Comprendre les Dérivées en Calcul : Un Guide Complet

    Introduction aux Dérivées

    La dérivée d'une fonction est un concept fondamental en calcul et en analyse mathématique qui mesure le taux de variation d'une fonction par rapport à sa variable d'entrée. Essentiellement, elle décrit le taux de variation instantané ou la pente d'une fonction en un point donné.

    Définition Mathématique

    Pour une fonction \(f(x)\), la dérivée est notée \(f'(x)\) ou \(\frac{df}{dx}\). La définition formelle est :

    \[ f'(x) = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \]

    où \(h\) représente une variation infinitésimale de la variable d'entrée \(x\).

    Règles Fondamentales de Dérivation

    Règles de Base

    • Règle de la Constante :
      Pour \(f(x) = c\), \[f'(x) = 0\]
    • Règle de la Puissance :
      Pour \(f(x) = x^n\), \[f'(x) = nx^{n-1}\]
    • Règle de la Somme/Différence :
      Pour \(f(x) = g(x) \pm h(x)\), \[f'(x) = g'(x) \pm h'(x)\]
    • Règle du Produit :
      Pour \(f(x) = g(x) \cdot h(x)\), \[f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)\]
    • Règle du Quotient :
      Pour \(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\), \[f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2}\]
    • Règle de la Chaîne :
      Pour \(f(x) = g(h(x))\), \[f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)\]

    Exemple Pratique

    Calcul de la Dérivée d'un Polynôme

    Différencions la fonction :

    \[f(x) = 3x^2 + 4x + 5\]

    Étapes de la Solution :

    1. Appliquer la règle de la somme pour séparer les termes :
      \[f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(4x) + \frac{d}{dx}(5)\]
    2. Appliquer la règle de la puissance et la règle de la constante :
      \[f'(x) = (6x) + (4) + (0)\]
    3. Simplifier pour obtenir :
      \[f'(x) = 6x + 4\]

    Concepts Avancés de Différentiation

    Dérivation Implicite

    Utilisée lorsque les variables sont définies implicitement (par exemple, \(x^2 + y^2 = 1\)). Prenez les dérivées des deux côtés par rapport à \(x\) et résolvez pour \(\frac{dy}{dx}\).

    Dérivées d'Ordre Supérieur

    Les dérivées successives fournissent des informations sur le comportement des fonctions :

    • Deuxième dérivée \(f''(x)\) : Taux de variation de la première dérivée
    • Troisième dérivée \(f'''(x)\) : Taux de variation de la deuxième dérivée

    Dérivées de Fonctions Spéciales

    Fonctions Trigonométriques

    • \[\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\]
    • \[\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\]
    • \[\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x\]
    • \[\frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x\]
    • \[\frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x\]
    • \[\frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x\]

    Fonctions Exponentielles et Logarithmiques

    • \[\frac{d}{dx}(e^x) = e^x\]
    • \[\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a\] (où \(a > 0\) et \(a \neq 1\))
    • \[\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}\]
    • \[\frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a}\] (où \(a > 0\) et \(a \neq 1\))

    Fonctions Hyperboliques

    • \[\frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x\]
    • \[\frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x\]
    • \[\frac{d}{dx}(\tanh x) = \text{sech}^2 x\]

    Concepts en Calcul Multivariable

    Dérivées Partielles

    Pour des fonctions de plusieurs variables (par exemple, \(f(x,y)\)), les dérivées partielles mesurent le taux de variation par rapport à une variable en gardant les autres constantes :

    • Par rapport à \(x\) : \[\frac{\partial f}{\partial x}\]
    • Par rapport à \(y\) : \[\frac{\partial f}{\partial y}\]

    Gradient

    Le vecteur gradient contient toutes les dérivées partielles du premier ordre :

    Pour \(f(x,y)\) : \[\vec{\nabla}f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)\] Pour \(f(x,y,z)\) : \[\vec{\nabla}f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)\]

    Dérivée Directionnelle

    Mesure le taux de variation dans une direction donnée par un vecteur unitaire \(\vec{u}\) :

    \[D_{\vec{u}}f = \vec{\nabla}f \cdot \vec{u}\]

    Laplacien

    Somme de toutes les dérivées partielles secondes non mixtes :

    Pour \(f(x,y)\) : \[\nabla^2f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\] Pour \(f(x,y,z)\) : \[\nabla^2f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\]