Racine carrée. Nombres réels.

Racine carrée ☰

Un nombre dont le carré est égal à \(a\) est appelé la racine carrée de \(a\).

• La racine carrée d'un nombre positif \(a\) est écrite comme \(\sqrt{x}\)
• La racine carrée d'un nombre négatif est indéfinie dans le système de nombres réels. Elle est notée \(\sqrt{-a}\)
• Propriété multiplicatrice: La racine carrée du produit de deux nombres est égale au produit de leurs racines carrées.
  Mathématiquement \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}\) .
• La racine carrée d'un quotient est égale au quotient des racines carrées du numérateur et du dénominateur:
  \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
• Le seul nombre dont le carré est égal à zéro est "0". Autrement dit, la racine carrée de zéro est zéro.
  \(\sqrt{0}=0\)
• La racine carrée d'une puissance est égale à la puissance de la racine carrée: \(\sqrt[m]{a^n} = a^{\frac{n}{m}}\)

Nombres réels ☰

Les nombres réels sont un type de nombre utilisé en mathématiques qui inclut tous les nombres rationnels et irrationnels. Ils sont représentés par le symbole "\(R\)" et sont utilisés pour représenter des quantités pouvant être mesurées, comptées ou calculées.
Les nombres rationnels sont des nombres qui peuvent être exprimés comme le rapport de deux entiers, tels que \(\frac{2}{3}\) ou \(-\frac{4}{7}\). Les nombres irrationnels, en revanche, sont des nombres qui ne peuvent pas être exprimés comme le rapport de deux entiers et ont un nombre infini de décimales non périodiques, tels que pi (\(\pi\)) ou la racine carrée de (\(\sqrt{2}\)).
Ensemble, les nombres rationnels et irrationnels constituent l'ensemble des nombres réels. Les nombres réels sont généralement représentés sur une droite numérique, qui est une ligne horizontale avec un point zéro au centre, et les nombres négatifs à gauche et les nombres positifs à droite.
Les nombres réels sont utilisés dans divers concepts mathématiques, tels que l'algèbre, le calcul et la géométrie, et sont essentiels dans de nombreuses applications scientifiques et techniques. Ils sont également utilisés dans la vie quotidienne, comme dans les mesures de distance, de temps, de température et de poids.

Propriétés des nombres réels.

• Propriété de clôture: La somme ou le produit de deux nombres réels est toujours un nombre réel.
• Propriété commutative: L'ordre des termes n'affecte pas la somme ou le produit de deux nombres réels. Autrement dit, \(a+b=b+a\) et \(ab=ba\) pour tout nombre réel \(a\) et \(b\)
• Propriété associative: Le regroupement des termes n'affecte pas la somme ou le produit de trois nombres réels ou plus.
  Autrement dit, \((a+b)+c=a+(b+c)\) et \((ab)c=a(bc)\) pour tout nombre réel \(a\), \(b\) et \(c\).
• Propriété distributive: La multiplication se distribue sur l'addition. Autrement dit, \(a(b+c)=ab+ac\) et \((a+b)c=ac+bc\) pour tout nombre réel \(a\), \(b\) et \(c\).
• Élément neutre: La somme d'un nombre réel et de 0 est le même nombre réel. Autrement dit, \(a+0=a\) pour tout nombre réel \(a\). Le produit d'un nombre réel et de 1 est le même nombre réel. Autrement dit, \(a \cdot 1 = a \) pour tout nombre réel \(a\)
• Élément inverse: La somme d'un nombre réel et de son inverse additif (opposé) est 0. Autrement dit, \(a+(-a)=0\) pour tout nombre réel \(a\). Le produit d'un nombre réel non nul et de son inverse multiplicatif (réciproque) est 1. Autrement dit, \(\frac{a\cdot1}{a}=1\) pour tout nombre réel non nul \(a\).
• Propriété transitive: Si \(a < b\) et \(b < c\), alors \(a < c\) pour tout nombre réel \(a\), \(b\) et \(c\).
• Propriété de la trichotomie: Pour tout deux nombres réels distincts \(a\) et \(b\), exactement l'une des alternatives suivantes est vraie: \(a < b \), \(a=b\) ou \(a> b \).
• Propriété archimédienne: Pour tout deux nombres réels positifs \(a\) et \(b\), il existe \(a\) un nombre naturel \(n\) tel que \( na > b \)

