La dérivée d'une fonction est un concept fondamental en calcul et en analyse mathématique. Elle représente le taux de variation d'une fonction lorsque son entrée (ou variable) change. En d'autres termes, la dérivée fournit des informations sur la pente de la fonction en un point donné, ou sur sa raideur à ce point.
Considérons une fonction \(f(x)\). La dérivée de \(f(x)\) par rapport à \(x\) est notée \(f'(x)\), ou parfois \( \frac{df}{dx} \). Pour trouver la dérivée, nous examinons la limite du taux de changement moyen de la fonction lorsque l'intervalle entre deux points sur la fonction tend vers zéro. Mathématiquement, cela s'exprime comme suit:
\( f'(x) = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \)
Ici, \(h\) est un très petit changement dans l'entrée \(x\), et la limite assure que \(h\) tend vers zéro.
Il existe plusieurs règles et techniques pour trouver les dérivées de différents types de fonctions. Certaines des règles les plus courantes sont:
- Règle de la constante: Si \( f(x) = c \), où \(c\) est une constante, alors \( f'(x) = 0 \)
- Règle de la puissance: Si \( f(x) = x^n \), où \(n\) est une constante, alors \( f'(x) = nx^{n-1} \)
- Règle de la somme/différence: Si \( f(x) = g(x) \pm h(x) \), alors \( f'(x) = g'(x) \pm h'(x) \)
- Règle du produit: Si \( f(x) = g(x) \cdot h(x) \), alors \( f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \)
- Règle du quotient: Si \( f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \), alors \( f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2} \)
- Règle de la chaîne: Si \( f(x) = g(h(x)) \), alors \( f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \)
Par exemple, trouvons la dérivée de
\( f(x)=3x^2 +4x+5 \)
En utilisant la règle de la somme, nous pouvons diviser cela en trois dérivées séparées:
\( f' (x) = \frac{d}{dx} (3x^2 )+ \frac{d}{dx} (4x)+ \frac{d}{dx} (5) \)
Maintenant, en appliquant la règle de la puissance aux deux premiers termes et la règle de la constante au dernier terme, nous obtenons:
\( f' (x) = (6x)+(4)+(0) \)
Donc, la dérivée de la fonction est:
\( f' (x)=6x+4 \)
En résumé, la dérivée d'une fonction fournit des informations sur le taux de variation ou la pente de la fonction en un point quelconque. Il existe diverses règles et techniques pour trouver des dérivées, qui peuvent être appliquées en fonction du type et de la structure de la fonction.
En plus des règles et techniques de base mentionnées précédemment, il existe également des techniques spéciales et des propriétés liées aux dérivées qui peuvent être utiles lors de la manipulation de fonctions plus complexes ou de types spécifiques de fonctions.
Différenciation implicite: Lorsqu'on manipule des équations où \(x\) et \(y\) sont définis implicitement (par exemple, \(x^2+y^2=1\) ), nous pouvons utiliser la différenciation implicite pour trouver la dérivée. Cela implique de prendre la dérivée des deux côtés par rapport à \(x\) et ensuite résoudre pour \(\frac{dy}{dx} \)
Dérivées d'ordre supérieur: La dérivée d'une fonction peut être prise plusieurs fois, ce qui donne des dérivées d'ordre supérieur. Par exemple, la deuxième dérivée \(f'' (x)\) est la dérivée de la première dérivée, \(f' (x)\). De même, la troisième dérivée, \(f''' (x)\), est la dérivée de la deuxième dérivée, et ainsi de suite. Les dérivées d'ordre supérieur sont utiles pour étudier la courbure, la concavité et les points d'inflexion d'une fonction.
