Inégalités

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En mathématiques, une inégalité est une déclaration qui compare deux valeurs, expressions ou quantités en utilisant l'un des symboles d'inégalité: "\( < \)" (inférieur à), "\( > \)" (supérieur à), "\( \le \)" (inférieur ou égal à), "\( \ge \)" (supérieur ou égal à) ou "\(\neq \)" (différent de).
Comparer des nombres et des expressions implique de déterminer les tailles relatives de différentes quantités. Il existe plusieurs méthodes pour comparer des nombres et des expressions, notamment:

• Symboles de comparaison: Une des méthodes les plus simples pour comparer des nombres est d'utiliser des symboles de comparaison tels que "inférieur à" \( (<) \), "supérieur à" \( (>) \), "inférieur ou égal à" \( (\le ) \) et "supérieur ou égal à" \( ( \ge ) \). Par exemple, pour comparer les nombres 3 et 5, nous pouvons écrire \( 3 < 5 \) pour indiquer que 3 est inférieur à 5.
• Ligne numérique: La ligne numérique est une représentation visuelle des nombres sur une ligne, avec les nombres plus petits à gauche et les nombres plus grands à droite. Pour comparer des nombres sur une ligne numérique, nous pouvons simplement regarder leurs positions relatives les unes par rapport aux autres. Par exemple, si nous voulons comparer 3 et 5, nous pouvons voir que 5 est à droite de 3 sur la ligne numérique, donc 5 est plus grand que 3.
• Valeur absolue: La valeur absolue d'un nombre est la distance de ce nombre à zéro sur la ligne numérique. Pour comparer deux nombres ayant le même signe, nous pouvons comparer leurs valeurs absolues. Par exemple, pour comparer -3 et -5, nous pouvons comparer les valeurs absolues de ces nombres, qui sont respectivement 3 et 5. Comme 5 est supérieur à 3, nous pouvons dire que La valeur absolue de -5 est supérieure à La valeur absolue de -3.
• Manipulation algébrique: Nous pouvons utiliser la manipulation algébrique pour comparer des expressions en les simplifiant et en comparant les expressions résultantes. Par exemple, pour comparer les expressions \(2x+3\) et \(3x-1\) , nous pouvons les simplifier en combinant les termes semblables et obtenir \( 2x+3 < 3x-1 \) . Ensuite, nous pouvons isoler la variable d'un côté de l'inégalité et obtenir \( x> 4 \) .
• Dénominateur commun: Lors de la comparaison de fractions, nous pouvons trouver un dénominateur commun, puis comparer les numérateurs. Par exemple, pour comparer \(\frac{1}{4}\) et \(\frac{2}{5}\) , nous pouvons trouver un dénominateur commun de 20 et obtenir \(\frac{5}{20}\) et \(\frac{8}{20}\) . Ensuite, nous pouvons voir que \(\frac{8}{20}\) est supérieur à \(\frac{5}{20}\) , donc \(\frac{2}{5}\) est supérieur à \(\frac{1}{4}\) .

Ce ne sont là que quelques-unes des méthodes utilisées pour comparer des nombres et des expressions en mathématiques. Le choix de la méthode dépend du problème spécifique et des outils disponibles.

Propriétés des inégalités ☰

Les inégalités ont plusieurs propriétés qui déterminent leur comportement, notamment les suivantes:

