Équations. Système d'équations.

Équation polynomiale de degré (Équations polynomiales de degré supérieur) ☰

Une équation polynomiale de degré \(n\) est une équation de la forme \( a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+⋯+a_1 x+a_0=0 \) où \(a_n, a_{n-1}, …, a_1 ,a_0 \) sont des constantes et \(n\) est un entier non négatif. Ici, \(x\) est la variable.
Le degré d'une équation polynomiale est le plus haut exposant de la variable \(x\) dans l'équation.
Par exemple, l'équation \(2x^3–5x^2+3x–7=0\) est une équation polynomiale de degré 3, car le plus haut exposant de \(x\) est 3. Le terme constant \(a_0\) est également inclus dans la somme, même s'il ne contient pas \(x\), pour indiquer clairement qu'il s'agit d'une équation polynomiale.
Les solutions d'une équation polynomiale de degré \(n\) sont appelées racines ou zéros du polynôme. Le Théorème Fondamental de l'Algèbre stipule qu'un polynôme de degré \(n\) a exactement \(n\) racines complexes, en comptant les multiplicités. Cela signifie qu'il y a exactement \(n\) solutions à l'équation \( a_n x^n +a_{n-1} x^{n-1} +⋯+a_1 x+ a_0 = 0 \), lorsque nous autorisons les valeurs complexes de \(x\).
Il existe plusieurs techniques pour trouver les racines des équations polynomiales de degré \(n\). Par exemple, si \(n=1\), alors l'équation \(ax+b=0\) a une seule racine, qui est \(x=- \frac{b}{a} \). Pour les équations quadratiques de la forme \( ax^2 +bx+c=0 \), nous pouvons utiliser la formule quadratique pour trouver les racines. Pour les équations cubiques de la forme \(ax^3+bx^2+cx+d=0 \), il existe également une formule appelée formule de Cardano, qui donne les racines en termes des coefficients \(a\), \(b\), \(c\), \(d\). Cependant, cette formule peut être assez compliquée à utiliser en pratique. Pour les équations polynomiales de degré supérieur à 3, il n'existe pas de formule générale donnant les racines en termes des coefficients, bien qu'il existe quelques cas particuliers où les racines peuvent être trouvées en utilisant d'autres méthodes.

En général, trouver les racines d'une équation polynomiale de degré \(n\) implique de factoriser le polynôme en facteurs linéaires et quadratiques, puis de résoudre chacun des facteurs séparément.
Par exemple, considérons l'équation polynomiale \(x^3–3x^2+2x=0\). Nous pouvons la factoriser comme \(x(x-1)(x-2)=0\), ce qui nous donne trois solutions: \(x=0\), \(x=1\) et \(x=2\). Ce sont les racines de l'équation polynomiale.

Les équations polynomiales de degré supérieur sont des équations de degré 4 ou supérieur, telles que les équations quartiques \( (ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0) \) et les équations quintiques \( (ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0) \). Ces équations peuvent être plus difficiles à résoudre que les équations polynomiales de degré inférieur et peuvent nécessiter des techniques plus avancées, telles que l'utilisation de nombres complexes et de la théorie des groupes.
Un résultat important dans la théorie des équations polynomiales est le théorème fondamental de l'algèbre, qui stipule que toute équation polynomiale non constante avec des coefficients complexes a au moins une racine complexe. Cela signifie que même si une équation polynomiale ne peut pas être résolue en utilisant des nombres réels, elle peut toujours être résolue en utilisant des nombres complexes.
Il existe plusieurs techniques pour résoudre les équations polynomiales de degré supérieur. Une approche consiste à essayer de factoriser l'équation en polynômes plus simples.
Par exemple, l'équation quartique \( x^4–5x^2+4=0 \) peut être factorisée comme \((x^2–4)(x^2–1)=0 \), ce qui donne comme racines \( x = \pm 1 \) et \( x = \pm 2 \). Cependant, toutes les équations polynomiales de degré supérieur ne peuvent pas être factorisées de cette manière.
Une autre approche est d'utiliser des méthodes numériques pour approximer les racines de l'équation. Par exemple, la méthode de Newton-Raphson peut être utilisée pour trouver itérativement de meilleures approximations des racines. Cependant, ces méthodes ne garantissent pas une solution exacte et peuvent nécessiter un grand nombre d'itérations pour converger.
Pour les équations polynomiales quintiques et de degré supérieur, il n'existe pas de formule générale pour trouver les racines en termes des coefficients, comme c'est le cas pour les équations quadratiques, cubiques et quartiques. Cela a été prouvé par le mathématicien Évariste Galois au 19ème siècle, en utilisant la théorie des groupes. Au lieu de cela, des équations spécifiques peuvent être résolues en utilisant des techniques spécialisées ou approximées en utilisant des méthodes numériques.

