Solides Courbes (aire, volume)

Les solides courbes ☰

Classification des solides courbes
Les solides courbes peuvent être classés dans différentes catégories en fonction de leurs propriétés et des formes de leurs surfaces:

1. Solides convexes: Ce sont des solides dans lesquels chaque paire de points à l'intérieur du solide est reliée par un segment de droite qui se trouve entièrement à l'intérieur du solide. Les sphères, les cônes et les cylindres en sont des exemples.

2. Solides non convexes: Ce sont des solides qui ne répondent pas aux critères de convexité. Un solide non convexe a au moins une paire de points à l'intérieur du solide qui sont reliés par un segment de droite qui ne se trouve pas entièrement à l'intérieur du solide. Les exemples incluent les torus (solides en forme de beignet) et certains polyèdres avec des faces concaves.

Théorèmes liés aux solides courbes

• Théorème du centre de gravité de Pappus: Ce théorème stipule que le volume d'un solide de révolution généré en faisant tourner une figure plane autour d'un axe est égal au produit de la surface de la figure et de la distance parcourue par le centre de gravité de la figure pendant la rotation.
• Principe de Cavalieri: Ce principe stipule que si deux solides ont la même hauteur et que leurs sections transversales sont égales à chaque hauteur, alors les volumes des deux solides sont égaux. Ce principe peut être utilisé pour dériver les formules des volumes des cônes et des pyramides.

Géométrie sphérique
La géométrie sphérique est une géométrie non euclidienne qui étudie les figures sur la surface d'une sphère. Cette géométrie diffère de la géométrie euclidienne traditionnelle, car la distance la plus courte entre deux points sur une sphère n'est pas une ligne droite mais un arc de grand cercle.

Propriétés de la géométrie sphérique

• Il n'y a pas de lignes parallèles en géométrie sphérique.
• Les angles d'un triangle sphérique s'additionnent toujours à plus de 180 degrés.
• La zone d'un triangle sphérique est proportionnelle à son angle excessif (la quantité par laquelle la somme de ses angles dépasse 180 degrés).

Solides de révolution
De nombreux solides courbes, y compris les sphères, les cônes et les cylindres, peuvent être générés en faisant tourner une forme bidimensionnelle autour d'un axe. Ces formes sont appelées "solides de révolution".

• Une sphère peut être générée en faisant tourner un demi-cercle autour de son diamètre.
• Un cône peut être généré en faisant tourner un triangle rectangle autour de l'une de ses jambes (adjacente à l'angle droit).
• Un cylindre peut être généré en faisant tourner un rectangle autour de l'un de ses côtés.

Comprendre les propriétés et les applications des solides courbes est essentiel dans divers domaines tels que les mathématiques, l'ingénierie, l'architecture et la physique. Ces formes servent souvent de base à des structures et systèmes plus complexes.

Sphère ☰

Une sphère est un solide parfaitement symétrique avec tous les points de sa surface à égale distance d'un point fixe appelé le centre. La distance entre le centre et n'importe quel point sur la sphère est appelée le rayon. Les sphères ont des lignes de symétrie infinies et le plus grand rapport volume/surface de tous les solides, ce qui les rend idéales pour minimiser la perte de chaleur ou l'évaporation.

Formules:
Surface (SA): \( SA = 4 \pi r^2 \)

Volume (V): \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \)

Diamètre (D): \( D=2r \)

Propriétés

• Tous les points sur la surface d'une sphère sont à égale distance du centre.
• Une sphère a la plus petite surface parmi tous les solides avec un volume donné.
• Le grand cercle d'une sphère est le plus grand cercle pouvant être tracé sur sa surface, le plan du cercle passant par le centre de la sphère.
• Une sphère est parfaitement symétrique et a des lignes de symétrie infinies.
• Une sphère a le plus grand rapport volume/surface de tous les solides, ce qui en fait une forme idéale pour minimiser la perte de chaleur ou l'évaporation.

Applications dans le monde réel

• Les planètes et les corps célestes sont souvent approximativement sphériques en raison de la gravité qui attire la matière vers l'intérieur, formant une forme avec le moins d'énergie potentielle.
• Les bulles de savon forment des sphères car la tension de surface minimise la surface pour un volume donné d'air.
• Des réservoirs sphériques sont utilisés pour stocker des gaz sous pression tels que le propane, car ils peuvent supporter des pressions élevées avec une concentration minimale de contrainte.

