Définition et Formule
Le théorème de Pythagore affirme que dans un triangle rectangle, la somme des carrés des deux côtés les plus courts (les côtés adjacents) est égale au carré du côté le plus long (l'hypoténuse).
Mathématiquement, la formule s'exprime comme suit :
\(a^2 + b^2 = c^2\)
- \(a\) et \(b\) représentent les longueurs des côtés adjacents.
- \(c\) est la longueur de l'hypoténuse.
Le théorème porte le nom de Pythagore, un mathématicien grec ancien. Ce principe est fondamental dans de nombreux domaines, tels que l'ingénierie, la physique et l'architecture.
Applications du Théorème de Pythagore
- Calculer les distances entre deux points dans un plan cartésien.
- Déterminer les hauteurs de structures telles que des bâtiments ou des arbres.
- Concevoir des structures stables avec des angles droits précis.
Exemples
Exemple 1 : Trouver l'Hypoténuse
Étant donné un triangle rectangle avec \(a = 3\) et \(b = 4\), calculez l'hypoténuse :
\(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)
Exemple 2 : Hauteur d'une Échelle
Une échelle est appuyée contre un mur. Sa base est à 6 pieds du mur, et l'échelle mesure 8 pieds de long. Trouvez la hauteur où l'échelle touche le mur :
\(b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{8^2 - 6^2} = \sqrt{28}\)
Exemple 3 : Diagonale d'un Carré
Un carré a une diagonale de 10 unités. Trouvez la longueur de ses côtés :
\(a^2 + a^2 = 10^2 \Rightarrow a^2 = 50 \Rightarrow a = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)
Exemple 4 : Aire et Diagonale
Un carré a une aire de 25 unités carrées. Trouvez la longueur de sa diagonale :
\(a^2 = 25 \Rightarrow a = 5\)
\(d^2 = 2a^2 = 2(5^2) = 50 \Rightarrow d = 5\sqrt{2}\)