Équations rationnelles ☰

Les équations rationnelles sont des équations qui impliquent des expressions rationnelles, qui sont des ratios de deux polynômes. Un polynôme est une expression qui se compose d'un ou plusieurs termes impliquant des variables avec des exposants numériques entiers et des coefficients pouvant être des nombres réels ou des nombres complexes.
Les équations rationnelles sont généralement écrites sous la forme: \( \frac{P(x)}{Q(x)} =\frac{R(x)}{S(x)} \) , où \(P(x)\), \(Q(x)\), \(R(x)\) et \(S(x)\) sont des polynômes, et \(Q(x) \neq 0 \) et \(S(x) \neq 0\).
L'objectif principal lors de la résolution des équations rationnelles est de trouver les valeurs de la variable \(x\) qui rendent l'équation vraie. Pour résoudre une équation rationnelle, la première étape consiste à éliminer les dénominateurs en multipliant les deux côtés de l'équation par un dénominateur commun des deux expressions rationnelles. Celui-ci peut être trouvé en multipliant les dénominateurs \(Q(x)\) et \(S(x)\) et en simplifiant l'expression résultante. Après avoir éliminé les dénominateurs, l'équation devient une équation polynomiale, qui peut être résolue en utilisant des techniques algébriques standard. Une fois les solutions pour \(x\) trouvées, il est important de les vérifier dans l'équation originale pour s'assurer qu'elles sont des solutions valides. Si une solution rend un ou les deux dénominateurs égaux à zéro, ce n'est pas une solution valide et doit être exclue.

Exemple: Résoudre l'équation \(\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-1} = \frac{10}{x^2-1} \).

Étape 1: Trouver un dénominateur commun. Dans ce cas, le dénominateur commun est \((x+1)(x-1)\), donc nous pouvons réécrire l'équation comme:
\( \frac{1}{x+1} \cdot \frac{x-1}{x-1} + \frac{1}{x-1} \cdot \frac{x+1}{x+1} = \frac{10}{(x+1) \cdot (x-1)} \) ;

En simplifiant, nous obtenons:
\(\frac{x-1}{(x+1)(x-1)} + \frac{x+1}{(x+1)(x-1)} = \frac{10}{(x+1)(x-1)} \) ;

En combinant les fractions, nous obtenons:
\(\frac{2x}{(x+1)(x-1)} = \frac{10}{(x+1)(x-1)} \)

Étape 2: Éliminer les dénominateurs en multipliant les deux côtés de l'équation par le dénominateur commun: \(2x=10\).

Étape 3: Résoudre pour \(x\). \(x = 5\).

Étape 4: Vérifier les solutions extrêmes. Comme \(x=5\) rend le dénominateur \((x^2-1)\) non nul, il n'y a pas de solutions extrêmes à vérifier.
Par conséquent, la solution de l'équation \(\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-1} = \frac{10}{x^2-1} \) est \(x=5\).