• Transitivité: Si \( a < b \) et \( b < c \), alors \( a < c \). Cette propriété signifie que si une valeur est inférieure à une autre valeur, et que la deuxième valeur est inférieure à une troisième valeur, alors la première valeur est également inférieure à la troisième valeur.
• Réflexivité: \( a \le a \) et \( a \ge a \) pour toute valeur de \(a\). Cette propriété signifie que toute valeur est égale à elle-même, et elle est à la fois inférieure ou égale et supérieure ou égale à elle-même.
• Symétrie: Si \( a < b \), alors \( b> a \). Cette propriété signifie que si une valeur est inférieure à une autre valeur, alors la deuxième valeur est supérieure à la première valeur.
• Propriété d'addition: Si \( a < b \) et \(c\) est un nombre quelconque, alors \( a+c < b+c \). Cette propriété signifie que si vous ajoutez le même nombre aux deux côtés d'une inégalité, l'inégalité reste vraie.
• Propriété de soustraction: Si \( a < b \) et \(c\) est un nombre quelconque, alors \(a-c < b–c \). Cette propriété signifie que si vous soustrayez le même nombre des deux côtés d'une inégalité, l'inégalité reste vraie.
• Propriété de multiplication: Si \(a < b\) et \(c\) est un nombre positif, alors \(ac < bc\). Cette propriété signifie que si vous multipliez les deux côtés d'une inégalité par un nombre positif, l'inégalité reste vraie.
• Propriété de division: Si \(a < b\) et \(c\) est un nombre positif, alors \(\frac{a}{c} < \frac{b}{c}\). Cette propriété signifie que si vous divisez les deux côtés d'une inégalité par un nombre positif, l'inégalité reste vraie.
• Propriété inverse: Si \( a < b \), alors \( -b < -a \). Cette propriété signifie que si vous changez le signe des deux côtés d'une inégalité, l'inégalité change de direction.
• Propriété de transposition: Si \(a < b\) et \(c < d\), alors \(a+c < b+d\). Cette propriété signifie que si vous ajoutez deux inégalités, le résultat est également une inégalité.

Ces propriétés sont fondamentales pour travailler avec des inégalités en mathématiques. Elles nous permettent de manipuler les inégalités et d'obtenir de nouvelles inégalités qui restent vraies, ce qui nous aide à résoudre des problèmes et à prouver des énoncés mathématiques.

Addition et multiplication des inégalités ☰

L'addition et la multiplication des inégalités sont des opérations utilisées en algèbre pour manipuler et résoudre des équations et des inégalités.

Addition des inégalités: Si nous avons deux inégalités \(a < b\) et \(c < d\), nous pouvons les additionner pour obtenir \(a+c < b+d\). Cette propriété est parfois appelée propriété d'addition des inégalités.
Par exemple, supposons que nous voulons résoudre l'inégalité
\(2x-5 > 7\). Nous pouvons ajouter 5 des deux côtés de l'inégalité pour obtenir \(2x > 12\). Ensuite, nous pouvons diviser des deux côtés par 2 pour obtenir \(x > 6\). Cela nous dit que toute valeur de \(x\) supérieure à 6 satisfait l'inégalité.

Multiplication des inégalités: Si nous avons deux inégalités \(a < b\) et \(c> 0\), nous pouvons les multiplier ensemble pour obtenir \(ac < bc\). Cette propriété est parfois appelée propriété de multiplication des inégalités.
Cependant, si \(c\) est inférieur à 0, nous devons inverser la direction de l'inégalité, car multiplier par un nombre négatif change l'ordre de l'inégalité.
Par exemple, si nous avons l'inégalité \(-3 < 5\) et que nous multiplions des deux côtés par -2, nous obtenons \(6> -10\).
Par exemple, supposons que nous voulons résoudre l'inégalité \(2x-5 < 7\). Nous pouvons ajouter 5 des deux côtés pour obtenir \(2x < 12\). Ensuite, nous pouvons diviser des deux côtés par 2 pour obtenir \(x < 6\). Cela nous dit que toute valeur de \(x\) inférieure à 6 satisfait l'inégalité.
De même, si nous avons l'inégalité \(-3x > 12\), nous pouvons diviser des deux côtés par -3, mais comme nous divisons par un nombre négatif, nous devons inverser la direction de l'inégalité. Cela nous donne \(x < -4\).

