Formule pour la distance entre deux points ☰

La formule pour la distance entre deux points \(P_1 (x_1,y_1 ) \) et \(P_2 (x_2,y_2 ) \) dans le plan cartésien est donnée par la formule de distance:
\(d=\sqrt{(x_2-x_1 )^2 + (y_2-y_1 )^2 } \), où \(d\) est la distance entre les deux points.

La formule de distance est dérivée du théorème de Pythagore, qui stipule que dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse (le côté le plus long) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Dans le plan cartésien, la distance entre deux points peut être considérée comme l'hypoténuse d'un triangle rectangle, avec les différences \(x\) et \(y\) entre les deux points comme les deux autres côtés.
Pour dériver la formule de distance, nous pouvons dessiner un triangle rectangle avec un côté le long de l'axe \(x\) et l'autre côté le long de l'axe \(y\). La longueur de l'hypoténuse est la distance entre les deux points. La différence \(x\) entre les deux points est \(x_2 – x_1 \), et la différence \(y\) est \( y_2 – y_1 \). En appliquant le théorème de Pythagore, nous avons: $$ \small \text{(distance)}^2= \text{(longueur de la différence en x)}^2 + \text{(longueur de la différence en y)}^2 $$

\( d^2= (x_2 - x_1 )^2 + (y_2 - y_1 )^2 \)
Prendre la racine carrée des deux côtés nous donne la formule de distance: $$ d=\sqrt{(x_2-x_1 )^2 + (y_2-y_1 )^2 } $$
La formule de distance peut être utilisée pour trouver la distance entre deux points dans le plan cartésien. C'est une formule fondamentale en géométrie et est utilisée dans diverses applications, telles que la recherche de la distance la plus courte entre deux points, le calcul de la distance parcourue par un objet et la résolution de problèmes d'optimisation.

Équation d'un cercle ☰

L'équation d'un cercle dans le plan cartésien est donnée par: $$ (x-h)^2 +(y-k)^2 =r^2 $$ où \( (h,k) \) est le centre du cercle et \(r\) est le rayon.
L'équation d'un cercle est dérivée de la formule de distance, qui stipule que la distance entre deux points \( (x_1,y_1 ) \) et \( (x_2,y_2 ) \) est donnée par: $$ d=\sqrt{(x_2-x_1 )^2 +(y_2-y_1 )^2} . $$ Dans le cas d'un cercle, chaque point sur la circonférence du cercle est à égale distance du centre. Par conséquent, si nous avons un point \( (x,y) \) sur la circonférence du cercle avec le centre \( (h,k) \) et le rayon \(r\), nous pouvons fixer \(d = r \) dans la formule de distance: $$ r= \sqrt{(x-h)^2+(y-k)^2}. $$ En élevant les deux côtés de cette équation au carré et en simplifiant, nous obtenons l'équation du cercle: $$ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 . $$ Cette équation montre que l'ensemble de tous les points \((x,y) \) qui satisfont l'équation est la circonférence d'un cercle avec le centre \( (h,k) \) et le rayon \(r\).

Coordonnées des points sur le cercle et ratios trigonométriques ☰

Lorsque l'on travaille avec des cercles, il est souvent utile de connaître les coordonnées des points sur le cercle et les ratios trigonométriques associés à ces points. Considérons un cercle de rayon \( r \) centré à l'origine \( (0,0) \) avec un point \( P(x,y) \) sur le cercle.
Voici quelques concepts importants liés aux coordonnées des points sur le cercle et aux ratios trigonométriques:

Coordonnées des points sur le cercle: Si un point \( P(x,y) \) se trouve sur le cercle de rayon \( r \), alors nous avons \( x^2 + y^2 = r^2 \). Cela signifie que si nous connaissons la valeur de \( r \) et les coordonnées d'un point sur le cercle, nous pouvons trouver les coordonnées de n'importe quel autre point sur le cercle.
Pour trouver les coordonnées des points sur un cercle, nous devons d'abord connaître le centre du cercle et son rayon. Une fois cette information obtenue, nous pouvons utiliser la trigonométrie pour trouver les coordonnées de n'importe quel point sur le cercle.
Supposons que le centre du cercle soit au point \( (h, k) \) et que le rayon soit \( r \). Soit \( \theta \) l'angle entre l'axe des \( x \) positifs et la ligne reliant le centre du cercle au point d'intérêt sur le cercle (mesuré dans le sens antihoraire). Alors les coordonnées du point sur le cercle sont:
\( x = h + r\cos(\theta) \)
\( y = k + r\sin(\theta) \)
Ici, \( \cos(\theta) \) et \( \sin(\theta) \) sont respectivement les fonctions cosinus et sinus de l'angle \( \theta \).