Équation de valeur absolue ☰

Une équation de valeur absolue est un type d'équation qui implique la valeur absolue d'une variable. La valeur absolue d'un nombre est la distance à zéro sur la droite des nombres, donc la valeur absolue d'une variable peut être vue comme la distance à zéro que la variable peut prendre.
La forme générale d'une équation de valeur absolue est: \(|f(x)|=g(x) \), où \(f(x) \) est une expression contenant la variable \(x\) et \(g(x)\) est une autre expression qui peut ou non contenir \(x\). L'objectif dans la résolution d'une équation de valeur absolue est de trouver toutes les valeurs de \(x\) qui rendent l'équation vraie. L'approche de base pour résoudre les équations de valeur absolue est de diviser l'équation en deux cas, l'un où \(f(x)\) est positif et l'autre où \(f(x)\) est négatif. Cela est dû au fait que la valeur absolue d'un nombre positif est le nombre lui-même, tandis que la valeur absolue d'un nombre négatif est son opposé. Ainsi, si nous savons si \(f(x)\) est positif ou négatif, nous pouvons déterminer la valeur de \(|f(x)|\) et résoudre l'équation.

Par exemple, considérons l'équation: \(|x-3|=5\).
Nous commençons par diviser ceci en deux cas:

Cas 1 : \(x-3\) est positif.
\(x-3=5\).
\(x=8\).

Cas 2: \(x-3\) est négatif.
\(-(x-3)=5\).
\(-x+3=5\).
\(x=-2\).
Par conséquent, les solutions de l'équation sont \(x=8\) et \(x=-2\).

Il est également possible qu'une équation de valeur absolue n'ait pas de solutions. Par exemple, considérons l'équation: \(|x-3|=-2\).
Comme la valeur absolue de n'importe quel nombre est toujours non négative, il n'y a aucune valeur de \(x\) qui rende le côté gauche de l'équation égal à un nombre négatif. Par conséquent, cette équation n'a pas de solutions.

En résumé, la résolution des équations de valeur absolue implique de diviser l'équation en deux cas en fonction de si l'expression à l'intérieur de la valeur absolue est positive ou négative, de résoudre chaque cas séparément, puis de combiner les solutions. Il est important de vérifier que toutes les solutions que nous trouvons satisfont réellement à l'équation d'origine, car certaines équations peuvent n'avoir aucune solution ou des solutions extrêmes qui ne fonctionnent pas réellement.

Équations irrationnelles ☰

Les équations irrationnelles sont des équations qui impliquent une ou plusieurs fonctions irrationnelles ou expressions irrationnelles. Une fonction irrationnelle est une fonction qui ne peut pas être exprimée comme un rapport de deux polynômes. Des exemples courants de fonctions irrationnelles incluent la fonction racine carrée \( f(x) = \sqrt{x} \), la fonction racine cubique \( f(x) = \sqrt[3]{x} \) et la fonction logarithmique \(f(x)=\ln(x) \).
La forme générale d'une équation irrationnelle est: \(f(x)=g(x) \), où \(f(x)\) et \(g(x)\) sont toutes deux des fonctions ou des expressions irrationnelles. Résoudre de telles équations implique généralement d'isoler l'expression irrationnelle d'un côté de l'équation, puis de mettre au carré des deux côtés, ce qui peut éliminer le radical. Cependant, cette méthode peut introduire des solutions extrêmes, qui sont des solutions qui ne satisfont pas l'équation d'origine.

Pour illustrer cela, considérons l'exemple suivant: \( \sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=1 \).
Pour résoudre cette équation, nous pouvons mettre au carré des deux côtés:

\((\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})^2 = 1^2\)

\((x+1) - 2\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x-1} + (x-1) = 1 \)

\( 2\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x-1} = 2x-1 \)

\( (\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x-1})^2 = \left(\frac{2x-1}{2}\right)^2 \)

\( (x+1)(x-1) = \left(\frac{2x-1}{2}\right)^2 \)

\( x^2 - 1 = \frac{(2x-1)^2}{4} \)

\( 4x^2 - 4 = 4x^2 - 4x + 1 \)

\( -4x = -5 \)

\( x = \frac{5}{4} \)

Cependant, nous devons vérifier notre solution pour nous assurer qu'elle n'est pas extrême.