Règle de la fonction inverse: Si \(y=f(x) \) et \(x=g(y) \) sont des fonctions inverses, alors:
\( \frac{dx}{dy}= 1 \div \frac{dy}{dx} \)
Fonctions paramétriques: Lorsqu'une fonction est définie de manière paramétrique, comme \(x(t)\) et \(y(t)\), la dérivée de \(y\) par rapport à \(x\) peut être trouvée en dérivant \(y\) par rapport à \(t\) et en la divisant par la dérivée de \(x\) par rapport à \(t\):
\( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \div \frac{dx}{dt} \)
Différenciation des fonctions trigonométriques : Les dérivées des fonctions trigonométriques de base peuvent être utiles lors de la manipulation de fonctions impliquant le sinus, le cosinus, la tangente et leurs fonctions inverses. Certaines des dérivées clés sont:
- \( \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \)
- \( \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \)
- \( \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x \)
- \( \frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x \)
- \( \frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x \)
- \( \frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x \)
Différenciation des fonctions exponentielles et logarithmiques:
- \( \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \)
- \( \frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a \) ( \(a > 0\) et \(a \neq 1\) )
- \( \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \)
- \( \frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a} \) ( \(a > 0\) et \(a \neq 1\))
Différenciation des fonctions hyperboliques: Les fonctions hyperboliques sont définies en termes d'exponentielles et ont des dérivées similaires aux fonctions trigonométriques. Certaines dérivées importantes sont:
- \( \frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x \)
- \( \frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x \)
- \( \frac{d}{dx}(\tanh x) = sech^2 x \)
Série de Taylor: La série de Taylor est une représentation d'une fonction sous forme d'une somme infinie de termes, calculée à l'aide des dérivées de la fonction en un seul point. Si une fonction \(f(x)\) a des dérivées continues de tous les ordres dans un intervalle contenant \(x=a\), alors la série de Taylor de \(f(x)\) autour du point \(x=a\) est:
\( \small f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \) \( \small \frac{f''(a)(x - a)^2}{2!} + \frac{f'''(a)(x - a)^3}{3!} + \ldots \)
Dérivées partielles: Lorsque l'on traite des fonctions de plusieurs variables, telles que \(f(x,y)\) ou \(f(x,y,z)\), les dérivées partielles sont utilisées pour trouver le taux de variation de la fonction par rapport à une variable, tout en maintenant les autres variables constantes. La dérivée partielle de \(f(x,y)\) par rapport à \(x\) est notée \( \frac{\partial f}{ \partial x} \), et de même, par rapport à \(y\), elle est notée \( \frac{\partial f}{ \partial y} \). Le processus de recherche des dérivées partielles est similaire à celui de la dérivation d'une fonction à une seule variable, en traitant les autres variables comme des constantes tout en différenciant par rapport à la variable choisie.
Gradient: Le gradient est un vecteur contenant toutes les dérivées partielles de premier ordre d'une fonction multivariable.
Pour une fonction \(f(x,y)\), le gradient est noté \( \vec{\nabla}f \) ou grad \(f\), et est défini comme suit:
\( \vec{\nabla}f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \)
Pour une fonction \(f(x,y,z)\), le gradient est:
\( \vec{\nabla}f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) \)
Le gradient est crucial pour comprendre la direction de la plus forte augmentation ou diminution d'une fonction, et il joue un rôle important dans l'optimisation et d'autres applications en physique, en ingénierie et en économie.
Dérivée directionnelle: La dérivée directionnelle d'une fonction de plusieurs variables représente le taux de variation de la fonction dans une direction spécifique.
Étant donné une fonction \(f(x,y)\), la dérivée directionnelle dans la direction du vecteur unitaire \( u=(u_1,u_2 )\) est notée \(D_{u} f \) et est définie comme suit:
\( D_{u} f = \vec{\nabla}f \cdot \vec{u} = \frac{\partial f}{\partial x} u_1 + \frac{\partial f}{\partial y} u_2 \)
Pour une fonction \( f(x,y,z) \), la dérivée directionnelle dans la direction du vecteur unitaire \( u=(u_1,u_2,u_3 ) \) est:
\( D_{u} f = \vec{\nabla}f \cdot \vec{u} = \frac{\partial f}{\partial x} u_1 + \frac{\partial f}{\partial y} u_2 + \frac{\partial f}{\partial z} u_3 \)
Laplacien: Le Laplacien est une grandeur scalaire dérivée du gradient et est associé aux dérivées partielles de second ordre d'une fonction.
Pour une fonction \(f(x,y)\), le Laplacien est noté \( \vec{\nabla}^2 f \) et est défini comme suit:
\( \vec{\nabla}^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \)
Pour une fonction \(f(x,y,z)\), le Laplacien est:
\( \vec{\nabla}^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} \)