Nombres rationnels ☰

En mathématiques, un nombre rationnel est un nombre qui peut être exprimé comme le rapport de deux entiers, où le dénominateur n'est pas égal à zéro. En d'autres termes, un nombre rationnel est une fraction où le numérateur et le dénominateur sont tous deux des entiers.
Par exemple: \(\frac{2}{3}\), \(\frac{5}{8}\) et \(-\frac{7}{11}\) sont tous des nombres rationnels. Cependant, des nombres tels que \(\sqrt{2}\) ou \(\pi\) (pi) ne sont pas rationnels, car ils ne peuvent pas être exprimés comme un rapport de deux entiers.
Les nombres rationnels ont quelques propriétés importantes, notamment la clôture sous l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. Cela signifie que si vous ajoutez, soustrayez, multipliez ou divisez deux nombres rationnels, le résultat sera également un nombre rationnel.
Les nombres rationnels ont également une expansion décimale, qui peut être soit finie soit périodique. Par exemple, \(\frac{2}{5}\) peut être écrit comme un décimal \(0.4\), et \(\frac{1}{3}\) peut être écrit comme un décimal périodique \(0.333…\). L'expansion décimale d'un nombre rationnel peut être obtenue en divisant le numérateur par le dénominateur.
De plus, l'ensemble des nombres rationnels est dense dans la droite des nombres réels, ce qui signifie qu'entre deux nombres rationnels distincts, il existe un autre nombre rationnel. Cette propriété est utile pour approximer les nombres réels avec des nombres rationnels.

Nombres Irrationnels ☰

En mathématiques, un nombre irrationnel est un nombre réel qui ne peut pas être exprimé comme un rapport de deux entiers, ou comme un décimal périodique ou fini. Les nombres irrationnels sont des nombres décimaux infinis non périodiques qui ne peuvent pas être exprimés exactement comme une fraction.
Par exemple, pi \( (\pi) \), la racine carrée de 2 \( (\sqrt{2}) \), et \( e \) (la base du logarithme naturel) sont tous des exemples de nombres irrationnels. Contrairement aux nombres rationnels, qui ont une représentation décimale finie ou périodique, les nombres irrationnels ont une expansion décimale infinie et non périodique.
La représentation décimale d'un nombre irrationnel peut être calculée avec une précision désirée, mais elle ne se terminera jamais ou ne se répétera jamais. Par exemple, la valeur de pi peut être approximée à n'importe quel nombre de décimales désiré, mais elle ne sera jamais exprimée exactement comme un rapport de deux entiers.
Les nombres irrationnels ont quelques propriétés importantes. Ils sont clos sous l'addition, la soustraction et la multiplication, ce qui signifie que si vous ajoutez, soustrayez ou multipliez deux nombres irrationnels, le résultat sera également irrationnel. Cependant, lorsque l'on ajoute un nombre irrationnel à un nombre rationnel, le résultat est toujours un nombre irrationnel.
L'ensemble des nombres irrationnels, avec l'ensemble des nombres rationnels, forme l'ensemble des nombres réels. Les nombres réels sont utilisés de manière extensive en calcul, en analyse et dans d'autres branches des mathématiques.

Entiers ☰

En mathématiques, les entiers sont un ensemble de nombres entiers comprenant zéro, les nombres entiers positifs \( (1,2,3,...) \), et les nombres entiers négatifs \( (-1,-2,-3,...) \). Les entiers sont notés par le symbole "\(Z\)" et sont représentés sur la droite numérique par des points également espacés dans les directions positives et négatives.

Nombres naturels ☰

En mathématiques, les nombres naturels sont l'ensemble des entiers positifs \( (1,2,3,...) \) qui sont utilisés pour compter ou étiqueter des objets. Les nombres naturels sont notés par le symbole "\(N\)" et sont un sous-ensemble de l'ensemble des entiers.

Fonction carrée ☰

La fonction \(y=x^2\) est une fonction polynomiale du second degré qui associe chaque nombre réel \(x\) à son carré, ou au produit de \(x\) par lui-même. En d'autres termes, la valeur de \(y\) est égale au carré de l'entrée \(x\).
Le graphique de cette fonction est une parabole qui s'ouvre vers le haut, et elle est symétrique par rapport à l'axe des \(y\). Le sommet de la parabole est à l'origine \( (0,0) \), et lorsque \(x\) augmente ou diminue à partir de zéro, la valeur de \(y\) augmente également.

Voici quelques propriétés de la fonction \(y=x^2\):

• Domaine: Le domaine de la fonction est l'ensemble des nombres réels, car tout nombre réel peut être mis au carré.
• Plage: La plage de la fonction est l'ensemble des nombres réels non négatifs, car le carré de tout nombre réel est non négatif.
• Zéros: La fonction n'a qu'un seul zéro à \(x=0\), car le carré de tout nombre différent de zéro est positif.
• Symétrie: La fonction est symétrique par rapport à l'axe des \(y\), ce qui signifie que remplacer \(x\) par \(-x\) dans l'équation \( y=x^2 \) ne change pas la valeur de \(y\).
• Concavité: La fonction est concave vers le haut, ce qui signifie que le taux de variation de la fonction augmente lorsque \(x\) s'éloigne de \(0\) dans n'importe quelle direction.
• Deuxième dérivée: La deuxième dérivée de la fonction est une constante égale à 2, ce qui est positif, ce qui indique que la fonction est concave vers le haut et a un minimum au sommet.
• Forme du sommet: \( y=(x-h)^2 + k \). Il s'agit d'une forme alternative pour \( y=x^2 \) qui peut être utile lors du tracé de la fonction ou de la recherche de caractéristiques clés. Dans cette forme, les coordonnées du sommet sont \( (h,k) \). Pour la fonction \( y=x^2 \), le sommet est à \( (0,0) \), donc la forme du sommet serait \( y=(x-0)^2 +0 \), ce qui se simplifie en \(y=x^2 \).
• Forme factorisée: \( y=(x-a)(x+a) \). Il s'agit d'une façon de factoriser la fonction \( y=x^2 \) en deux binômes. Dans cette forme, les intercepts \(x\) de la parabole sont situés à \( (a,0) \) et \( (-a,0) \). Pour la fonction \( y=x^2 \), la forme factorisée serait \( y=(x-0)(x+0) \), ce qui se simplifie en \( y=x^2 \).