Équations à deux variables. Système d'équations. ☰

Les équations à deux variables sont des expressions mathématiques qui relient deux variables, généralement désignées par \(x\) et \(y\), avec un signe d'égalité. Ces types d'équations sont représentés sous la forme: \(ax+by=c\) , où \(a\), \(b\), \(c\) sont des constantes, \(x\) et \(y\) sont des variables. Les valeurs de \(x\) et \(y\) qui satisfont l'équation sont appelées solutions ou racines de l'équation.
Le graphique d'une équation à deux variables est une droite dans le plan cartésien, où \(x\) est l'axe horizontal et \(y\) est l'axe vertical. La forme pente-intercept de l'équation d'une droite est: \(y=mx+b\) , où \(m\) est la pente de la droite et \(b\) est l'ordonnée à l'origine \(y\), qui est le point où la droite croise l'axe \(y\).
Pour convertir une équation dans la forme standard en forme pente-intercept, nous pouvons résoudre pour \(y\):
\( ax+by=c \)
\( by=-ax+c \)
\( y= - \frac{a}{b} \cdot x + \frac{c}{b} \)

Ainsi, la pente de la droite est \( m=-\frac{a}{b} \) et l'ordonnée à l'origine \(b\) est \( \frac{c}{b} \).
En revanche, pour convertir une équation dans la forme pente-intercept en forme standard, nous pouvons réorganiser les termes:
\(y=mx+b \)
\( -mx+y=b \)
\( ax+by=c \)
où \(a=-m\) et \(b=1\) et \(c=b\).

Pour résoudre un système de deux équations à deux variables, nous devons trouver les valeurs de \(x\) et \(y\) qui satisfont les deux équations simultanément. Une façon de faire est de tracer les deux équations et de trouver le point où les droites se croisent. Ce point représente la solution du système.
Une autre méthode pour résoudre un système de deux équations à deux variables est par substitution. Dans cette méthode, nous résolvons l'une des équations pour l'une des variables et substituons l'expression dans l'autre équation. Cela donnera une équation en une variable, que nous pouvons résoudre pour trouver la valeur de la variable. Nous pouvons ensuite substituer cette valeur dans l'une des équations originales pour trouver la valeur de l'autre variable.

Par exemple, considérons le système d'équations:
\( \begin{cases} 2x+y=4 \\ x-y=1 \end{cases} \)

En résolvant la deuxième équation pour \(x\), nous obtenons: \(x=y+1\) .
En substituant cette expression dans la première équation, nous obtenons: \( 2(y+1)+y=4 \).
En simplifiant et en résolvant pour \(y\), nous obtenons: \(3y=2\) , \(y= \frac{2}{3} \).
En substituant cette valeur dans l'équation \(x=y+1\), nous obtenons: \(x= \frac{2}{3}+1 \), \(x= \frac{5}{3} \).
Par conséquent, la solution du système est \( ( \frac{5}{3} , \frac{2}{3} ) \).

En résumé, les équations à deux variables sont des expressions mathématiques qui relient deux variables avec un signe d'égalité, et leurs graphiques sont des droites dans le plan cartésien. Pour résoudre un système de deux équations à deux variables, nous pouvons utiliser des méthodes de graphique ou de substitution pour trouver les valeurs de \(x\) et \(y\) qui satisfont les deux équations simultanément.

Système d'équations.
Un système d'équations est un ensemble de deux équations ou plus avec les mêmes variables. Les variables dans un système d'équations représentent les mêmes valeurs dans chaque équation. Nous pouvons résoudre un système d'équations en trouvant les valeurs des variables qui satisfont toutes les équations du système.
Il existe différentes méthodes pour résoudre un système d'équations, telles que le graphique, la substitution et l'élimination. La méthode que nous choisissons dépend de la complexité du système et des préférences personnelles.
Une façon de résoudre un système d'équations est par graphique. Le graphique nous permet de visualiser les solutions du système en tant que points d'intersection des graphiques des équations. Pour graphiquer les équations, nous plaçons des points sur le plan cartésien qui satisfont chaque équation, puis relions les points pour former des droites. Les points d'intersection des droites représentent les solutions du système.

