Racine \(n\)-ième. Exposants rationnels.

La racine n-ième ☰

La racine \(n\)-ième d'un nombre peut être trouvée en utilisant la formule suivante: \( \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n} \) où "\(a\)" est le nombre à extraire la racine, et "\(n\)" est le degré de la racine.
Par exemple, la quatrième racine de 81 peut être trouvée en utilisant la formule ci-dessus:
\( \sqrt[4]{81}=81^\frac{1}{4} \)
Nous pouvons simplifier l'expression ci-dessus en utilisant le fait que 81 est égal à 3 élevé à la quatrième puissance:
\( \sqrt[4]{81}=(3^4)^\frac{1}{4}=3^{4\cdot \frac{1}{4}}=3^1=3 \)
Par conséquent, la quatrième racine de 81 est 3.

Il est important de noter que certaines racines \(n\)-ièmes peuvent être irrationnelles, ce qui signifie qu'elles ne peuvent pas être exprimées comme un rapport de deux entiers. Par exemple, la racine carrée de \(2 (\sqrt{2}) \) est un nombre irrationnel car elle ne peut pas être écrite sous forme de fraction.

Propriétés des racines \(n\)-ièmes:

• Propriété de produit: La racine \(n\)-ième d'un produit est égale au produit des racines \(n\)-ièmes des facteurs. Autrement dit, pour tous les nombres réels non négatifs \(a\) et \(b\) et tout entier positif \(n\), \( \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b} \)
  Par exemple, \( \sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{9}=2\cdot 3=6 \).
• Propriété de quotient: La racine \(n\)-ième d'un quotient est égale au quotient des racines \(n\)-ièmes du numérateur et du dénominateur. Autrement dit, pour tous les nombres réels non négatifs \(a\) et \(b\) où \(b \neq 0 \) et tout entier positif \(n\), \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \)
  Par exemple, \( \sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}=\frac{3}{2} \)
• Propriété de puissance: La racine \(n\)-ième d'une puissance est égale à la puissance de la racine \(n\)-ième. Autrement dit, pour tout nombre réel non négatif \(a\) et tout entier positif \(m\) et \(n\), \( \sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}\)
  Par exemple, \( \sqrt[3]{8^2}=8^\frac{2}{3}=4\)
• Propriété du radicande: Si \(n\) est impair, alors chaque nombre réel non négatif a une racine \(n\)-ième unique. Si \(n\) est pair, alors la racine \(n\)-ième d'un nombre réel non négatif est définie uniquement pour des radicands non négatifs.
  Par exemple, \( \sqrt[3]{-8} = -2 \), mais \( \sqrt{16} = 4 \) et \( \sqrt{-16} \) n'est pas défini parmi les nombres réels.
• Exponentiation: L'exponentiation de la racine \(n\)-ième est une propriété qui nous dit comment élever une racine \(n\)-ième à une puissance. En particulier, pour tout entier positif \(n\), tout nombre réel non négatif \(a\) et tout entier \(m\), \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \)
  Cette propriété signifie que nous pouvons simplifier des expressions comme \( (\sqrt[3]{2})^2 \) en élevant d'abord la racine \(n\)-ième à la puissance, puis en prenant la racine \(n\)-ième du résultat: \( (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{2^2}=\sqrt[3]{4} \)
  
  Nous pouvons également utiliser cette propriété pour simplifier des expressions plus compliquées impliquant des radicaux. Par exemple, nous pouvons simplifier l'expression \( \sqrt[3]{2^5 \cdot 3^2} \) comme suit : \( \small \sqrt[3]{2^5 \cdot 3^2}=\sqrt[3]{2^3 \cdot 2^2 \cdot 3^2}=\sqrt[3]{8\cdot 9\cdot 4}=\sqrt[3]{288} \)
• La racine de la racine de la racine \(n\)-ième: La racine de la racine de la racine \(n\)-ième n'est pas une propriété ou une formule couramment utilisée. Cependant, une interprétation de cette phrase pourrait être la suivante:
  Pour tous les entiers positifs \(m\) et \(n\) et tout nombre réel non négatif \(a\), nous avons: \( \sqrt[m]{ \sqrt[n]{a} }=\sqrt[mn]{a} \)
  Cette propriété nous dit que prendre la racine \(m\)-ième de la racine \(n\)-ième d'un nombre réel non négatif \(a\) revient à prendre la racine \(mn\)-ième de \(a\). Par exemple, nous avons: \( \sqrt[2]{ \sqrt[3]{8} }=\sqrt[2\cdot 3]{2^3}=\sqrt{2} \)
  
  Notez que cette propriété n'est vraie que lorsque \(a\) est non négatif, car la racine \(n\)-ième d'un nombre négatif n'est pas bien définie pour les valeurs paires de \(n\). De plus, bien que cette propriété puisse être utile pour simplifier certaines expressions impliquant des radicaux, elle n'est pas aussi largement applicable que certaines des autres propriétés et formules discutées précédemment.

