Nombres Complexes: Un Guide Mathématique Complet

Introduction aux Nombres Complexes

Les nombres complexes représentent une extension fondamentale des nombres réels, permettant des opérations mathématiques au-delà du système des nombres réels. Notés ℂ, les nombres complexes trouvent des applications étendues en mathématiques, en ingénierie et en physique.

Définition Clé

Un nombre complexe prend la forme \(a + bi\) , où :

  • \(a\) : composante réelle
  • \(b\) : composante imaginaire
  • \(i\) : unité imaginaire où \(i^2 = -1\)

Opérations de Base avec les Nombres Complexes

Addition et Soustraction

Addition : \((a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\)

Soustraction : \((a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i\)

Multiplication et Division

Multiplication : \((a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\)

Division : \(\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}\)

Propriétés et Formes

Conjugué Complexe

Pour un nombre complexe \(z=a+bi\) , son conjugué est :

\(\overline{z}=a-bi\)

Module et Argument

Module : \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)

Argument : \(\arg(z)=\arctan(\frac{b}{a})\)

Représentations Alternatives

Forme Polaire

\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)

Forme Exponentielle

\(z=re^{i\theta}\)

Puissances et Racines des Nombres Complexes

Puissances des Nombres Complexes

Pour un nombre complexe en forme exponentielle \(z=re^{i\theta}\) :

\(z^n=(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}\)

n est un entier positif

Racines Complexes

La n -ième racine d’un nombre complexe a n valeurs distinctes :

\(w_k=r^{\frac{1}{n}}e^{\frac{i(\theta+2k\pi)}{n}}\)

\(k = 0,1,2,\ldots,n-1\)

Propriétés Clés

  • Tout nombre complexe (sauf 0) possède exactement n racines distinctes
  • Les racines forment un polygone régulier dans le plan complexe
  • Chaque racine successive est obtenue par rotation d’un angle de \(\frac{2\pi}{n}\)

Applications Avancées

Théorème de Moivre

\((\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\)

Fondements de l’Analyse Complexe

Équations de Cauchy-Riemann

Pour une fonction complexe \(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\) :

\(\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\) et \(\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\)