Par exemple, considérons le système d'équations:
\( \begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = -\frac{1}{3}x + 4 \end{cases} \)

Pour graphiquer ces équations, nous pouvons choisir plusieurs valeurs de \(x\) et les substituer dans chaque équation pour trouver les valeurs correspondantes de \(y\). Ensuite, nous plaçons les points résultants et les relions pour former les droites.

Pour la première équation:

Pour la deuxième équation:

Nous pouvons maintenant tracer ces points et les relier pour former les lignes:

Graphique du système d'équations

Le point d'intersection des lignes est la solution du système, qui est approximativement \((1.3, 3.6)\).

Une autre méthode pour résoudre un système d'équations est par substitution. Dans cette méthode, nous résolvons l'une des équations pour l'une des variables, puis nous substituons l'expression dans l'autre équation. Cela donne une équation en une seule variable, que nous pouvons résoudre pour trouver la valeur de la variable. Nous pouvons ensuite substituer cette valeur dans l'une des équations originales pour trouver la valeur de l'autre variable.

Système d'équations dans lequel une équation est du premier degré et l'autre équation est du deuxième degré ☰

Un système d'équations est un ensemble d'équations considérées ensemble en tant que groupe. Un système d'équations dans lequel une équation est du premier degré (linéaire) et l'autre équation est du deuxième degré (quadratique) est un type de système d'équations non linéaire.
La forme générale d'une équation du premier degré est \(ax+b=0\), où \(a\) et \(b\) sont des constantes et \(x\) est la variable.
La forme générale d'une équation du deuxième degré est \( ax^2+bx+c=0 \), où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des constantes et \(x\) est la variable.
Pour résoudre un système d'équations dans lequel une équation est du premier degré et l'autre équation est du deuxième degré, il existe plusieurs méthodes, notamment:

• Méthode de substitution: Dans cette méthode, nous résolvons l'une des équations pour l'une des variables en fonction de l'autre variable, puis substituons cette expression dans l'autre équation. Cela donne une équation quadratique en une variable, que nous pouvons résoudre à l'aide de la formule quadratique ou par factorisation. Une fois que nous avons trouvé la ou les valeurs de la variable, nous pouvons substituer à nouveau dans l'une des équations originales pour trouver la ou les valeurs de l'autre variable.
• Méthode d'élimination: Dans cette méthode, nous éliminons l'une des variables en multipliant une ou les deux équations par une constante, de sorte que les coefficients de l'une des variables soient égaux et opposés dans les deux équations. Cela donne une équation en une variable, que nous pouvons résoudre puis substituer dans l'une des équations originales pour trouver la ou les valeurs de l'autre variable.

Par exemple, considérons le système d'équations suivant:

\( \begin{cases} x + 2y = 3 \\ x^2 - 4y^2 = 0 \end{cases} \)

À partir de la deuxième équation, nous pouvons factoriser un facteur commun de \( x^2 - 4y^2 \) comme \( (x+2y)(x-2y)=0 \).
Cela nous donne deux possibilités: \( x+2y=0 \) ou \( x-2y=0 \)
Si nous résolvons la première équation pour \(x\) comme \(x=-2y\), nous pouvons substituer cela dans la deuxième équation pour obtenir:
\( (-2y)^2-4y^2=0 \)
\( 4y^2-4y^2=0 \)
Cela se simplifie en \(0=0\), ce qui est vrai pour n'importe quelle valeur de \(y\). Par conséquent, nous avons une infinité de solutions, qui peuvent être exprimées comme \( (x,y)=(-2t,t) \), où \(t\) est un nombre réel.
Si nous résolvons la deuxième équation pour \(x\) comme \(x=2y\), nous pouvons substituer cela dans la première équation pour obtenir:
\( 2y+2y=3 \)
\( 4y=3 \)
\( y = \frac{3}{4} \)
En substituant cela dans \(x=2y\), nous obtenons \( x= \frac{3}{2} \). Par conséquent, nous avons une solution, qui est \( (x,y)=( \frac{3}{2} , \frac{3}{4} ) \).

