Intégrale

Intégrale
L'intégrale est un concept fondamental en calcul différentiel et intégral qui traite de l'accumulation de quantités infinitésimales. Elle est utilisée pour calculer des aires, des volumes et d'autres quantités liées à l'accumulation de valeurs. Il existe deux types principaux d'intégrales: les intégrales définies et indéfinies. Les intégrales sont étroitement liées au concept de dérivée, et ensemble, elles forment les deux principaux éléments constitutifs du calcul.

Intégrale indéfinie (Primitive):
Une intégrale indéfinie, également appelée primitive, représente une famille de fonctions dont les dérivées sont les mêmes. Étant donnée une fonction \(f(x)\), la primitive ou l'intégrale indéfinie de \(f(x)\) est représentée comme suit:
\( \int f(x) \, dx = F(x) + C \)
Ici, \(F(x)\) est la primitive de \(f(x)\), \(dx\) indique que l'intégration est par rapport à la variable \(x\), et \(C\) est la constante d'intégration, représentant la famille de fonctions ayant la même dérivée.
Par exemple, l'intégrale indéfinie de \(f(x)=x\) serait: \( \int x \, dx = \frac{1}{2} x^2 + C \)

Intégrale définie :
En revanche, l'intégrale définie représente l'accumulation nette d'une quantité entre deux points dans un domaine. On peut la concevoir comme l'aire signée sous une courbe d'une fonction \(f(x)\) entre deux points \(a\) et \(b\). L'intégrale définie est représentée comme suit:
\( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \)

Le Théorème fondamental du calcul (TFC) relie les concepts de dérivées et d'intégrales. Il énonce que si une fonction \(f(x)\) est continue sur l'intervalle \([a,b]\) et \(F(x)\) est une primitive de \(f(x)\), alors:
\( \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) \)

Ce théorème nous permet de calculer les intégrales définies en utilisant des primitives.

Par exemple, calculons l'intégrale définie de \(f(x)=x\) de 0 à 2:
\( \int_{0}^{2} x \, dx = \left[\frac{1}{2}x^2\right]_{0}^{2} = \frac{1}{2}(2)^2 - \frac{1}{2}(0)^2 = 2 \)
Dans ce cas, l'intégrale définie représente l'aire sous la courbe \(y=x\) entre \(x=0\) et \(x=2\)

Techniques d'intégration:
Il existe plusieurs techniques pour calculer les intégrales, y compris la substitution, l'intégration par parties, les fractions partielles et la substitution trigonométrique. Ces techniques sont utilisées pour simplifier ou décomposer des intégrales plus complexes en expressions plus faciles à manipuler qui peuvent être intégrées directement ou en termes de primitives connues.

Substitution (sous-titution):
La substitution est une technique utilisée pour simplifier les intégrales en les transformant en une nouvelle variable. Elle implique de choisir une substitution \(u\) et son différentiel correspondant \(du\) de telle sorte que l'intégrale devienne plus facile à résoudre. Les étapes générales sont les suivantes:
Choisissez une substitution \(u=g(x)\)
Calculez le différentiel \(du=g' (x)dx\)
Remplacez \(x\) et \(dx\) dans l'intégrale d'origine par la substitution et le différentiel.
Résolvez la nouvelle intégrale en termes de \(u\)
Remplacez \(u\) en termes de \(x\) pour obtenir le résultat final.

Exemple: \( \int x \cdot e^{x^2 } dx \)
Nous pouvons choisir la substitution \(u=x^2\). Ensuite, nous calculons le différentiel \(du = 2x dx\). Maintenant, nous pouvons réécrire l'intégrale en termes de \(u\):
\( \int \frac{1}{2} e^u du \)
Maintenant, nous pouvons intégrer par rapport à \(u\):
\( \frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2} e^u + C \)
Enfin, nous substituons \(u\) en termes de \(x\): \( \frac{1}{2} e^{x^2 } + C \)

Intégration par parties:
L'intégration par parties est une technique utilisée pour intégrer des produits de fonctions. Elle est basée sur la règle du produit pour la dérivation. La formule pour l'intégration par parties est:
\( \int udv=uv- \int vdu \). Ici, \(u\) et \(v\) sont des fonctions de \(x\). Pour utiliser cette méthode, vous devez choisir \(u\) et \(dv\) dans l'intégrande, puis calculer \(du\) et \(v\).

Exemple: \( \int xe^x dx \)
Nous pouvons choisir \(u = x\) et \(dv=e^x dx\). Ensuite, nous calculons \(du = dx\) et \(v=e^x\). En appliquant la formule de l'intégration par parties:
\( \int xe^x dx =xe^x - \int e^x dx \)
Maintenant, nous intégrons \(e^x\): \(xe^x-e^x+C \)

Fractions partielles:
Les fractions partielles sont une technique utilisée pour intégrer des fonctions rationnelles (fractions avec des polynômes dans le numérateur et le dénominateur). La méthode consiste à décomposer la fonction rationnelle en fractions plus simples avec des dénominateurs linéaires ou quadratiques. Ces fractions plus simples sont plus faciles à intégrer.