Ces opérations sont des outils essentiels en algèbre et peuvent nous aider à résoudre une large gamme de problèmes impliquant des inégalités. Cependant, il est important de toujours vérifier les signes des nombres que nous multiplions ou ajoutons, et d'être prudent lorsque nous inverser la direction d'une inégalité.

Intervalles numériques ☰

En mathématiques, un intervalle de nombres est une plage de nombres entre deux valeurs spécifiées. Les intervalles sont souvent utilisés pour décrire les solutions aux équations et aux inégalités, et ils sont représentés à l'aide de crochets et de parenthèses.

Il existe plusieurs types d'intervalles numériques, chacun avec sa propre notation et sa signification:

• Intervalle fermé: Un intervalle fermé inclut les deux extrémités et est représenté par des crochets. Par exemple, l'intervalle \( [a, b] \) inclut toutes les valeurs de \( x \) entre \( a \) et \( b \), y compris \( a \) et \( b \) eux-mêmes. Ainsi, si \( a = 1 \) et \( b = 5 \), alors \( [1,5] \) inclut 1, 2, 3, 4 et 5.
• Intervalle ouvert: Un intervalle ouvert exclut les deux extrémités et est représenté par des parenthèses. Par exemple, l'intervalle \( (a, b) \) inclut toutes les valeurs de \( x \) entre \( a \) et \( b \), mais n'inclut pas \( a \) et \( b \) eux-mêmes. Ainsi, si \( a = 1 \) et \( b = 5 \), alors \( (1,5) \) inclut 2, 3 et 4, mais pas 1 ou 5.
• Intervalle semi-ouvert: Un intervalle semi-ouvert inclut une extrémité et exclut l'autre, et est représenté par une combinaison de crochets et de parenthèses. Par exemple, l'intervalle \( [a, b) \) inclut toutes les valeurs de \( x \) entre \( a \) et \( b \), y compris \( a \) mais n'inclut pas \( b \). Ainsi, si \( a = 1 \) et \( b = 5 \), alors \( [1,5) \) inclut 1, 2, 3 et 4, mais pas 5.
• Intervalle semi-fermé: Un intervalle semi-fermé exclut une extrémité et inclut l'autre, et est représenté par une combinaison de parenthèses et de crochets. Par exemple, l'intervalle \( (a, b] \) inclut toutes les valeurs de \( x \) entre \( a \) et \( b \), y compris \( b \) mais n'inclut pas \( a \). Ainsi, si \( a = 1 \) et \( b = 5 \), alors \( (1,5] \) inclut 2, 3, 4 et 5, mais pas 1.
• Intervalle infini: Un intervalle infini a une ou deux extrémités à l'infini, et est représenté par les symboles \( \infty \) ou \( -\infty \). Par exemple, l'intervalle \( (a, \infty) \) inclut toutes les valeurs de \( x \) supérieures à \( a \), tandis que l'intervalle \( (-\infty, b) \) inclut toutes les valeurs de \( x \) inférieures à \( b \).

Les intervalles numériques sont utiles pour décrire les ensembles de solutions aux équations et aux inégalités, et ils sont couramment utilisés en calcul et en analyse réelle. Comprendre la notation et la signification des intervalles numériques est essentiel pour interpréter les expressions mathématiques et résoudre les problèmes impliquant des inégalités et des équations.

Résolution des inégalités linéaires à une variable ☰

En mathématiques, une inégalité linéaire à une variable est une inégalité qui peut être exprimée sous la forme \(ax+b < c\), \(ax+b> c\), \(ax+b \le c\) ou \(ax+b\ge c\), où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des constantes et \(x\) est une variable.
Pour résoudre une inégalité linéaire à une variable, nous devons isoler la variable d'un côté du symbole d'inégalité, puis déterminer la plage de valeurs qui satisfont l'inégalité. Voici les étapes pour résoudre une inégalité linéaire à une variable:

• Lorsque vous passez une inégalité d'un côté à l'autre avec le signe opposé, vous obtenez une inégalité équivalente.
• Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d'une inégalité par le même nombre positif, vous obtenez une inégalité équivalente.
• Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d'une inégalité par le même nombre négatif, vous obtenez une inégalité équivalente en changeant le sens de l'inégalité.