La fonction \(y = \sqrt{x} \)

La fonction \(y = \sqrt{x}\) est la fonction racine carrée, qui associe les nombres réels non négatifs à leurs racines carrées. En d'autres termes, pour toute valeur non négative de \(x\), la racine carrée de \(x\) (qui est toujours positive) est la valeur de \(y\).

Voici quelques caractéristiques clés de la fonction racine carrée:

• Domaine: Le domaine de la fonction racine carrée est l'ensemble des nombres réels non négatifs, ou \( [0, +\infty) \). C'est parce que la racine carrée d'un nombre négatif n'est pas un nombre réel.
• Plage: La plage de la fonction racine carrée est également l'ensemble des nombres réels non négatifs, ou \( [0, +\infty) \). C'est parce que la racine carrée d'un nombre non négatif est toujours un nombre non négatif.
• Graphique: Le graphique de la fonction racine carrée est une courbe qui commence au point \( (0,0) \) et augmente progressivement lorsque \(x\) augmente. La courbe approche l'axe des \(x\) mais ne le touche jamais, car la racine carrée de 0 est 0, mais la fonction n'est pas définie pour les valeurs négatives de \(x\).
• Augmentation: La fonction racine carrée est une fonction croissante, ce qui signifie que lorsque \(x\) augmente, \(y\) augmente également.
  Quelques exemples de paires entrée-sortie pour la fonction racine carrée sont:
  
  • \(x=0, y=\sqrt{0}=0\)
  • \(x=1, y=\sqrt{1}=1\)
  • \(x=4, y=\sqrt{4}=2\)
  • \(x=9, y=\sqrt{9}=3\)

Exposants.

Les exposants sont une notation abrégée pour écrire une multiplication répétée d'un nombre ou d'une expression par lui-même. Un exposant est un petit nombre ou un symbole qui est écrit au-dessus et à droite d'un nombre de base ou d'une expression. L'exposant indique combien de fois la base est multipliée par elle-même.
Le format de base pour écrire un exposant est: \( a^n \)
Nombre de base ou expression élevé à la puissance d'un exposant.
Par exemple, 2 élevé à la puissance de 3 (écrit \( 2^3 \) signifie que 2 est multiplié par lui-même trois fois:
\(2^3=2\cdot 2\cdot 2=8.\)

Voici quelques concepts clés et règles associés aux exposants: \(a \neq 0, b \neq 0 \).

• Règle du produit: Lorsque vous multipliez deux puissances avec la même base, ajoutez leurs exposants: \(a^m \cdot a^n=a^{m+n}\)
• Règle du quotient: Lorsque vous divisez deux puissances avec la même base, soustrayez leurs exposants: \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)
• Règle de la puissance: Lorsque vous élevez une puissance à une autre puissance, multipliez leurs exposants: \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\)
• Règle de l'exposant négatif: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)
• Règle de l'exposant nul: \(a^0=1\)
• Règle du produit de puissances: Pour trouver la puissance d'un produit, élevez chaque facteur à la puissance et multipliez:
  \( (ab)^n= a^n \cdot b^n \)
• Règle du quotient de puissances: Pour trouver la puissance d'un quotient, élevez le numérateur et le dénominateur à la puissance et divisez:
  \( ( \frac{a}{b} )^n = \frac{a^n}{b^n} \)

Fonctions exponentielles:

Une fonction exponentielle est une fonction de la forme \( f(x) = a^x \), où \(a\) est une constante positive appelée la base de la fonction. La valeur de \(a\) détermine la forme du graphique de la fonction. Les fonctions exponentielles croissent ou décroissent à un taux constant, qui est déterminé par la valeur de \(a\).

Notation scientifique:

La notation scientifique est une manière d'écrire des nombres très grands ou très petits en utilisant des exposants. En notation scientifique, un nombre est écrit comme un nombre décimal entre \(1\) et \(10\), multiplié par une puissance de \(10\). Par exemple, le nombre \( 3,000,000 \) peut être écrit comme \( 3 \cdot 10^6 \), et le nombre \( 0.00005 \) peut être écrit comme \( 5 \cdot 10^{-5} \).
Les exposants sont un concept fondamental en mathématiques, et ils ont de nombreuses applications pratiques dans des domaines tels que la science, l'ingénierie, la finance et l'informatique.