Rapports trigonométriques. Méthode des coordonnées. Transformation des figures.

Triangle rectangle et rapports trigonométriques ☰

Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle intérieur mesurant 90 degrés, également connu sous le nom d' "angle droit". Le côté opposé à l'angle droit est appelé l'hypoténuse, tandis que les deux autres côtés sont appelés les côtés de l'angle droit.
Les rapports trigonométriques sont des fonctions mathématiques qui relient les angles et les côtés d'un triangle rectangle. Il existe six rapports trigonométriques, qui sont communément abrégés en "sin", "cos", "tan", "csc", "sec" et "cot". Chaque rapport représente le rapport de deux côtés du triangle, et le rapport dépend de l'angle considéré.

Les trois principaux rapports trigonométriques sont sinus, cosinus et tangente. Voici comment définir chacun d'eux:

• Sinus: Le sinus d'un angle est le rapport de la longueur du côté opposé à l'angle à la longueur de l'hypoténuse.
  En d'autres termes, \( \sin(\theta) = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} \).
• Cosinus: Le cosinus d'un angle est le rapport de la longueur du côté adjacent à la longueur de l'hypoténuse.
  En d'autres termes, \( \cos(\theta) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} \).
• Tangente: La tangente d'un angle est le rapport de la longueur du côté opposé à l'angle à la longueur du côté adjacent.
  En d'autres termes, \( \tan(\theta) = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} \).

Les trois autres rapports trigonométriques sont des fonctions réciproques des rapports trigonométriques primaires. La réciproque du sinus est la cosécante (csc), la réciproque du cosinus est la sécante (sec), et la réciproque de la tangente est la cotangente (cot).

• Cosécante: \( \csc(\theta) = \frac{\text{hypoténuse}}{\text{opposé}} \).
• Sécante: \( \sec(\theta) = \frac{\text{hypoténuse}}{\text{adjacent}} \).
• Cotangente: \( \cot(\theta) = \frac{\text{adjacent}}{\text{opposé}} \).

Les rapports trigonométriques sont utilisés dans de nombreux domaines différents, notamment en physique, en ingénierie et en mathématiques. Ils sont particulièrement utiles pour résoudre des problèmes impliquant des triangles rectangles, tels que la recherche d'angles ou de côtés manquants.

Identités trigonométriques ☰

Les identités trigonométriques sont des équations impliquant des fonctions trigonométriques qui sont vraies pour toutes les valeurs des variables dans l'équation. Ces identités peuvent être utilisées pour simplifier des expressions, prouver d'autres résultats mathématiques et résoudre divers problèmes en mathématiques, en sciences et en ingénierie.
Il existe de nombreuses identités trigonométriques, et elles peuvent être classées en plusieurs catégories différentes en fonction de leur forme et des fonctions impliquées. Certaines des identités trigonométriques les plus couramment utilisées comprennent:

• Identités pythagoriciennes: Ces identités impliquent le théorème de Pythagore, qui stipule que dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Les identités pythagoriciennes sont:
• \( \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \)
• \( \tan^2(\theta) + 1 = \sec^2(\theta) \)
• \( \cot^2(\theta) + 1 = \csc^2(\theta) \)
• Identités réciproques: Ces identités impliquent les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques primaires (sinus, cosinus et tangente). Les identités réciproques sont:
• \( \csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)} \)
• \( \sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)} \)
• \( \cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)} \)
• Identités de quotient: Ces identités impliquent le quotient de deux fonctions trigonométriques. Les identités de quotient sont:
• $$ \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} $$ et $$ \cot(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} $$
• Identités paire/impaire: Ces identités impliquent les propriétés de symétrie des fonctions trigonométriques. Les identités paire/impaire sont:
• \( \sin(-\theta) = -\sin(\theta) \)
• \( \cos(-\theta) = \cos(\theta) \)
• \( \tan(-\theta) = -\tan(\theta) \)
• Identités de somme et différence d'angles: Ces identités impliquent la somme ou la différence de deux angles. Les identités de somme et différence d'angles sont:
• $$ \sin(a \pm b) = \sin(a)\cos(b) \pm \cos(a)\sin(b) $$
• $$ \cos(a \pm b) = \cos(a)\cos(b) \mp \sin(a)\sin(b) $$
• $$ \tan(a \pm b) = \frac{\tan(a) \pm \tan(b)}{1 \mp \tan(a)\tan(b)} $$