Cône ☰

Un cône est un solide formé en reliant une base plate, généralement circulaire, à un seul point appelé le sommet ou l'apex. La surface incurvée du cône est créée par les points de la base reliés au sommet. Les cônes n'ont qu'un seul plan de symétrie, passant par le sommet et le centre de la base.

Formules
La surface latérale (SLA): \( S_{\text{SLA}} = \pi rl \)

Surface (SA): \( S_{\text{SA}} = \pi r(r+l) \) où \( r \) est le rayon de la base et \( l \) est la hauteur inclinée du cône.

Volume (V): \( \frac{1}{3} \pi r^2 h \) où \( h \) est la hauteur du cône.

Hauteur inclinée (l): \( l = \sqrt{r^2 +h^2 } \)

Une troncature est une section d'un cône obtenue en coupant la partie supérieure avec un plan parallèle à la base. Le volume \((V)\) d'une troncature de cône est donné par la formule:
\( V= \frac{1}{3} \pi h(R^2+r^2+Rr) \) où \( R \) est le rayon de la base plus grande, \( r \) est le rayon de la base plus petite et \( h \) est la hauteur de la troncature.

Propriétés

• Un cône n'a qu'un seul plan de symétrie, qui passe par son sommet et le centre de sa base.
• La surface latérale d'un cône forme un triangle rectangle lorsqu'elle est dépliée, avec la hauteur inclinée comme hypoténuse, et la circonférence de la base et la hauteur comme les deux autres côtés.
• Un cône a une surface incurvée unique appelée la "nappe".
• Le volume d'un cône est un tiers du volume d'un cylindre avec la même base et la même hauteur.

Applications

• Les cônes sont utilisés dans les cônes de signalisation, les cônes de nez de fusée et les toits coniques.
• Les cônes réfléchissants, ou réflecteurs paraboliques, sont utilisés dans les antennes, les microphones et les télescopes pour focaliser les ondes entrantes sur un seul point.

Cylindre ☰

Un cylindre est un solide constitué de deux bases planes parallèles, congruentes, reliées par une surface courbe. L'axe du cylindre est le segment de droite reliant les centres des deux bases et est perpendiculaire à ces dernières. Les cylindres ont deux plans de symétrie et sont un type de prisme, avec la même aire de section à chaque hauteur.

Formules
Surface (SA): \( SA = 2 \pi r^2 +2 \pi rh \)

La surface latérale (SLA): \( SLA = 2 \pi rh \)

Volume (V): \( V = \pi r^2 h \)

Cylindre circulaire droit
Un cylindre circulaire droit a une base circulaire, et son axe est perpendiculaire à la base. Dans ce cas, la hauteur et le côté latéral du cylindre sont identiques.

Cylindre elliptique
Un cylindre elliptique a une base elliptique, avec un grand axe \(a\) et un petit axe \(b\). Le volume \( (V) \) d'un cylindre elliptique est donné par la formule:
\( V = \pi abh \) où \(a\) et \(b\) sont les demi-axes majeur et mineur de l'ellipse, respectivement, et \(h\) est la hauteur du cylindre.

Propriétés

• Un cylindre a deux plans de symétrie: l'un passant par l'axe et parallèle aux bases, et l'autre perpendiculaire à l'axe et divisant la hauteur en deux.
• La surface latérale d'un cylindre est égale à la circonférence de la base multipliée par la hauteur.
• Un cylindre a la même aire de section à chaque hauteur, ce qui en fait un type de prisme.
• Si les bases d'un cylindre ne sont pas parallèles, le cylindre est appelé un "cylindre oblique".

Applications dans le monde réel

• Les formes cylindriques sont utilisées dans diverses applications en génie et en architecture, telles que les tuyaux, les colonnes et les réservoirs de stockage, en raison de leur résistance et de leur facilité de fabrication.
• Les lentilles cylindriques peuvent être utilisées pour corriger l'astigmatisme dans les lunettes en focalisant la lumière sur une seule ligne focale.