Ratios trigonométriques: Étant donné un point \( P(x,y) \) sur le cercle, nous pouvons définir six ratios trigonométriques en fonction de l'angle \( \theta \) formé entre la droite passant par l'origine et le point \( P \), et l'axe des \( x \) positifs. Ces ratios sont:

• Sinus: \( \sin \theta = \frac{y}{r} \)
• Cosinus: \( \cos \theta = \frac{x}{r} \)
• Tangente: \( \tan \theta = \frac{y}{x} \)
• Cosécante: \( \csc \theta = \frac{r}{y} \)
• Sécante: \( \sec \theta = \frac{r}{x} \)
• Cotangente: \( \cot \theta = \frac{x}{y} \)

Notez que ces ratios dépendent uniquement de l'angle \( \theta \) et du rayon \( r \) et non des coordonnées du point \( P \).

Fonctions trigonométriques des angles spéciaux: Pour certains angles, les ratios trigonométriques ont des valeurs spéciales. Par exemple, si \( \theta = 0 \), alors \( P \) se trouve sur l'axe des \( x \) positifs, donc \( \sin \theta = 0 \), \( \cos \theta = 0 \) et \( \tan \theta = 0 \).
De même, si \( \theta = \frac{\pi}{2} \), alors \( P \) se trouve sur l'axe des \( y \) positifs, donc \( \sin \theta = 1 \), \( \cos \theta = 0 \) et \( \tan \theta \) est indéfini.

Applications: Les coordonnées des points sur le cercle et les ratios trigonométriques sont utilisés dans diverses applications, telles que la navigation et l'ingénierie. Par exemple, en topographie, la distance entre deux points peut être calculée à l'aide de la trigonométrie, et en ingénierie, la trigonométrie est utilisée pour calculer les angles des poutres de support et les longueurs de câbles.

En résumé, les coordonnées des points sur le cercle et les ratios trigonométriques sont des concepts importants lorsqu'on travaille avec des cercles. Les coordonnées d'un point sur le cercle peuvent être trouvées étant donné le rayon et les coordonnées d'un autre point, tandis que les ratios trigonométriques sont basés sur l'angle formé entre la droite passant par l'origine et un point sur le cercle. Ces ratios ont des valeurs spéciales pour certains angles et sont utilisés dans diverses applications telles que la navigation et l'ingénierie.

Secteur et segment du cercle ☰

Le cercle est l'une des figures géométriques les plus importantes, et il a plusieurs parties qui sont d'intérêt, notamment le secteur et le segment.

Secteur d'un cercle: Un secteur d'un cercle est la région délimitée par deux rayons et un arc. L'angle formé par les deux rayons est appelé l'angle central du secteur. Un secteur d'un cercle ressemble à une part de pizza.
L'aire d'un secteur d'un cercle peut être trouvée en utilisant la formule suivante: $$ A = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi r^2 , $$ où \(r\) est le rayon du cercle et \( \theta \) est l'angle central du secteur en degrés.
Notez que dans la formule, l'angle \( \theta \) doit être en degrés. Si \( \theta \) est donné en radians, il doit d'abord être converti en degrés en le multipliant par \( \frac{180}{\pi} \) avant d'utiliser la formule.
Pour trouver l'aire d'un secteur d'un cercle, nous utilisons la formule: \( A= \frac{1}{2} r^2 \theta \), où \(r\) est le rayon du cercle et \( \theta \) est l'angle central du secteur en radians.

Segment d'un cercle: Un segment d'un cercle est une partie du cercle délimitée par une corde et l'arc qu'elle découpe. Il existe deux types de segments: le segment majeur et le segment mineur. Le segment majeur est la partie du cercle qui est à l'extérieur de la corde, tandis que le segment mineur est la partie du cercle qui est à l'intérieur de la corde.
Pour trouver l'aire d'un segment d'un cercle, nous utilisons la formule: \( A = \frac{1}{2} r^2 (\theta - \sin \theta) \), où \(r\) est le rayon du cercle et \( \theta \) est l'angle central du segment en radians.

La longueur de l'arc d'un secteur est donnée par la formule: \( L=r \theta \), où \(L\) est la longueur de l'arc et \( \theta \) est l'angle central du secteur en radians.
Ces formules peuvent être utilisées dans divers problèmes de géométrie impliquant des cercles, tels que le calcul de l'aire d'une part de pizza ou l'aire d'une section d'un jardin circulaire. Elles peuvent également être utilisées en calcul pour trouver les dérivées des fonctions impliquant des cercles, telles que la dérivée de l'aire d'un secteur par rapport à l'angle central.