Les identités trigonométriques sont utilisées dans diverses applications, notamment en physique, en ingénierie et en mathématiques. Elles sont particulièrement utiles pour simplifier des expressions, évaluer des intégrales et résoudre des équations impliquant des fonctions trigonométriques. En mémorisant ces identités et en comprenant comment les appliquer, on peut devenir compétent dans la manipulation des fonctions trigonométriques et la résolution d'une large gamme de problèmes.

Coordonnées du milieu d'un segment ☰

Les coordonnées du milieu d'un segment de droite dans un plan cartésien peuvent être trouvées à l'aide de la formule du milieu. Si les deux extrémités du segment de droite ont les coordonnées \( (x_1, y_1) \) et \( (x_2, y_2) \), alors les coordonnées du milieu sont:

\(\left(\frac{{x_1 + x_2}}{2}, \frac{{y_1 + y_2}}{2}\right) \).

Cette formule fonctionne car le milieu d'un segment de droite est le point situé exactement à mi-chemin entre les deux extrémités. Pour trouver le milieu, nous additionnons les coordonnées \(x\) des extrémités et divisons par 2 pour obtenir la coordonnée \(x\) du milieu. De même, nous additionnons les coordonnées \(y\) des extrémités et divisons par 2 pour obtenir la coordonnée \(y\) du milieu.

Par exemple, si les extrémités d'un segment de droite sont \((3,2)\) et \((9,8)\), les coordonnées du milieu sont:

\(\left(\frac{3 + 9}{2}, \frac{2 + 8}{2}\right) = (6, 5)\)
Cela signifie que le milieu du segment de droite est le point \( (6,5) \).

Équation de la droite passant par deux points ☰

L'équation d'une droite passant par deux points \( (x_1, y_1) \) et \( (x_2, y_2) \) peut être trouvée en utilisant la formule de la pente-point:
\( y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_1) \), où \( m \) est la pente de la droite, et \( (x, y) \) est n'importe quel point sur la droite.
Pour utiliser la formule de la pente-point, nous trouvons d'abord la pente de la droite en utilisant la formule de la pente: \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \).
Une fois que nous avons la pente, nous pouvons remplacer les coordonnées d'un des points, disons \( (x_1, y_1) \), et simplifier l'équation pour obtenir la forme finale: \( y - y_1 = m(x - x_1) \).
Cette forme est connue sous le nom de forme pente-point de l'équation d'une droite. Alternativement, nous pouvons simplifier davantage cette équation en l'expansant et en la réarrangeant en la forme intercetion de pente: \( y = mx - mx_1 + y_1 \)
Cette forme est souvent préférée car elle permet de voir plus facilement l'ordonnée à l'origine de la droite, qui est la valeur de \( y \) lorsque \( x = 0 \).

Par exemple, si nous avons deux points \( (2,4) \) et \( (5,8) \), nous pouvons trouver l'équation de la droite passant par ces points comme suit:
Tout d'abord, nous trouvons la pente de la droite: \( m = \frac{8 - 4}{5 - 2} = \frac{4}{3} \)
Ensuite, nous pouvons utiliser l'une des deux formes pente-point de l'équation d'une droite pour trouver l'équation de la droite. Utilisons la première forme: \( y - 4 = \frac{4}{3} (x - 2) \)
En développant et en simplifiant, nous obtenons:
\( y = \frac{4}{3} x - \frac{8}{3} + 4 = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \)
C'est la forme intercetion de pente de l'équation de la droite passant par les points \( (2,4) \) et \( (5,8) \).

