Polyèdre

Polyèdre ☰

Un polyèdre est un objet géométrique tridimensionnel solide formé en reliant des faces polygonales plates le long de leurs arêtes. Chaque face est un polygone, qui est une forme bidimensionnelle avec des côtés droits. Les coins où les faces se rencontrent sont appelés des sommets, et les lignes droites qui relient ces sommets sont appelées des arêtes.


Les polyèdres peuvent être classés en fonction de diverses propriétés:

⠐ Polyèdres réguliers (solides de Platon): Il existe cinq solides de Platon, dans lesquels toutes les faces sont des polygones réguliers et congruents, et le même nombre de faces se rencontrent à chaque sommet. Ce sont:

Tétraèdre: 4 faces, chacune un triangle (3 triangles équilatéraux se rencontrant à chaque sommet)

Cube (Hexaèdre): 6 faces, chacune un carré (3 carrés se rencontrant à chaque sommet)

Octaèdre: 8 faces, chacune un triangle (4 triangles équilatéraux se rencontrant à chaque sommet)

Dodécaèdre: 12 faces, chacune un pentagone (3 pentagones réguliers se rencontrant à chaque sommet)

Icosaèdre: 20 faces, chacune un triangle (5 triangles équilatéraux se rencontrant à chaque sommet)

⠐ Polyèdres semi-réguliers (solides d'Archimède): Ce sont des polyèdres avec des faces polygonales régulières, mais pas toutes les faces sont identiques. Il existe 13 solides d'Archimède, et ils sont formés par troncature ou expansion des solides de Platon.

Prismes: Les prismes sont des polyèdres avec deux faces polygonales congruentes et parallèles (bases) et un ensemble de faces rectangulaires connectant les arêtes correspondantes des bases.

Pyramides: Les pyramides sont des polyèdres avec une base polygonale et des faces triangulaires se rencontrant en un sommet commun (apex).

Autres polyèdres: Il existe de nombreux autres types de polyèdres qui ne rentrent pas dans les catégories ci-dessus, y compris des polyèdres irréguliers avec des formes de face ou des configurations de sommets non uniformes.

Les propriétés d'un polyèdre peuvent être décrites en utilisant la formule d'Euler, qui relie le nombre de faces (F), de sommets (V) et d'arêtes (E) dans un polyèdre:
\( V-E+F=2 \)

Cette formule est valable pour tout polyèdre convexe, quel que soit sa forme spécifique ou son arrangement de faces.

Prismes ☰

Un prisme est un type spécial de polyèdre, un solide géométrique tridimensionnel avec des faces plates. Les prismes sont caractérisés par deux faces polygonales congruentes et parallèles appelées bases, qui sont reliées par un ensemble de faces rectangulaires. La forme des bases détermine le type de prisme.

Voici quelques propriétés et caractéristiques importantes des prismes:

Bases : Les bases sont des polygones congruents, ce qui signifie qu'ils ont la même forme et la même taille. Elles sont parallèles l'une à l'autre et déterminent la forme globale du prisme. Les prismes courants incluent les prismes triangulaires, rectangulaires et pentagonaux, en fonction des formes de leurs bases.

Faces latérales: Les faces latérales sont les faces rectangulaires qui relient les arêtes correspondantes des bases. Le nombre de faces latérales est égal au nombre de côtés dans le polygone de base. Les faces latérales sont toujours parallèles les unes aux autres.

Arêtes: Un prisme a deux types d'arêtes: les arêtes de base et les arêtes latérales. Les arêtes de base sont les arêtes des polygones de base, tandis que les arêtes latérales relient les sommets des bases. Le nombre d'arêtes dans un prisme est deux fois le nombre de côtés dans le polygone de base plus le nombre d'arêtes latérales.

Sommets: Un prisme a deux ensembles de sommets — un ensemble pour chaque base. Le nombre de sommets dans un prisme est deux fois le nombre de sommets dans le polygone de base.

Prismes droits et obliques : Un prisme droit est un prisme où les arêtes latérales sont perpendiculaires aux polygones de base, ce qui signifie que les faces latérales sont également perpendiculaires aux polygones de base. Dans un prisme oblique, les arêtes latérales ne sont pas perpendiculaires aux polygones de base, ce qui fait que les faces latérales sont inclinées.

Volume: Le volume d'un prisme est calculé en multipliant l'aire de la base \((A)\) par la hauteur \((h)\) du prisme (la distance perpendiculaire entre les bases). La formule pour le volume est: \( \text{Volume}=A \cdot h \)

Surface: La surface d'un prisme est la somme des aires de ses faces, ce qui inclut les aires des bases et des faces latérales. Pour trouver la surface, calculez l'aire du polygone de base, l'aire d'une face latérale, puis multipliez et additionnez les aires en conséquence.

