Similarité et Proportion en Géométrie : Guide Complet avec Exemples

Ratio, proportion et échelle.

Le ratio, la proportion et l'échelle sont des concepts importants en mathématiques et sont fréquemment utilisés dans de nombreux domaines différents, notamment l'ingénierie, la science et la finance. Voici une brève explication de chaque concept:

Ratio: Un ratio est une manière de comparer deux quantités ou plus. Il est exprimé comme le quotient de deux nombres et peut être écrit de différentes manières, comme avec un deux-points \( (3 \div 5) \), avec une fraction \( \frac{3}{5} \) ou sous forme décimale \( (0.6) \). Les ratios peuvent être utilisés pour décrire un large éventail de relations, comme le ratio de garçons par rapport aux filles dans une classe, ou le ratio de la superficie d'un carré par rapport à la superficie d'un cercle.

Proportion: Une proportion est une affirmation selon laquelle deux ratios sont égaux. En d'autres termes, si \( \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \), alors nous disons que \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) sont en proportion.
En mathématiques, une proportion est une affirmation selon laquelle deux ratios sont égaux. Une proportion peut être écrite comme \( \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\), ou comme \( a \div b = c \div d \).

Les propriétés de proportion sont:

Multiplier ou diviser les deux termes d'un ratio par le même nombre non nul ne change pas le ratio ou la relation de proportionnalité.
Par exemple, si \( \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\), alors \( \frac{2a}{2b}=\frac{2c}{2d}\) et \( \frac{a}{2b}=\frac{c}{2d}\)
Si \( \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\), alors \( \frac{b}{a}=\frac{d}{c}\). C'est ce qu'on appelle la propriété inverse de proportion. Cela signifie que si nous échangeons le numérateur et le dénominateur de chaque ratio, nous obtenons toujours une proportion valide.
Si \( \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) et \( \frac{c}{d}=\frac{e}{f}\), alors \( \frac{a}{b}=\frac{e}{f}\). C'est ce qu'on appelle la propriété transitive de proportion. Cela signifie que si deux ratios sont égaux à un troisième ratio, alors ils sont également égaux entre eux.
Si \( \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\), alors \( \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}\). C'est ce qu'on appelle la propriété d'addition de proportion. Cela signifie que si nous ajoutons les deux termes de chaque ratio, nous obtenons toujours une proportion valide.
Si \( \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\), alors \( \frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}\). C'est ce qu'on appelle la propriété de soustraction de proportion. Cela signifie que si nous soustrayons le deuxième terme du premier terme de chaque ratio, nous obtenons toujours une proportion valide.

Échelle: L'échelle est une mesure de la taille ou de l'ampleur de quelque chose par rapport à un point de référence ou standard. En mathématiques, l'échelle est souvent utilisée pour représenter des distances ou des mesures dans un diagramme ou une carte. Par exemple, une carte peut utiliser une échelle de \( 1:1000 \), ce qui signifie qu'une unité sur la carte représente 1000 unités dans le monde réel. Les échelles peuvent également être utilisées pour représenter la taille des objets, comme dans les dessins architecturaux ou les diagrammes d'ingénierie.

Parties proportionnelles

Le sujet des parties proportionnelles est un concept fondamental en géométrie qui concerne la relation entre les longueurs de différents segments de droite. Lorsque deux ou plusieurs segments de droite sont proportionnels, cela signifie que leurs longueurs sont liées de manière fixe.
Le théorème de Thalès est un exemple spécifique d'un théorème de parties proportionnelles qui s'applique aux triangles. Il affirme qu'une droite tracée parallèlement à un côté d'un triangle divise alors les deux autres côtés du triangle en parties proportionnelles.
En d'autres termes, si une droite est tracée parallèlement à un côté d'un triangle, alors les deux segments qu'elle crée sur les deux autres côtés du triangle sont proportionnels à la longueur du côté original.
Cela peut être écrit mathématiquement comme suit: \( \frac{AB}{AC} = \frac{DE}{DF} \), où \(AB\) et \(AC\) sont deux côtés d'un triangle avec \(D\) comme point sur \(AC\) et \(E\) et \(F\) sur \(AB\) et \(BC\) respectivement, et \(DE\) et \(DF\) sont les deux segments créés par la droite parallèle.
Ce théorème est nommé d'après Thalès de Milet, un ancien philosophe et mathématicien grec à qui l'on attribue sa découverte. Le théorème de Thalès est utilisé dans de nombreux domaines des mathématiques et des sciences, notamment la trigonométrie, la physique et l'ingénierie.
Le théorème de Thalès est un outil puissant pour résoudre des problèmes impliquant des triangles et leurs longueurs de côtés. Il nous permet de trouver des longueurs de côtés manquantes ou de prouver des relations entre différentes parties d'un triangle. Il est également un concept clé dans l'étude des triangles semblables, qui sont des triangles qui ont la même forme mais des tailles différentes.

