Théorème binomial (développement)
Le théorème binomial, également connu sous le nom d'expansion binomiale, est un résultat fondamental en combinatoire et en algèbre qui décrit l'expansion d'une expression binomiale élevée à une puissance entière non négative. Le théorème est particulièrement utile lorsqu'on travaille avec des expressions de la forme \((a+b)^n\), où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels ou complexes et \(n\) est un entier non négatif.
Le théorème binomial stipule que pour tout entier non négatif \(n\) et tout nombre réel ou complexe \(a\) et \(b\),
\((a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} b^k a^{n-k}\)
Ici, \( \binom{n}{k} \), lu comme "n choisit k", est un coefficient binomial, qui peut être calculé en utilisant la formule:
\( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
Dans cette formule, \(n!\) désigne le factoriel de \(n\), qui est le produit de tous les entiers positifs jusqu'à \(n\).
Plus précisément, \( n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ⋯ \cdot 2 \cdot 1 \)
Par convention, \(0! = 1\).
Le coefficient binomial \( \binom{n}{k} \) représente le nombre de façons de choisir \(k\) éléments dans un ensemble de \(n\) éléments. Dans le contexte du théorème binomial, il correspond au nombre de façons différentes de distribuer les \(n\) puissances de \(a\) et \(b\) dans chaque terme de l'expansion.
Voici le théorème binomial appliqué à quelques exemples:
1. Lorsque \(n=2\): $$ (a + b)^2 = \binom{2}{0} a^2 b^0 + \binom{2}{1} a^1 b^1 + \binom{2}{2} a^0 b^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$
2. Lorsque \(n=3\): $$ (a + b)^3 = \binom{3}{0} a^3 b^0 + \binom{3}{1} a^2 b^1 + \binom{3}{2} a^1 b^2 + \binom{3}{3} a^0 b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $$
Le théorème binomial possède plusieurs propriétés et applications importantes, notamment:
- Il fournit une méthode efficace pour développer des expressions binomiales, en particulier pour des valeurs élevées de \(n\).
- Il peut être généralisé aux multinômes (expressions avec plus de deux termes) et aux valeurs négatives ou non entières de \(n\) en utilisant le théorème binomial généralisé de Newton.
- Il peut être utilisé pour dériver diverses identités combinatoires, telles que l'identité de Pascal et l'identité du bâton de hockey.
- Il a des applications en théorie des probabilités, notamment dans le calcul des probabilités pour des variables aléatoires distribuées binomialement.
Le théorème binomial peut également être compris en termes de sa connexion avec le triangle de Pascal bien connu, qui est un tableau triangulaire infini de coefficients binomiaux. Chaque rangée du triangle de Pascal correspond aux coefficients de l'expansion binomiale de \((a+b)^n\) pour des valeurs croissantes de \(n\). Le triangle commence avec la première rangée, \(n=0\), et est construit comme suit $$ \begin{array}{ccccccccccccccc} & & & & & & 1 & & & & & & \\ & & & & & 1 & & 1 & & & & & \\ & & & & 1 & & 2 & & 1 & & & & \\ & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & & \\ & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & & \\ & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 \\ \end{array} $$ Chaque entrée dans le triangle de Pascal est obtenue en additionnant les deux nombres diagonalement au-dessus. Par exemple, l'entrée avec la valeur 6 dans la quatrième rangée est calculée en ajoutant les deux valeurs au-dessus (3 et 3).
En utilisant le triangle de Pascal, vous pouvez rapidement déterminer les coefficients de l'expansion binomiale sans calculer les coefficients binomiaux directement.
Par exemple, l'expansion de \( (a+b)^4 \) peut être lue depuis la cinquième rangée du triangle de Pascal:
\( a^4 + 4a^3 b+6a^2 b^2 + 4ab^3 + b^4 \)
Le théorème binomial peut également être étendu à des exposants négatifs et non entiers en utilisant le concept de séries infinies. Le théorème binomial généralisé de Newton stipule que, pour tout nombre réel \(r\) et tout nombre complexe \(a\) et \(b\) avec \( |b| < |a| \)
\( (a+b)^r = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{r}{k} b^k a^{r-k} \)
où le coefficient binomial généralisé est défini comme:
\( \binom{r}{k} = \frac{r!}{k!(r-k)!} \) ou \( \binom{r}{k} = \frac{r(r-1)(r-2)⋯(r-k+1)}{k!} \)
Les coefficients binomiaux généralisés sont utilisés pour calculer les coefficients de l'expansion en série de puissances de \( (a+b)^r \). Ce théorème généralisé a de nombreuses applications en calcul, telles que la recherche de la série de Taylor des fonctions et la résolution d'équations différentielles.
En théorie des probabilités, le théorème binomial a des applications dans le calcul des probabilités pour les variables aléatoires distribuées binomialement. Une variable aléatoire binomiale représente le nombre de succès dans un nombre fixe d'essais de Bernoulli, où chaque essai a seulement deux résultats possibles (succès ou échec) et une probabilité constante de succès.
La fonction de masse de probabilité d'une variable aléatoire binomiale \(X\) est donnée par:
\( P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \)
où \(n\) est le nombre d'essais, \(k\) est le nombre de succès et \(p\) est la probabilité de succès à chaque essai. Cette formule utilise directement le théorème binomial pour calculer la probabilité d'un résultat spécifique.