Un prisme dont la base est un parallélogramme est appelé parallélépipède. Les faces opposées d'un parallélépipède sont parallèles et congruentes. Un parallélépipède rectiligne avec un siège rectangulaire est appelé un parallélépipède rectangle. L'aire totale d'un parallélépipède rectangle avec longueur \(a\), largeur \(b\), hauteur \(c\)
est calculée par la formule \( S = 2 ( ab + ac + bc ) \).

Surface du prisme ☰

La surface d'un prisme est l'aire totale de toutes ses faces, y compris les bases et les faces latérales. Pour trouver la surface, vous devrez calculer l'aire de chaque face puis additionner ces aires. Voici une approche étape par étape pour trouver la surface d'un prisme:

Déterminez le polygone de base: Identifiez la forme du polygone de base (par exemple, triangle, rectangle, pentagone). Cette forme sera utilisée pour calculer l'aire des bases.

Calculez l'aire du polygone de base: Utilisez la formule appropriée pour l'aire du polygone de base. Par exemple:
⠐ Triangle: \( \frac{1}{2} \cdot \text{ base } \cdot \text{ hauteur } \)
⠐ Rectangle: \( \text{ longueur } \cdot \text{ largeur } \)
⠐ Polygone régulier (n côtés, longueur du côté s): \( \frac{n \cdot S^2 }{4 \cdot \tan \left( \frac{ \pi }{n} \right) } \)

Calculez l'aire des deux bases: Comme les bases sont congruentes, multipliez l'aire d'une base par 2 pour trouver l'aire totale des deux bases.

Calculez l'aire de la surface latérale: Pour ce faire, vous aurez besoin de la hauteur inclinée \((l)\) de la face latérale et du périmètre de la base \((P)\). La hauteur inclinée est la hauteur du rectangle formant la face latérale. Le périmètre de la base est la somme des longueurs de tous les bords de base. Formule de l'aire de la face latérale donnée par:
\( \text{Aire de la face latérale} = P \cdot l \).
Remarque: Pour un prisme droit, la hauteur inclinée est la même que la hauteur (h) du prisme, qui est la distance perpendiculaire entre les bases.

Additionnez les aires: $$ \text{Surface} = \text{Aire totale des deux bases} + \text{Aire totale des faces latérales} $$

Le volume d'un prisme ☰

Le volume d'un prisme est la quantité d'espace qu'il occupe en trois dimensions. Pour trouver le volume d'un prisme, vous devez déterminer l'aire de sa base et la multiplier par la hauteur du prisme. La hauteur du prisme est la distance perpendiculaire entre les deux bases. Voici une approche étape par étape pour trouver le volume d'un prisme:

Déterminez le polygone de base: Identifiez la forme du polygone de base (par exemple, triangle, rectangle, pentagone). Cette forme sera utilisée pour calculer l'aire de la base.

Calculez l'aire du polygone de base: Utilisez la formule appropriée pour l'aire du polygone de base. Par exemple:
⠐ Triangle: \( \frac{1}{2} \cdot \text{ base } \cdot \text{ hauteur } \)
⠐ Rectangle: \( \text{ longueur } \cdot \text{ largeur } \)
⠐ Polygone régulier (n côtés, longueur du côté s): \( \frac{n \cdot S^2 }{4 \cdot \tan \left( \frac{ \pi }{n} \right) } \)

Déterminez la hauteur du prisme: La hauteur \((h)\) du prisme est la distance perpendiculaire entre les deux bases. Pour un prisme droit, la hauteur est la même que la longueur des arêtes latérales.

Calculez le volume: Multipliez l'aire de la base \((A)\) par la hauteur \((h)\) du prisme: \( \text{Volume}=A \cdot h \)

Prenons un exemple avec un prisme triangulaire droit:
Supposons que nous avons un prisme triangulaire droit avec un triangle de base ayant des côtés de longueur 3, 4 et 5 unités et une hauteur de 6 unités.

• La base est un triangle.
• Le triangle de base est un triangle rectangle avec des côtés de longueur 3 et 4. Son aire est \( \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \) unités carrées.
• La hauteur du prisme est de 6 unités (donnée).
• Le volume du prisme est \( 6 \text{(aire de la base)} \cdot 6 \text{(hauteur)} = 36 \) unités cubes.
  Le volume de ce prisme triangulaire droit est de 36 unités cubes.

