Introduction aux Nombres Complexes
Les nombres complexes représentent une extension fondamentale des nombres réels, permettant des opérations mathématiques au-delà du système des nombres réels. Notés ℂ, les nombres complexes trouvent des applications étendues en mathématiques, en ingénierie et en physique.
Définition Clé
Un nombre complexe prend la forme \(a + bi\) , où :
- \(a\) : composante réelle
- \(b\) : composante imaginaire
- \(i\) : unité imaginaire où \(i^2 = -1\)
Opérations de Base avec les Nombres Complexes
Addition et Soustraction
Addition : \((a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\)
Soustraction : \((a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i\)
Multiplication et Division
Multiplication : \((a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\)
Division : \(\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}\)
Propriétés et Formes
Conjugué Complexe
Pour un nombre complexe \(z=a+bi\) , son conjugué est :
\(\overline{z}=a-bi\)
Module et Argument
Module : \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)
Argument : \(\arg(z)=\arctan(\frac{b}{a})\)
Représentations Alternatives
Forme Polaire
\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)
Forme Exponentielle
\(z=re^{i\theta}\)
Puissances et Racines des Nombres Complexes
Puissances des Nombres Complexes
Pour un nombre complexe en forme exponentielle \(z=re^{i\theta}\) :
\(z^n=(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}\)
où n est un entier positif
Racines Complexes
La n -ième racine d’un nombre complexe a n valeurs distinctes :
\(w_k=r^{\frac{1}{n}}e^{\frac{i(\theta+2k\pi)}{n}}\)
où \(k = 0,1,2,\ldots,n-1\)
Propriétés Clés
- Tout nombre complexe (sauf 0) possède exactement n racines distinctes
- Les racines forment un polygone régulier dans le plan complexe
- Chaque racine successive est obtenue par rotation d’un angle de \(\frac{2\pi}{n}\)
Applications Avancées
Théorème de Moivre
\((\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\)
Fondements de l’Analyse Complexe
Équations de Cauchy-Riemann
Pour une fonction complexe \(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\) :
\(\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\) et \(\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\)