Méthode graphique: Dans cette méthode, nous traçons les deux équations sur le même plan cartésien et cherchons le(s) point(s) d'intersection, qui représentent les solutions du système d'équations. Cependant, cette méthode n'est pas toujours réalisable pour des systèmes d'équations complexes.

En conclusion, un système d'équations dans lequel une équation est du premier degré et l'autre équation est du deuxième degré peut être résolu en utilisant diverses méthodes, y compris la substitution, l'élimination et les méthodes graphiques. Le choix de la méthode dépend du système d'équations spécifique et des préférences individuelles du résolveur.

Système de deux équations du deuxième degré à deux variables ☰

Un système de deux équations du deuxième degré à deux variables est un ensemble de deux équations à deux variables où chaque équation est un polynôme du deuxième degré. La forme générale d'un tel système est:
\( ax^2+by^2+cx+dy+e=0 \)
\( fx^2+gy^2+hx+iy+j=0 \)
où \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\), \(g\), \(h\), \(i\), \(j\) sont des constantes et \(x\), \(y\) sont les variables.

Ce type de système est non linéaire, ce qui signifie que les solutions du système ne forment pas nécessairement une ligne droite. Au lieu de cela, les solutions peuvent être des courbes ou des ensembles de points discrets dans le plan \(xy\).

Pour résoudre ce système, une méthode possible est d'utiliser la substitution pour éliminer une variable et réduire le système à une seule équation en une seule variable. Cela implique de résoudre l'une des équations pour x ou y, puis de substituer cette expression dans l'autre équation. L'équation résultante sera un seul polynôme du deuxième degré en une seule variable, que l'on peut résoudre en utilisant des techniques telles que la factorisation ou la formule quadratique.

Une autre méthode possible est d'utiliser la méthode d'élimination, qui consiste à ajouter ou soustraire les deux équations pour éliminer l'une des variables. Cela peut être fait en multipliant une ou les deux équations par des constantes, si nécessaire, pour créer des coefficients qui s'annuleront lorsque les équations seront ajoutées ou soustraites.

Les solutions du système seront les valeurs de \(x\) et \(y\) qui satisfont simultanément aux deux équations. En fonction des équations spécifiques du système, il peut y avoir une ou plusieurs solutions, ou aucune solution du tout. Le tracé des équations dans le plan \(xy\) peut fournir une représentation visuelle des solutions possibles, et peut aider à comprendre le comportement du système.

Un exemple de système de deux équations du deuxième degré à deux variables est:
\( \begin{cases} x^2+y^2=25 \\ x^2-y^2=9 \end{cases} \)

Ce système représente l'intersection d'un cercle centré à l'origine avec un rayon de 5, et une hyperbole avec un axe vertical et centrée à l'origine.

Avec ce graphique, nous pouvons dire que le système a quatre solutions.
En additionnant les deux équations, nous obtenons:
\( \begin{cases} x^2+y^2=25 \\ +\\ x^2-y^2=9 \end{cases} \)

\(2x^2 = 34\)

\( x^2 = 17 \).

En prenant la racine carrée des deux côtés, nous obtenons \( x = \pm \sqrt{17} \). En substituant ces valeurs dans l'une des équations originales, nous pouvons résoudre pour \(y\). Par exemple, en utilisant la première équation, nous avons:

\( (\sqrt{17})^2 + y^2 = 25 \)

\( y^2 = 8 \)

\( y = \pm 2 \sqrt{2} \)


Par conséquent, les solutions du système sont:

\( (\sqrt{17}, 2 \sqrt{2}) \),

\( (\sqrt{17}, -2 \sqrt{2}) \),

\( (-\sqrt{17}, 2 \sqrt{2}) \)

\( (-\sqrt{17}, -2 \sqrt{2}) \).