exemple: \( 3^4= (3^2 )^2= 9^2= 81 \)
Conversion entre Fahrenheit et
Celsius:
Pour convertir de Fahrenheit en Celsius, soustrayez 32 de la température en
Fahrenheit, puis multipliez le résultat par \( \frac{5}{9} \). Pour convertir de Celsius en Fahrenheit,
multipliez la température en Celsius par \( \frac{9}{5} \) et ajoutez 32.
Exemple: 68 F en Celsius
\(
(68-32) \times \frac{5}{9} = 36 \times \frac{5}{9} \approx 20^\circ \)
Calcul de la
somme des
entiers de 1 à \(n\):
Pour trouver la somme de tous les entiers de 1 à n, utilisez la
formule
: \( \frac{n(n + 1)}{2} \)
Exemple, Somme des entiers de 1 à 100:
\(1 \to 100=\frac{100
\times (100
+ 1)}{2}=5050 \)
Calcul de l'aire d'un triangle équilatéral:
Étant donné
la
longueur d'un côté d'un triangle équilatéral, trouvez l'aire en utilisant la formule:
\(
\frac{\text{longueur du côté}^2 \times \sqrt{3}}{4} \)
Exemple, Aire d'un triangle équilatéral avec
une longueur de côté de 6:
\( \frac{6^2 \times \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3} \)
Estimation
des racines carrées:
Pour estimer la racine carrée d'un nombre proche d'un carré
parfait,
trouvez les carrés parfaits les plus proches et utilisez-les comme référence.
Exemple: \(
\sqrt{82} \)
est entre \( \sqrt{81} \) \((9^2 )\) et \( \sqrt{100} \) \((10^2 )\), donc la racine carrée est
légèrement
supérieure à 9.
Multiplication rapide par 12:
Pour multiplier un nombre
par
12, multipliez d'abord par 10, puis ajoutez deux fois le nombre d'origine.
Exemple: \( 12 \times
7=(10
\times 7)+(2 \times 7)=70+14=84 \)
Division rapide par 5:
Pour diviser un
nombre par 5, vous pouvez multiplier le nombre par 2 et puis diviser par 10.
Exemple: \( 48 \div 5
=
\frac{48 \times 2}{10} = \frac{96}{10} = 9.6 \)
Multiplication rapide avec un nombre
proche
de 100:
Pour multiplier un nombre par un nombre proche de 100, trouvez la différence
par
rapport à 100, ajoutez/soustrayez la différence, puis multipliez les différences.
Exemple: \(
\small 97
\times 103=(100–3)(100+3)=10000–9=9991 \)
Multiplication de nombres entre 10 et 20
:
Pour multiplier deux nombres entre 10 et 20, trouvez d'abord la somme des chiffres unités, puis ajoutez
la
somme à 20 et multipliez le résultat par 10. Enfin, ajoutez le produit des chiffres unités.
Exemple
: \(
\small 17 \times 14=((7+4)+20) \times 10+(7 \times 4)=310+28=338 \)
Ajout/soustraction
de
nombres mixtes:
Pour ajouter ou soustraire des nombres mixtes, ajoutez ou soustrayez
les
nombres entiers et les fractions séparément, puis simplifiez le résultat.
Exemple: \( \small 4
\frac{1}{4} - 2 \frac{3}{4}=(4-2)+(\frac{1}{4} - \frac{3}{4})=2 - \frac{2}{4}= 1 \frac{1}{2} \)
Recherche du mode dans un ensemble de données:
Pour trouver le mode (la valeur la
plus
fréquente) dans un ensemble de données, comptez le nombre de fois où chaque valeur apparaît, puis
identifiez
la valeur avec le plus grand nombre d'occurrences.
Recherche de la médiane dans un
ensemble
de données:
Pour trouver la médiane (la valeur médiane) dans un ensemble de données,
arrangez
d'abord les valeurs par ordre croissant, puis localisez la valeur médiane. S'il y a un nombre pair de
valeurs,
trouvez la moyenne des deux valeurs médianes.
Exponentiation rapide en utilisant la
méthode
du doublement et de la moitié:
Pour élever rapidement un nombre à une puissance, vous
pouvez
doubler le nombre à plusieurs reprises et diviser par deux l'exposant jusqu'à ce que l'exposant soit
égal à
1.
Exemple: \( \small 2^6 = 2 \times 2^5 = 4 \times 2^4 = 8 \times 2^3 = 16 \times 2^2 = 32 \times
2^1
= 64 \)
Triplets pythagoriciens:
Un triplet pythagoricien se compose de
trois
entiers positifs \(a\), \(b\), et \(c\), tels que \(a^2 + b^2 = c^2 \). Une façon de générer des
triplets
pythagoriciens est d'utiliser la formule d'Euclide:
\( a = m^2 - n^2\), \(b=2mn\), et \(c=m^2 +
n^2 \),
où \(m\) et \(n\) sont des entiers positifs avec \(m > n \).