Pyramide. Surface latérale et surface totale d'une pyramide. ☰

Une pyramide est un polyèdre tridimensionnel avec une base polygonale et des faces triangulaires se rencontrant en un seul point appelé le sommet. L'exemple le plus célèbre d'une pyramide est les pyramides égyptiennes, qui ont une base carrée et quatre faces triangulaires. Cependant, les pyramides peuvent avoir différentes bases, telles que triangulaires, rectangulaires ou pentagonales, entre autres. Les faces triangulaires sont appelées faces latérales, et leurs arêtes sont appelées arêtes latérales.

Surface latérale d'une pyramide:
La surface latérale d'une pyramide est la somme des aires de ses faces latérales. Pour trouver la surface latérale, vous pouvez utiliser la formule suivante:
\( \text{Surface latérale} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot L \), où \(P\) est le périmètre de la base, et \(L\) est la hauteur inclinée de la pyramide. La hauteur inclinée est la hauteur d'une face triangulaire lorsqu'elle est mesurée le long de sa pente depuis le sommet jusqu'au milieu d'un côté de la base.

Surface totale d'une pyramide:
La surface totale d'une pyramide comprend l'aire de sa base et la surface latérale. Pour trouver la surface totale, utilisez cette formule:
\( \text{Surface totale} = \text{Aire de la base} + \) \( \text{Surface latérale} \).

Ainsi, en fonction de la forme de la base, vous devrez calculer l'aire de la base en conséquence. Par exemple, si vous avez une pyramide carrée, l'aire de la base peut être calculée en utilisant la formule :
\( \text{Aire de la base}=a^2 \), où \(a\) est la longueur d'un côté de la base carrée.

Pour une pyramide triangulaire, également appelée tétraèdre, l'aire de la base peut être calculée en utilisant la formule de Héron ou la moitié de la base fois la hauteur, selon les informations dont vous disposez.

En résumé, pour trouver la surface totale d'une pyramide, calculez séparément l'aire de la base et la surface latérale, puis ajoutez-les ensemble.

Volume d'une pyramide ☰

Le volume d'une pyramide est la quantité d'espace qu'elle occupe en trois dimensions. Pour calculer le volume d'une pyramide, vous avez besoin de connaître l'aire de sa base et sa hauteur. La hauteur d'une pyramide est la distance perpendiculaire entre le sommet et la base, ce qui est différent de la hauteur inclinée.

Voici la formule pour calculer le volume d'une pyramide: $$ \text{Volume}=\frac{1}{3} \cdot \text{Aire de la base} \cdot \text{Hauteur} $$
Décomposons cette formule et discutons-la en détail:

Aire de la base (B): Il s'agit de l'aire de la base polygonale de la pyramide. En fonction de la forme de la base, vous devrez calculer l'aire de la base en conséquence. Par exemple, si vous avez une pyramide carrée, vous pouvez calculer l'aire de la base en utilisant la formule: \(a^2\), où '\(a\)' est la longueur d'un côté de la base carrée. Pour une pyramide triangulaire (tétraèdre), vous pouvez calculer l'aire de la base en utilisant la formule de Héron ou la moitié de la base fois la hauteur, selon les informations dont vous disposez.

Hauteur (h): La hauteur de la pyramide est la distance perpendiculaire entre le sommet et la base. Il est important de ne pas confondre cela avec la hauteur inclinée, qui est la hauteur d'une face triangulaire lorsqu'elle est mesurée le long de sa pente depuis le sommet jusqu'au milieu d'un côté de la base.

\( \frac{1}{3} \): Cette fraction représente la relation entre le volume d'une pyramide et le volume d'un prisme ayant la même aire de base et la même hauteur. En d'autres termes, le volume d'une pyramide est un tiers du volume d'un prisme ayant la même aire de base et la même hauteur.

Une fois que vous avez calculé l'aire de la base et déterminé la hauteur, il suffit de remplacer les valeurs dans la formule du volume et de résoudre pour obtenir le volume.

Exemple:
Supposons que vous ayez une pyramide carrée avec un côté de base de 4 unités et une hauteur de 6 unités. Pour calculer le volume:

Calculez l'aire de la base (B): $$ B=a^2=4^2=16 \text{ unités carrées} $$
Utilisez la formule:

$$ \text{Volume}=\frac{1}{3} \cdot \text{Aire de la base} \cdot \text{Hauteur} =\frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 6=32 \text{unités cubes} $$

Ainsi, le volume de la pyramide carrée est de 32 unités cubes.