La formule de la pente-point peut être exprimée comme:
\( y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1) \)
Et la forme intercetion de pente peut être exprimée comme: \( y = mx + b \) où \( m \) est la pente et \( b \) est l'ordonnée à l'origine.

Transformation des figures, rotation. ☰

Transformer des figures implique de déplacer une figure donnée vers une nouvelle position sans changer sa forme. Il existe quatre principaux types de transformations de formes:

• Translation: Une translation consiste à déplacer une figure d'une position à une autre, sans changer sa taille ou sa forme. Cette transformation est également appelée glissement ou décalage. En translation, chaque point de la figure se déplace de la même distance et dans la même direction.
• Rotation: Une rotation consiste à tourner une figure autour d'un point fixe d'un certain angle. Dans cette transformation, la forme et la taille de la figure restent les mêmes. Une rotation peut être dans le sens horaire ou dans le sens antihoraire.
• Reflection: Une réflexion consiste à retourner une figure autour d'une ligne appelée ligne de réflexion ou ligne de miroir. Chaque point de la figure est réfléchi par rapport à la ligne, créant une image miroir de la figure originale.
• Dilatation: Une dilatation consiste à changer la taille d'une figure en l'étirant ou en la réduisant. Dans cette transformation, la forme de la figure reste la même, mais sa taille est soit augmentée, soit réduite.

Les transformations des figures peuvent être effectuées sur le plan cartésien en utilisant des équations algébriques. Par exemple, une translation d'une figure peut être réalisée en ajoutant ou en soustrayant une quantité fixe des coordonnées x et y de chaque point de la figure. Une rotation peut être effectuée en utilisant les formules de rotation pour trouver les nouvelles coordonnées de chaque point après la rotation. Une réflexion peut être effectuée en utilisant les formules de réflexion pour trouver les nouvelles coordonnées de chaque point après la réflexion. Une dilatation peut être effectuée en multipliant les coordonnées x et y de chaque point par un facteur d'échelle.
Les transformations des figures sont utilisées dans de nombreux domaines des mathématiques et des sciences, tels que la graphique informatique, l'ingénierie et la physique. Elles sont également utilisées dans l'art et le design pour créer des motifs et des designs intéressants et esthétiques.

Rotation est l'une des transformations de base qui peuvent être appliquées aux figures 2D. Une rotation est une transformation dans laquelle une figure est tournée autour d'un point fixe appelé le centre de rotation. La figure est tournée d'un certain angle \( \theta \) dans le sens des aiguilles d'une montre ou dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.
La rotation d'une figure est effectuée en faisant tourner chaque point de la figure du même angle \( \theta \) autour du centre de rotation. La distance entre le centre de rotation et chaque point de la figure reste constante après la rotation. La figure résultante est appelée l'image de la figure originale.
Pour effectuer une rotation d'une figure, nous devons connaître le centre de rotation et l'angle de rotation. Le centre de rotation peut être n'importe quel point dans le plan. L'angle de rotation est mesuré en degrés ou en radians et peut être positif (dans le sens contraire des aiguilles d'une montre) ou négatif (dans le sens des aiguilles d'une montre).

Si une figure est tournée d'un angle \( \theta \) autour de l'origine \((0,0) \), nous pouvons utiliser les formules suivantes pour trouver les coordonnées du point tourné \((x',y' ) \) étant donné les coordonnées du point original \((x,y)\):
\( x' = x\cos(\theta) - y\sin(\theta) \)
\( y' = x\sin(\theta) + y\cos(\theta) \)

Si une figure est tournée d'un angle \( \theta \) autour d'un point \((h,k)\), nous pouvons utiliser les formules suivantes pour trouver les coordonnées du point tourné \((x',y' ) \) étant donné les coordonnées du point original \((x,y)\):
\( x' = (x - h)\cos(\theta) - (y - k)\sin(\theta) + h \)
\( y' = (x - h)\sin(\theta) + (y - k)\cos(\theta) + k \)
Ces formules peuvent être utilisées pour tourner n'importe quel point dans le plan autour de n'importe quel centre de rotation.

