Permutation
En mathématiques, une permutation est un réarrangement d'un ensemble d'objets dans un ordre spécifique. Les permutations sont utilisées pour compter le nombre de façons dont un ensemble d'objets peut être arrangé. Une permutation d'un ensemble S est une fonction bijective \( \sigma \): \(S \rightarrow S \). En d'autres termes, \(\sigma \) (Sigma) est une fonction qui mappe chaque élément de S à un élément unique de S, et chaque élément de S est mappé exactement une fois. Nous pouvons représenter une permutation \( \sigma \) d'un ensemble S en écrivant ses valeurs dans un ordre particulier, par exemple:
\( \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} \)
Cette notation signifie que \( \sigma(1) = 3 \), \( \sigma(2)=1 \), \(\sigma(3)=4 \) et \( \sigma(4)=2 \). En d'autres termes, la première ligne représente les éléments de S dans leur ordre d'origine, et la deuxième ligne représente leur ordre après l'application de la permutation \( \sigma \).
Le nombre de permutations d'un ensemble S avec \(n\) éléments est noté \(n!\), qui se lit "n factoriel". La fonction factorielle est définie comme:
\( n!=n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \ldots 2 \cdot 1 \)
Par exemple, \(5!=5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=120 \), ce qui signifie qu'il y a 120 permutations d'un ensemble avec 5 éléments.
Les permutations peuvent être utilisées pour résoudre divers problèmes de dénombrement. Par exemple, supposons que nous ayons 5 livres différents et que nous voulions les disposer sur une étagère. Le nombre de façons de disposer les livres est donné par le nombre de permutations d'un ensemble avec 5 éléments, qui est \( 5!=120 \).
Un autre exemple est le nombre de façons de sélectionner un comité de 3 personnes parmi un groupe de 10 personnes. Le nombre de façons de sélectionner le comité est donné par le nombre de permutations d'un ensemble avec 10 éléments pris 3 par 3, qui est désigné par \(_{10} P_3 \) et est calculé comme suit:
\( _{10} P_3 =\frac{10!}{(10-3)!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 =720 \)
En général, le nombre de permutations d'un ensemble avec \(n\) éléments pris \(r\) par \(r\) est noté \(_n P_r\) et est calculé comme suit:
\( _n P_r= \frac{n!}{(n-r)!} \)
En conclusion, les permutations sont un concept fondamental en combinatoire et sont utilisées pour compter le nombre de façons dont un ensemble d'objets peut être arrangé. Le nombre de permutations d'un ensemble avec n éléments est \(n!\), et le nombre de permutations de \(r\) éléments pris dans un ensemble de \(n\) éléments est \(_n P_r\).