Les nombres complexes sont une extension des nombres réels, permettant la manipulation de quantités qui ne peuvent pas être représentées par des nombres réels seuls. Les nombres complexes sont utilisés dans divers domaines des mathématiques, de l'ingénierie et de la physique pour résoudre des problèmes que les nombres réels ne peuvent pas résoudre.
Un nombre complexe est un nombre qui peut être exprimé sous la forme \(a+bi \), où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels, et \(i\) est une unité imaginaire avec la propriété \(i^2=-1 \). Dans cette expression, \(a\) est appelé la partie réelle du nombre complexe, et \(b\) est appelé la partie imaginaire.
Mathématiquement, l'ensemble des nombres complexes est noté \(∁\), et peut être visualisé comme un plan en deux dimensions appelé le plan complexe (ou plan d'Argand), avec la partie réelle sur l'axe horizontal et la partie imaginaire sur l'axe vertical.
1. Opérations arithmétiques:
L'addition et la soustraction des nombres complexes sont effectuées composante par composante:
Addition:
\((a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i \)
Soustraction:
\((a+bi)–(c+di)=(a–c)+(b–d)i \)
La multiplication et la division des nombres complexes impliquent une manipulation plus complexe:
Multiplication:
\( (a+bi) \cdot (c+di)=(ac–bd)+(ad+bc)i \)
Division:
\( \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi) (c-di)}{c^2 + d^2} = \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2 + d^2} \)
2. Conjugaison complexe:
La conjugaison complexe d'un nombre complexe \( a + bi\) est définie comme \( a – bi\). Elle est notée \( \overline{a+bi} \). La conjugaison a la propriété que lorsqu'elle est multipliée par le nombre complexe original, elle donne un nombre réel:
\( (a+bi)(a–bi)= a^2 + b^2 \).
3. Module et argument:
Le module (ou la magnitude) d'un nombre complexe \(a+bi \) est la distance de l'origine au point dans le plan complexe, et est calculé comme \( |a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2} \). L'argument (ou l'angle) d'un nombre complexe est l'angle formé entre l'axe réel positif et la ligne reliant l'origine au point dans le plan complexe, généralement mesuré en radians. Il est noté \( \arg (a+bi)= \theta \), et peut être calculé en utilisant la fonction arctangente: \( \theta = \arctan (\frac{b}{a}) \) (en gardant à l'esprit le quadrant où se trouve le nombre complexe).
4. Formes polaire et exponentielle:
Un nombre complexe peut également être représenté sous forme polaire, comme \( a+bi = r( \cos \theta +i\ \sin \theta) \), où \( r=|a+bi| \) et \( \theta = \arg (a+bi) \). Cela peut être simplifié en utilisant la formule d'Euler, \( e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta \), donnant la forme exponentielle: \( a+bi = re^{i \theta } \).
5. Puissances et racines des nombres complexes:
En utilisant la forme exponentielle d'un nombre complexe, il est facile de calculer ses puissances et ses racines.
Soit \(z=re^{i \theta } \) un nombre complexe, alors:
Puissances:
\( z^n = (re^{i \theta } )^n = r^n e^{ in \theta } \), où \(n\) est un entier positif.
Racines:
La \(n\)-ième racine de \(z\) est donnée par
\(w_k = r^{ \frac{1}{n} }\ e^{ \frac{i( \theta + 2 k \pi ) }{n} } \), pour \( k = 0,1,2,…,n-1 \).
Cette formule donne \(n\) racines distinctes.
6. Théorème de De Moivre:
Le théorème de De Moivre est un résultat puissant qui relie les puissances des nombres complexes aux fonctions trigonométriques. Pour tout nombre complexe en forme polaire, \( z = r( \cos \theta +i \sin \theta ) \), et un entier positif \(n\), le théorème de De Moivre stipule:
\( ( \cos \theta + i \sin \theta )^n = \cos n \theta + i \sin n \theta \)
7. Fonctions complexes:
Les fonctions complexes sont des fonctions qui prennent des nombres complexes en tant qu'entrées et produisent des nombres complexes en tant que sorties. Elles peuvent être écrites comme
\( f(z)=f(x+yi)=u(x,y)+iv(x,y) \), où \( u(x,y) \) et \( v(x,y) \) sont des fonctions à valeurs réelles de deux variables réelles, représentant les parties réelle et imaginaire de la fonction, respectivement.
8. Analyse complexe:
L'analyse complexe est une branche des mathématiques qui étudie les fonctions complexes et leurs propriétés, telles que la différentiabilité, l'analyticité et l'intégration. Certains résultats importants en analyse complexe sont:
Équations de Cauchy-Riemann: Une condition nécessaire (mais pas suffisante) pour qu'une fonction complexe soit différentiable en un point est que ses parties réelle et imaginaire satisfont les équations de Cauchy-Riemann:
\( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \) et \( \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \).
Fonctions analytiques: Les fonctions qui sont différentiables dans un voisinage d'un point sont appelées fonctions analytiques. Les fonctions analytiques ont de nombreuses propriétés souhaitables, telles que la différentiabilité infinie et la possibilité d'être représentées sous forme de série entière convergente.
Théorème intégral de Cauchy et formule intégrale de Cauchy: Ces théorèmes concernent l'intégration de fonctions complexes le long de contours fermés et fournissent des outils puissants pour évaluer des intégrales complexes et dériver des résultats importants en analyse complexe.