Médianes et bissectrices d'un triangle.
En géométrie, les médianes et les bissectrices sont deux concepts importants associés aux triangles.

Une médiane d'un triangle est un segment de droite qui relie un sommet du triangle au milieu du côté opposé. En d'autres termes, chaque sommet d'un triangle a une médiane correspondante, qui divise le côté opposé en deux segments égaux. Le point où les trois médianes d'un triangle s'intersectent est appelé le centre de gravité. Le centre de gravité est souvent appelé le centre de masse du triangle, car c'est le point où le triangle serait parfaitement équilibré s'il était découpé dans un matériau uniforme.

Les médianes d'un triangle ont plusieurs propriétés importantes, notamment:
1. Chaque médiane divise le triangle en deux triangles plus petits de même aire.
2. La longueur de chaque médiane est égale à la moitié de la longueur du côté correspondant du triangle.
3. Les médianes d'un triangle sont concourantes, ce qui signifie qu'elles s'intersectent toutes au même point (le centre de gravité).

Une bissectrice d'un triangle est une droite ou un segment de droite qui divise l'un des angles du triangle en deux angles congruents. En d'autres termes, chaque angle d'un triangle a une bissectrice d'angle correspondante. Les trois bissectrices d'angle d'un triangle sont concourantes, ce qui signifie qu'elles s'intersectent toutes au même point (appelé le centre du cercle inscrit). Le centre du cercle inscrit est le centre du cercle inscrit, qui est un cercle tangent à tous les trois côtés du triangle.

Les bissectrices d'angle d'un triangle ont plusieurs propriétés importantes, notamment:
1. Le centre du cercle inscrit est equidistant des trois côtés du triangle.
2. Les bissectrices d'angle d'un triangle divisent le côté opposé en deux segments qui sont proportionnels aux côtés adjacents du triangle.
3. La longueur de chaque bissectrice d'angle peut être calculée à l'aide de la formule:
\( l_A = \frac{2ab cos \frac{C}{2}}{a+b} \) où \(a\) et \(b\) sont les longueurs des côtés adjacents de l'angle qui est bissecté, et \(C\) est la mesure de l'angle.

Quadrilatères similaires, triangles similaires. ☰

En géométrie, deux figures sont dites similaires si elles ont la même forme, mais pas nécessairement la même taille. Lorsque deux figures sont similaires, leurs angles correspondants sont congruents et leurs côtés correspondants sont proportionnels.
La similarité est un concept important en géométrie, car elle nous permet de comparer et d'analyser des figures qui peuvent être de tailles ou d'orientations différentes. Deux types de figures similaires courants sont les quadrilatères similaires et les triangles similaires.

Quadrilatères Similaires:
Deux quadrilatères sont similaires si leurs angles correspondants sont congruents et leurs côtés correspondants sont proportionnels. Cela signifie que nous pouvons créer un quadrilatère en agrandissant ou en réduisant l'autre quadrilatère tout en conservant la même forme.
Une propriété importante des quadrilatères similaires est que les rapports de leurs côtés correspondants sont égaux. Cela signifie que si nous connaissons le rapport des longueurs d'un ensemble de côtés correspondants, nous pouvons trouver le rapport des longueurs de tous les autres côtés correspondants.

Triangles Similaires :
Deux triangles sont similaires si leurs angles correspondants sont congruents et leurs côtés correspondants sont proportionnels. Cela signifie que nous pouvons créer un triangle en agrandissant ou en réduisant l'autre triangle tout en conservant la même forme.
Une propriété importante des triangles similaires est que les rapports de leurs côtés correspondants sont égaux. Cette propriété est connue sous le nom de "Théorème de la Proportionnalité des Triangles" ou le "Théorème du Diviseur de Côté". Cela signifie que si nous connaissons le rapport des longueurs d'un ensemble de côtés correspondants, nous pouvons trouver le rapport des longueurs de tous les autres côtés correspondants.
Les triangles similaires sont utilisés dans de nombreux domaines des mathématiques et des sciences, notamment la trigonométrie, la physique et l'ingénierie. Ils sont également utilisés en art et en design, car les triangles similaires peuvent être utilisés pour créer de la perspective et de la profondeur dans les dessins et les peintures.