Différence de carrés
:
La différence de deux carrés peut être factorisée comme \( (a^2 - b^2 )= (a+b)(a–b) \). Cela peut être
utile
pour simplifier les expressions et résoudre des équations.
Somme de cubes
:
La
somme de deux cubes peut être factorisée comme \((a^3 +b^3 )=(a+b)(a^2 -ab+b^2 ) \)
Différence de cubes:
La différence de deux cubes peut être factorisée comme \(
(a^3 - b^3)
=(a–b)(a^2 + ab + b^2) \)
Formule quadratique:
Pour résoudre une équation
quadratique de la forme \( ax^2+bx+c=0 \), utilisez la formule quadratique:
\( x =
\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
Théorème binomial:
Le théorème
binomial stipule que pour tout entier non négatif \(n\) et tous les nombres réels \(a\) et \(b\),
\((a +
b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} b^k a^{n-k} \), où \(\binom{n}{k}\) sont les coefficients binomiaux,
également appelés "n choisit k" ou le nombre de façons de choisir k éléments dans un ensemble de \(n\)
éléments.
Propriétés des logarithmes:
⠐ \( log_a (x
\cdot y)
=log_a (x) +log_a(y) \)
⠐ \( log_a ( \frac{x}{y} ) = log_a (x) -log_a (y)
\)
⠐ \( log_a (x^k) =k \cdot log_a (x) \)
⠐
\(
log_a (1) =0 \)
⠐ \( log_a (a) =1 \)
Identité d'Euler
:
L'identité d'Euler est une équation en mathématiques qui relie les nombres complexes, les fonctions
trigonométriques et les nombres imaginaires. Elle est définie par:
\( e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)
\)
Cette équation est fondamentale dans le développement de l'analyse mathématique et est souvent
utilisée
en physique théorique.
Calcul intégral:
L'intégration est une opération
mathématique qui consiste à trouver la primitive d'une fonction. La notation usuelle pour l'intégrale
est \(
\int f(x)dx \).
Exemple: \( \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C \), où \( C \) est la constante
d'intégration.
Dérivées:
La dérivation est une opération mathématique qui consiste à
trouver
le taux de variation instantanée d'une fonction par rapport à une variable. La notation usuelle pour la
dérivée est \( \frac{df(x)}{dx} \) ou \( f'(x) \).
Exemple: \( \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \)
Série de Taylor:
La série de Taylor est une représentation d'une fonction comme
une
somme infinie de termes, où chaque terme est obtenu en dérivant la fonction à un certain ordre et en
l'évaluant à un point donné. Elle est souvent utilisée pour approximer des fonctions.
Exemple: La
série
de Taylor pour \( \sin(x) \) autour de \( x = 0 \) est \( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} -
\frac{x^7}{7!} +
\ldots \)
Décomposition en fractions partielles:
La décomposition en
fractions
partielles est une méthode utilisée pour décomposer une fraction rationnelle en une somme de fractions
plus
simples. Elle est souvent utilisée pour simplifier des intégrales.
Règle de Cramer
:
La règle de Cramer est une méthode utilisée pour résoudre un système d'équations linéaires en utilisant
des
déterminants. Si un système linéaire \( Ax = b \) a une matrice \( A \) inversible, alors la solution
unique
pour \( x \) est donnée par \( x_i = \frac{det(A_i)}{det(A)} \), où \( A_i \) est la matrice obtenue en
remplaçant la ième colonne de \( A \) par \( b \).
Diagonalisation des matrices
:
La diagonalisation des matrices est une méthode utilisée pour transformer une matrice carrée en une
forme
diagonale en utilisant une matrice de passage. Cela facilite souvent le calcul des puissances de
matrices et
la résolution de systèmes d'équations différentielles.
Produit scalaire:
Le
produit scalaire de deux vecteurs est une opération qui prend deux vecteurs et renvoie un scalaire. Il
est
défini comme la somme des produits des composantes correspondantes des deux vecteurs.
Exemple:
Pour deux
vecteurs \( \mathbf{a} = [a_1, a_2, a_3] \) et \( \mathbf{b} = [b_1, b_2, b_3] \), leur produit scalaire
est \(
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \)
Produit vectoriel
:
Le produit vectoriel de deux vecteurs est une opération qui prend deux vecteurs et renvoie un autre
vecteur
qui est orthogonal aux deux vecteurs d'entrée. Il est défini comme \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} =
[a_2
b_3-a_3 b_2, a_3 b_1-a_1 b_3, a_1 b_2-a_2 b_1] \)
Théorème de Stokes:
Le
théorème de Stokes relie une intégrale de surface à une intégrale de ligne le long du contour de la
surface.
Il est souvent utilisé en physique pour relier les flux de champs vectoriels à leurs sources.
Ces
astuces et techniques peuvent rendre les calculs mathématiques plus rapides, plus faciles et plus
amusants.
Explorez-les et utilisez-les pour perfectionner vos compétences en mathématiques et impressionner vos
amis !