Ces propriétés et formules des racines \(n\)-ièmes sont utiles pour simplifier et résoudre des problèmes impliquant des radicaux.

Exposants rationnels ☰

Les exposants rationnels, également appelés exposants fractionnaires, sont une manière de représenter les puissances et les racines d'un nombre de manière plus générale et flexible que l'utilisation uniquement d'exposants entiers. Un exposant rationnel est un nombre qui peut être exprimé sous forme d'une fraction, où le numérateur représente la puissance à laquelle la base est élevée, et le dénominateur représente la racine qui est prise.

Par exemple, soit \(a\) un nombre réel positif et \(m\) et \(n\) des entiers positifs. Alors voici quelques exemples d'exposants rationnels:

\( a^\frac{1}{2}=\sqrt{a} \)

\( a^\frac{2}{3}=\sqrt[3]{a^2} \)

\( a^\frac{3}{4}=\sqrt[4]{a^3} \)

\( a^\frac{5}{2}=\sqrt{a^5} \)

En général, nous pouvons définir un exposant rationnel comme suit: \( a^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{a^m} \), où \(a\) est un nombre réel positif, \(m\) est un entier et \(n\) est un entier positif.

Propriétés des exposants:

• Règle du produit: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
  Cette propriété nous dit que lorsque nous multiplions deux nombres ayant la même base, nous pouvons additionner leurs exposants pour obtenir l'exposant du produit.
  Par exemple, \(2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4}=2^7=128 \)
• Règle du quotient: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
  Cette propriété nous dit que lorsque nous divisons deux nombres ayant la même base, nous pouvons soustraire leurs exposants pour obtenir l'exposant du quotient.
  Par exemple, \(\frac{5^7}{5^3} = 5^{7-3}=625 \)
• Règle de la puissance: \( (a^m )^n=a^{m\cdot n} \)
  Cette propriété nous dit que lorsque nous élevons un nombre à une puissance puis élevons le résultat à une autre puissance, nous pouvons multiplier les exposants pour obtenir l'exposant du résultat final.
  Par exemple, \( (2^3 )^4=2^{3\cdot 4}=2^12=4096 \)
• Règle de l'exposant négatif: \( a^{-n}=\frac{1}{a^n} \)
  Cette propriété nous dit que lorsque nous avons un exposant négatif, nous pouvons inverser la base et rendre l'exposant positif.
  Par exemple, \( 2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8} \)
• Règle de l'exposant zéro: \( a^0=1\)
  Cette propriété nous dit que tout nombre élevé à la puissance zéro est égal à un.
  Par exemple, \( 2^0=1 \)
• Règle de l'exposant fractionnaire: \(a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m} \)
  Cette propriété nous dit que lorsque nous avons un exposant fractionnaire, nous pouvons prendre la racine \(n\)-ième de la base élevée à la puissance du numérateur de la fraction.
  Par exemple, \(2^\frac{3}{2}=\sqrt[2]{2^3}=\sqrt{8}=2\sqrt{2} \)
• Règle du produit à la puissance: \((ab)^n=a^n \cdot b^n \)
  Cette propriété nous dit que lorsque nous élevons un produit de deux nombres à une puissance, nous pouvons distribuer la puissance à chaque facteur.
  Par exemple, \( (2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4=16 \cdot 81=1296 \)
• Règle de la puissance d'un quotient: \( (\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n} \)
  Cette propriété nous dit que lorsque nous élevons un quotient de deux nombres à une puissance, nous pouvons distribuer la puissance au numérateur et au dénominateur séparément.
  Par exemple, \( (\frac{3}{2})^4=\frac{3^4}{2^4} =\frac{81}{16} \)
• Règle de la base négative: \( (-a)^n=(-1)^n \cdot a^n \)
  Cette propriété nous dit que lorsque nous élevons un nombre négatif à une puissance paire, le résultat est positif, tandis que si nous l'élevons à une puissance impaire, le résultat est négatif.
  Par exemple, \( (-2)^4=(-1)^4 \cdot 2^4=16 \) , tandis que \( (-2)^3=(-1)^3 \cdot 2^3=-8 \)

Ces propriétés des exposants nous permettent de simplifier des expressions complexes et d'effectuer des opérations sur elles plus facilement. Elles sont importantes non seulement en algèbre, mais aussi dans de nombreux autres domaines des mathématiques et des sciences.