Pour effectuer une décomposition en fractions partielles, assurez-vous d'abord que le degré du numérateur est inférieur au degré du dénominateur. Sinon, effectuez une division polynomiale. Ensuite, décomposez la fonction rationnelle en ses fractions plus simples en utilisant des techniques algébriques.

Exemple: \( \int \frac{1}{x^2 - 1} dx \)
Nous pouvons décomposer la fonction rationnelle en utilisant des fractions partielles:
\( \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1} \)

En résolvant pour \(A\) et \(B\), nous trouvons que \(A= \frac{1}{2} \) et \( B =-\frac{1}{2} \).

Donc, \( \int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx = \int \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1}\right) \, dx \)

Maintenant, nous pouvons intégrer les fractions plus simples:
\( \int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} \, dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} \, dx \)

En intégrant chaque terme, nous obtenons:
\( \frac{1}{2} \ln |x-1| - \frac{1}{2} \ln |x+1| + C \)

Nous pouvons aussi combiner les logarithmes:
\( \int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x - 1}{x + 1} \right| + C \)

Substitution trigonométrique :
La substitution trigonométrique est une technique utilisée pour intégrer des expressions impliquant des racines carrées de fonctions quadratiques. Elle consiste à substituer une fonction trigonométrique à la variable dans l'intégrande, ce qui simplifie l'expression et permet l'intégration. La substitution choisie dépend de la forme de l'expression:
Pour \( \sqrt{a^2–x^2} \), utilisez \( x=a \sin \theta \)
Pour \( \sqrt{a^2+x^2} \), utilisez \(x=a \tan \theta \)
Pour \( \sqrt{x^2-a^2} \), utilisez \(x=a \sec \theta \)

Exemple: \( \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \)
Nous pouvons utiliser la substitution \( x= \sin \theta \):
\( \int \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}} \cos \theta \, d\theta = \int \frac{\cos \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}} \, d\theta = \int \frac{\cos \theta}{\cos \theta} \, d\theta \)

Maintenant, nous pouvons intégrer: \( \int 1d \theta = \theta +C \)
Enfin, nous substituons de nouveau en termes de \(x\): \( \sin^{-1} x+C \)

Ce ne sont que quelques-unes des nombreuses techniques d'intégration disponibles. Selon l'intégrande, une ou plusieurs de ces techniques peuvent être nécessaires pour trouver l'intégrale. Dans certains cas, les intégrales ne peuvent pas être exprimées en termes de fonctions élémentaires et nécessitent des fonctions spéciales, telles que la fonction d'erreur, ou des méthodes numériques pour l'évaluation.

Intégrales impropres :
Les intégrales impropres sont des intégrales qui impliquent des limites infinies ou des intégrandes avec des discontinuités dans l'intervalle d'intégration. Elles ne sont pas définies dans le sens habituel mais peuvent souvent se voir attribuer une valeur grâce à un processus de limite. Il existe deux types d'intégrales impropres:

Type 1: Limites infinies
\(\int_a^\infty f(x) \, dx \)
Pour évaluer ce type d'intégrale impropre, nous prenons la limite lorsque la borne supérieure approche l'infini:
\( \int_a^\infty f(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx \)

Type 2: Intégrandes discontinus
\( \int_a^b \frac{1}{x} \, dx \)
S'il y a une discontinuité en \(c \in [a,b]\), nous divisons l'intégrale en deux parties:
\( \int_a^b \frac{1}{x} \, dx = \int_a^c \frac{1}{x} \, dx + \int_c^b \frac{1}{x} \, dx \)

Maintenant, nous prenons la limite lorsque les points d'intégration approchent la discontinuité:
\( \lim_{t \to c^-} \int_a^t \frac{1}{x} \, dx + \lim_{s \to c^+} \int_s^b \frac{1}{x} \, dx \)

Intégration multivariable:
L'intégration peut être étendue aux fonctions de plusieurs variables. Par exemple, les intégrales doubles impliquent d'intégrer une fonction de deux variables sur une région dans le plan:
\( \iint_R f(x, y) \, dx \, dy \)

Pour calculer une intégrale double, nous effectuons généralement deux intégrations successives par rapport à une seule variable, une pour chaque variable. L'ordre d'intégration peut parfois être modifié pour simplifier le calcul.

Les intégrales triples impliquent d'intégrer une fonction de trois variables sur une région dans l'espace:
\( \iiint_V f(x, y, z) \, dx \, dy \, dz \)

Tout comme les intégrales doubles, les intégrales triples peuvent être calculées en effectuant trois intégrations successives par variable.

Intégrales de ligne:
Les intégrales de ligne consistent à intégrer une fonction le long d'une courbe dans le plan ou l'espace. Étant donnée une fonction scalaire \(f(x,y)\) et une courbe \(C\), l'intégrale de ligne est définie comme suit:
\( \int_C f(x,y) \, ds \) où \(ds\) représente une longueur d'arc infinitésimale le long de la courbe.

Les intégrales de ligne peuvent également être définies pour les champs vectoriels. Étant donné un champ vectoriel \( F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j \) et une courbe \(C\), l'intégrale de ligne est définie comme suit:
\( \int_C F \cdot dr = \int_C P \, dx + Q dy \)

Les intégrales de ligne sont utilisées dans diverses applications, telles que le calcul du travail effectué par un champ de force ou la circulation d'un fluide autour d'une courbe.