Voyons quelques exemples pour voir comment cela fonctionne en pratique:

Exemple 1: Résoudre l'inégalité \(2x+3 < 9\)
Solution: Nous pouvons commencer par soustraire 3 des deux côtés de l'inégalité pour obtenir \(2x < 6\). Ensuite, nous pouvons diviser les deux côtés par 2 pour obtenir \(x < 3\). L'ensemble solution est l'intervalle ouvert \( (-\infty , 3) \).

Exemple 2: Résoudre l'inégalité \(-5x+2\ge -13\)
Solution: Nous pouvons commencer par soustraire 2 des deux côtés de l'inégalité pour obtenir \( -5x \ge -15\). Ensuite, nous pouvons diviser les deux côtés par -5, mais comme nous divisons par un nombre négatif, nous devons inverser le sens du symbole d'inégalité pour obtenir \( x \le 3 \). L'ensemble solution est l'intervalle fermé \((-\infty,3]\).

Exemple 3: Résoudre l'inégalité \(3x-4 > 5x+2\)
Solution: Nous pouvons commencer par soustraire \(3x\) des deux côtés de l'inégalité pour obtenir \(-4 > 2x+2\). Ensuite, nous pouvons soustraire 2 des deux côtés pour obtenir \(-6 > 2x\). Enfin, nous pouvons diviser les deux côtés par 2 pour obtenir \( x < -3 \). L'ensemble solution est l'intervalle ouvert \((-\infty,-3)\).

Il est important de vérifier nos solutions en remplaçant les valeurs de l'ensemble solution et en vérifiant qu'elles satisfont l'inégalité originale. Résoudre les inégalités linéaires à une variable est une compétence importante en algèbre, et elle a des applications dans de nombreux domaines des mathématiques et des sciences.

Résolution des doubles inégalités ☰

Les doubles inégalités sont un type d'inégalité qui implique deux symboles d'inégalité et une variable entre eux. Une double inégalité exprime une plage de valeurs pour la variable qui satisfait l'inégalité. Le type le plus courant de double inégalité est celui qui implique les symboles "\(<\)" et "\(>\)" .
La forme générale d'une double inégalité est: \(a < x < b\)
où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels, et \(x\) est la variable qui nous intéresse. Cette inégalité nous dit que \(x\) doit être plus grand que \(a\) et plus petit que \(b\). En d'autres termes, \(x\) doit se situer entre les deux valeurs \(a\) et \(b\).
Pour résoudre une double inégalité, nous devons trouver la plage de valeurs pour \(x\) qui satisfait l'inégalité. Pour ce faire, nous devons résoudre chacune des deux inégalités séparément, puis combiner les solutions.

Par exemple: supposons que nous ayons la double inégalité suivante: \(-3 < 2x+1 < 7\) .
Pour résoudre cette inégalité, nous devons isoler x au milieu de l'inégalité en résolvant chacune des deux inégalités séparément.
Tout d'abord, nous allons résoudre l'inégalité de gauche: \(-3 < 2x+1 \) En soustrayant 1 des deux côtés, nous obtenons: \( -4 < 2x \)
En divisant les deux côtés par 2, nous obtenons: \(-2 < x \)
Ensuite, nous allons résoudre l'inégalité de droite: \( 2x+1 < 7 \)
En soustrayant 1 des deux côtés, nous obtenons: \( 2x < 6 \)
En divisant les deux côtés par 2, nous obtenons: \( x < 3 \)
Maintenant, nous avons les deux solutions: \( -2 < x < 3 \)
Cela signifie que x doit être plus grand que -2 et plus petit que 3 pour satisfaire la double inégalité d'origine.
Un autre type de double inégalité implique les symboles "\( \le \)" et "\( \ge \)". Ce type de double inégalité exprime une plage de valeurs pour la variable qui inclut les extrémités. La forme générale d'une double inégalité avec les symboles "\( \le \)" et "\( \ge \)" est: \( a \le x \le b \) , où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels, et \(x\) est la variable qui nous intéresse.
Pour résoudre ce type de double inégalité, nous suivons un processus similaire à celui avec les symboles "\( < \)" et "\( > \)" . Nous résolvons chacune des deux inégalités séparément, puis nous combinons les solutions.