Signes de similarité des triangles et similarité des triangles rectangles ☰

En géométrie, il existe deux symboles utilisés pour indiquer la similarité entre deux triangles:
Le symbole \( \sim \): Deux triangles sont similaires s'ils ont la même forme, mais pas nécessairement la même taille. Nous utilisons le symbole \( \sim \) pour indiquer que deux triangles sont similaires. Par exemple, \( \Delta ABC \sim \Delta XYZ \) indique que les triangles \(ABC\) et \(XYZ\) sont similaires.
Le symbole \( \cong \): Deux triangles sont congruents s'ils ont la même forme et la même taille. Nous utilisons le symbole \( \cong \) pour indiquer que deux triangles sont congruents. Par exemple, \( \Delta ABC \cong \Delta XYZ \) indique que les triangles \(ABC\) et \(XYZ\) sont congruents.
En ce qui concerne les triangles rectangles , il y a quelques propriétés supplémentaires à considérer. Si deux triangles rectangles ont un angle aigu qui est congruent et si la longueur de l'hypoténuse d'un triangle est proportionnelle à la longueur de l'hypoténuse de l'autre triangle, alors les deux triangles rectangles sont similaires. Cette propriété est connue sous le nom de critère de similarité "Hypoténuse-Côté" ou "HL".

Une autre propriété importante des triangles rectangles similaires est le rapport des longueurs de leurs côtés correspondants. Ce rapport est connu sous le nom de "rapports trigonométriques" et est défini comme suit:

Sinus: Le sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle est défini comme le rapport de la longueur du côté opposé à la longueur de l'hypoténuse.
Cosinus: Le cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle est défini comme le rapport de la longueur du côté adjacent à la longueur de l'hypoténuse.
Tangente: La tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle est définie comme le rapport de la longueur du côté opposé à la longueur du côté adjacent.

Ces rapports trigonométriques sont largement utilisés en trigonométrie, qui est la branche des mathématiques qui traite des relations entre les angles et les côtés des triangles.

Aire des figures similaires

Les figures similaires sont deux ou plusieurs figures qui ont la même forme mais qui peuvent être de tailles différentes. Par exemple, deux rectangles peuvent être similaires même si l'un est plus grand que l'autre. L'aire des figures similaires peut être déterminée en utilisant les théorèmes et formules suivants:

Théorème des côtés proportionnels: Si deux figures sont similaires, alors le rapport de leurs côtés correspondants est égal. En d'autres termes, si deux rectangles sont similaires, alors le rapport de leurs longueurs et largeurs sera le même.
Théorème des périmètres proportionnels: Si deux figures sont similaires, alors le rapport de leurs périmètres est égal au rapport de leurs côtés correspondants. En d'autres termes, si deux rectangles sont similaires, alors le rapport de leurs périmètres sera le même que le rapport de leurs longueurs et largeurs.
Théorème des aires proportionnelles: Si deux figures sont similaires, alors le rapport de leurs aires est égal au carré du rapport de leurs côtés correspondants. En d'autres termes, si deux rectangles sont similaires, alors le rapport de leurs aires sera le même que le carré du rapport de leurs longueurs et largeurs.

Avec ces théorèmes, nous pouvons utiliser les formules suivantes pour trouver l'aire des figures similaires:

Si deux rectangles sont similaires , alors le rapport de leurs aires est égal au carré du rapport de leurs longueurs et largeurs:

\( \frac{A_1}{A_2}=(\frac{l_1}{l_2})^2 = (\frac{w_1}{w_2})^2\) où \(A_1\) et \(A_2\) sont les aires des deux rectangles, \(l_1\) et \(l_2\) sont leurs longueurs, et \(w_1\) et \(w_2\) sont leurs largeurs.
Si deux triangles sont similaires , alors le rapport de leurs aires est égal au carré du rapport de leurs côtés correspondants:

\( \frac{A_1}{A_2}=(\frac{S_1}{S_2})^2\) où \(A_1\) et \(A_2\) sont les aires des deux triangles, et \(s_1\) et \(s_2\) sont les longueurs de leurs côtés correspondants.
Si deux cercles sont similaires , alors le rapport de leurs aires est égal au carré du rapport de leurs rayons:

\( \frac{A_1}{A_2}=(\frac{r_1}{r_2})^2\) où \(A_1\) et \(A_2\) sont les aires des deux cercles, et \(r_1\) et \(r_2\) sont leurs rayons.

En résumé, pour trouver l'aire des figures similaires, nous utilisons le théorème des aires proportionnelles ainsi que la formule appropriée pour le type de figures avec lesquelles nous travaillons.