Pour visualiser une rotation, considérez l'exemple suivant:
Supposons que nous voulions tourner le point \((2,3)\) d'un angle de \(90^\circ \) dans le sens antihoraire autour de l'origine \( (0,0) \). En utilisant les formules de rotation, nous obtenons:
\( x^{\prime} = 2\cos 90^\circ - 3\sin 90^\circ = -3 \)
\( y^{\prime} = 2\sin 90^\circ + 3\cos 90^\circ = 2\)
Ainsi, le point tourné est \( (-3,2) \). Nous pouvons vérifier cela en plaçant le point \( (2,3) \) et le point \( (-3,2) \) sur un plan cartésien et en vérifiant visuellement que le point tourné est obtenu en faisant tourner le point original de \( 90^\circ \) dans le sens antihoraire autour de l'origine.

Les formules de rotation peuvent être exprimées comme:
\( x' = x\cos(\theta) - y\sin(\theta) \)
\( y' = x\sin(\theta) + y\cos(\theta) \)
\( x' = (x - h)\cos(\theta) - (y - k)\sin(\theta) + h \)
\( y' = (x - h)\sin(\theta) + (y - k)\cos(\theta) + k \)

Transformation de similitude. Homothétie. ☰

La transformation de similitude et l'homothétie sont deux concepts mathématiques utilisés pour décrire les transformations géométriques dans le plan. Les deux transformations préservent la forme des objets, mais diffèrent dans la façon dont elles changent leur taille et leur orientation.

Transformation de similitude:
Une transformation de similitude est une transformation qui préserve la forme d'un objet tout en changeant sa taille et son orientation. Cela signifie que si deux objets sont similaires, l'un peut être transformé en l'autre par une transformation de similitude. Une transformation de similitude consiste en une combinaison d'une dilatation (mise à l'échelle) et d'une rotation.
Plus spécifiquement, une transformation de similitude d'un point dans le plan consiste à multiplier ses coordonnées par un facteur d'échelle \(k\) et à le faire tourner d'un angle \( \theta \). La transformation peut être écrite comme suit:
\( (x',y' )= k(R( \theta )(x,y)) \) où \((x,y) \) sont les coordonnées du point original, \((x',y') \) sont les coordonnées du point transformé, \(k\) est le facteur d'échelle, et \( R( \theta ) \) est la matrice de rotation avec l'angle \( \theta \).

Quelques propriétés importantes des transformations de similitude comprennent:

• Ils préservent les angles entre les lignes.
• Ils préservent le rapport des distances entre deux points sur l'objet.
• Ils ne changent pas l'orientation (sens horaire ou antihoraire) de l'objet.

Une homothétie est un type de transformation de similitude qui n'implique que la dilatation (mise à l'échelle) d'un objet. En d'autres termes, une homothétie est une transformation qui préserve la forme d'un objet tout en changeant sa taille. Une homothétie peut être décrite par un seul paramètre, le facteur d'échelle \(k\).
Mathématiquement, une homothétie d'un point dans le plan consiste à multiplier ses coordonnées par un facteur d'échelle \(k\). La transformation peut être écrite comme suit: \( (x',y' )= k(x,y) \), où \((x,y)\) sont les coordonnées du point original, et \( (x',y') \) sont les coordonnées du point transformé.

Quelques propriétés importantes des homothéties comprennent:

• Ils préservent la forme d'un objet.
• Ils changent la taille de l'objet, mais pas son orientation.
• Ils préservent le rapport des distances entre deux points sur l'objet.

En résumé, les transformations de similitude et les homothéties sont deux concepts importants en géométrie qui décrivent comment les objets peuvent être transformés tout en préservant leur forme. Les transformations de similitude impliquent une combinaison de mise à l'échelle et de rotation, tandis que les homothéties n'impliquent que la mise à l'échelle.