Par exemple, supposons que nous ayons la double inégalité suivante: \(-2 \le 3x-1 \le 5 \) .
Pour résoudre cette inégalité, nous commençons par résoudre l'inégalité de gauche: \(-2 \le 3x-1 \)
En ajoutant 1 des deux côtés, nous obtenons: \( -1 \le 3x \)
En divisant les deux côtés par 3, nous obtenons: \( -\frac{1}{3} \le x \)
Ensuite, nous résolvons l'inégalité de droite: \( 3x-1 \le 5 \)
En ajoutant 1 des deux côtés, nous obtenons: \( 3x \le 6 \)
En divisant les deux côtés par 3, nous obtenons: \( x \le 2 \)
Maintenant, nous avons les deux solutions: \( -\frac{1}{3} \le x \le 2 \)
Cela signifie que \(x\) doit être plus grand que ou égal à \( -\frac{1}{3} \) et plus petit que ou égal à 2 pour satisfaire la double inégalité d'origine.

En résumé, résoudre les doubles inégalités implique de trouver la plage de valeurs pour la variable qui satisfait l'inégalité. Pour résoudre une double inégalité, nous devons isoler la variable en résolvant chacune des deux inégalités séparément, puis combiner les solutions.

Les inégalités simples avec une variable à l'intérieur du signe du module. Inégalités de valeur absolue. ☰

Les inégalités avec une variable à l'intérieur de la notation du module sont appelées inégalités de valeur absolue. La valeur absolue d'un nombre représente la distance de ce nombre à zéro sur la droite numérique. La valeur absolue d'une variable \(x\) est écrite comme \( |x| \) et est toujours non négative.
La forme générale d'une inégalité simple de valeur absolue avec une variable \(x\) est: \( |ax+b| < c \) , où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des constantes.

Pour résoudre une inégalité simple de valeur absolue, nous devons isoler la variable \(x\) en considérant les deux cas possibles:


Cas 1: \(ax+b\) est positif ou nul, donc \(|ax+b|=ax+b\).
Dans ce cas, nous pouvons résoudre l'inégalité comme suit:
\(ax+b < c \rightarrow ax < c-b \rightarrow x < \frac{c-b}{a} \)

Cas 2: \( ax+b \) est négatif, donc \( |ax+b| = -(ax+b) \).
Dans ce cas, nous pouvons résoudre l'inégalité comme suit:
\( \small -(ax+b) < c \rightarrow -ax-b < c \rightarrow \) \( \small \rightarrow ax> -(c+b) \rightarrow x > -\frac{c+b}{a} \)

En résumé, pour résoudre une inégalité simple de valeur absolue \( |ax+b| < c \), nous devons considérer deux cas: \(ax+b\) est positif ou nul et \(ax+b\) est négatif. Ensuite, nous pouvons isoler \(x\) dans chaque cas pour trouver la solution.

Travaillons sur un exemple pour voir comment cela fonctionne en pratique: \( |2x+1| < 5\) .

Cas 1: \( 2x+1 \ge 0 \)
\( 2x+1 < 5 \)
\( 2x < 4 \)
\( x < 2 \)

Cas 2: \( 2x+1 < 0 \)
\( -2x-1 < 5 \)
\( -2x < 6 \)
\( x > -3 \)

Par conséquent, la solution de l'inégalité de valeur absolue \( |2x+1| < 5 \) est \( -3 < x < 2 \). \( (-3;2) \).